Panales de abeja uniformes Paracompact

En geometría , los panales uniformes en el espacio hiperbólico son teselaciones de celdas de poliedros uniformes convexos. En el espacio hiperbólico tridimensional existen 23 familias de grupos de Coxeter de panales uniformes paracompactos , generados como construcciones de Wythoff y representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter para cada familia. Estas familias pueden producir panales uniformes con facetas o figuras de vértices infinitas o ilimitadas , incluyendo vértices ideales en el infinito, similares a los teselados uniformes hiperbólicos en dos dimensiones .

Panales de abeja paracompactos regulares

De los panales paracompactos uniformes H ³ , 11 son regulares , lo que significa que su grupo de simetrías actúa transitivamente sobre sus banderas. Estos tienen el símbolo de Schläfli {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} y {6,3,6}, y se muestran a continuación. Cuatro tienen celdas poliédricas ideales finitas : {3,3,6}, {4,3,6}, {3,4,4} y {5,3,6}.

Grupos de Coxeter de panales uniformes paracompactos

Esta es una enumeración completa de los 151 panales uniformes paracompactos de Wythoff , generados a partir de dominios fundamentales tetraédricos (grupos de Coxeter paracompactos de rango 4). Los panales se indexan aquí para facilitar la referencia cruzada de formas duplicadas, con corchetes alrededor de las construcciones no primarias.

Las alternancias están listadas, pero son repeticiones o no generan soluciones uniformes. Las alternancias de un solo agujero representan una operación de eliminación de simetría especular. Si se elimina un nodo final, se genera otra familia simplex (tetraédrica). Si un agujero tiene dos ramas, se genera un politopo de Vinberg , aunque solo los politopos de Vinberg con simetría especular están relacionados con los grupos simplex, y sus panales uniformes no se han explorado sistemáticamente. Estos grupos de Coxeter no simplecticos (piramidales) no se enumeran en esta página, excepto como casos especiales de semigrupos de los tetraédricos. Siete panales uniformes que surgen aquí como alternancias se han numerado del 152 al 158, después de las 151 formas de Wythoff que no requieren alternancia para su construcción.

La lista completa de grupos de Coxeter paracompactos no simplécticos (no tetraédricos) fue publicada por P. Tumarkin en 2003. ^{[ 1 ]} La forma paracompacta más pequeña en H ³ puede representarse por o , o [ ∞ ,3,3, ∞ ] que puede construirse mediante una eliminación especular del grupo hiperbólico paracompacto [3,4,4] como [3,4,1 ⁺ ,4] : = . El dominio fundamental duplicado cambia de un tetraedro a una pirámide cuadrilátera. Otra pirámide es o , construida como [4,4,1 ⁺ ,4] = [ ∞ ,4,4, ∞ ] : = .

Al eliminar un espejo de algunos de los gráficos hiperbólicos cíclicos de Coxeter, se convierten en gráficos de pajarita: [(3,3,4,1 ⁺ ,4)] = [((3, ∞ ,3)),((3, ∞ ,3))] o , [(3,4,4,1 ⁺ ,4)] = [((4, ∞ ,3)),((3, ∞ ,4))] o , [(4,4,4,1 ⁺ ,4)] = [((4, ∞ ,4)),((4, ∞ ,4))] o . = , = , = .

Otro semigrupo no simpléctico es ↔ .

Un subgrupo radical no simpléctico es ↔ , que puede duplicarse en un dominio de prisma triangular como ↔ .

Gráficas lineales

[6,3,3] familia

[6,3,4] familia

Hay 15 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter : [6,3,4] o

[6,3,5] familia

[6,3,6] familia

Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter : [6,3,6] o

[3,6,3] familia

Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter : [3,6,3] o

[4,4,3] familia

Hay 15 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter : [4,4,3] o

[4,4,4] familia

Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter : [4,4,4] o .

Gráficos tridentales

[3,4 ^1,1 ] familia

Hay 11 formas (de las cuales solo 4 no se comparten con la familia [4,4,3]), generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter :

[4,4 ^1,1 ] familia

Hay 7 formas, (todas compartidas con la familia [4,4,4]), generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter :

[6,3 ^1,1 ] familia

Hay 11 formas (y solo 4 que no se comparten con la familia [6,3,4]), generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter : [6,3 ^1,1 ] o .

Gráficos cíclicos

[(4,4,3,3)] familia

Hay 11 formas, 4 únicas de esta familia, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter : , con ↔ .

[(4,4,4,3)] familia

Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter : .

[(4,4,4,4)] familia

Hay 5 formas, 1 única, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter : . Las construcciones repetidas se relacionan como: ↔ , ↔ , y ↔ .

[(6,3,3,3)] familia

Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter : .

Familia [(6,3,4,3)]

Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter :

Familia [(6,3,5,3)]

Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter :

Familia [(6,3,6,3)]

Hay 6 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter : .

Gráficos de bucle y cola

[3,3 ^[3] ] familia

Hay 11 formas, 4 únicas, generadas por permutaciones de anillos del grupo de Coxeter : [3,3 ^[3] ] o . 7 son formas de semi-simetría de [3,3,6]: ↔ .

[4,3^[3]] family

There are 11 forms, 4 unique, generated by ring permutations of the Coxeter group: [4,3^[3]] or . 7 are half symmetry forms of [4,3,6]: ↔ .

[5,3^[3]] family

There are 11 forms, 4 unique, generated by ring permutations of the Coxeter group: [5,3^[3]] or . 7 are half symmetry forms of [5,3,6]: ↔ .

[6,3^[3]] family

There are 11 forms, 4 unique, generated by ring permutations of the Coxeter group: [6,3^[3]] or . 7 are half symmetry forms of [6,3,6]: ↔ .

Multicyclic graphs

[3^{[ ]×[ ]}] family

There are 8 forms, 1 unique, generated by ring permutations of the Coxeter group: . Two are duplicated as ↔ , two as ↔ , and three as ↔ .

[3^[3,3]] family

There are 4 forms, 0 unique, generated by ring permutations of the Coxeter group: . They are repeated in four families: ↔ (index 2 subgroup), ↔ (index 4 subgroup), ↔ (index 6 subgroup), and ↔ (index 24 subgroup).

Summary enumerations by family

Linear graphs

Tridental graphs

Cyclic graphs

Loop-n-tail graphs

Symmetry in these graphs can be doubled by adding a mirror: [1[n,3^[3]]] = [n,3,6]. Therefore ring-symmetry graphs are repeated in the linear graph families.

Notes

↑P. Tumarkin, Hyperbolic Coxeter n-polytopes with n+2 facets (2003)

References

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NW Johnson, R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, El tamaño de un simplex hiperbólico de Coxeter , Transformation Groups (1999), Volumen 4, Número 4, pp. 329–353
NW Johnson, R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, Clases de conmensurabilidad de grupos hiperbólicos de Coxeter , (2002) H ³ : p130.
Klitzing, Richard. "Panales hiperbólicos H3 paracompactos" .

[1] P. Tumarkin, Hyperbolic Coxeter n-polytopes with n+2 facets (2003)

[ 1 ]