Panales de abejas uniformes paracompactos

En geometría , los panales uniformes en el espacio hiperbólico son teselaciones de celdas de poliedros uniformes convexos . En el espacio hiperbólico tridimensional hay 23 familias de grupos de Coxeter de panales uniformes paracompactos , generados como construcciones de Wythoff y representados por permutaciones en anillo de los diagramas de Coxeter para cada familia. Estas familias pueden producir panales uniformes con facetas infinitas o ilimitadas o figura de vértice , incluidos vértices ideales en el infinito, similares a los teselados uniformes hiperbólicos en dos dimensiones .

De los panales paracompactos uniformes H ³ , 11 son regulares , lo que significa que su grupo de simetrías actúa transitivamente sobre sus banderas. Estos tienen el símbolo de Schläfli {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} y {6,3,6}, y se muestran a continuación. Cuatro tienen celdas poliédricas ideales finitas : {3,3,6}, {4,3,6}, {3,4,4} y {5,3,6}.

Esta es una enumeración completa de los 151 panales paracompactos uniformes Wythoffianos únicos generados a partir de dominios fundamentales tetraédricos (grupos de Coxeter paracompactos de rango 4). Los panales están indexados aquí para hacer referencias cruzadas a formas duplicadas, con corchetes alrededor de las construcciones no primarias.

Las alternancias se enumeran, pero son repeticiones o no generan soluciones uniformes. Las alternancias de un solo agujero representan una operación de eliminación de espejo. Si se elimina un nodo final, se genera otra familia símplex (tetraédrica). Si un agujero tiene dos ramas, se genera un politopo de Vinberg , aunque solo los politopos de Vinberg con simetría especular están relacionados con los grupos símplex, y sus panales uniformes no se han explorado sistemáticamente. Estos grupos de Coxeter no simplistas (piramidales) no se enumeran en esta página, excepto como casos especiales de semigrupos de los tetraédricos. Seis panales uniformes que surgen aquí como alternancias se han numerado del 152 al 157, después de las 151 formas Wythoffianas que no requieren alternancia para su construcción.

La lista completa de grupos de Coxeter paracompactos no simplécticos (no tetraédricos) fue publicada por P. Tumarkin en 2003. ^[1] La forma paracompacta más pequeña en H ³ se puede representar poro, o [∞,3,3,∞] que puede construirse mediante una eliminación especular del grupo hiperbólico paracompacto [3,4,4] como [3,4,1 ⁺ ,4] :=El dominio fundamental duplicado cambia de un tetraedro a una pirámide cuadrilátera. Otra pirámide eso, construido como [4,4,1 ⁺ ,4] = [∞,4,4,∞] :=.

Quitando un espejo de algunos de los gráficos hiperbólicos cíclicos de Coxeter se obtienen gráficos de pajarita: [(3,3,4,1 ⁺ ,4)] = [((3,∞,3)),((3,∞,3))] o, [(3,4,4,1 ⁺ ,4)] = [((4,∞,3)),((3,∞,4))] o, [(4,4,4,1 ⁺ ,4)] = [((4,∞,4)),((4,∞,4))] o.=,=,=.

Otro semigrupo no simplista es↔.

Un subgrupo radical no simplista es↔, que puede duplicarse en un dominio de prisma triangular como↔.

Hay 15 formas, generadas por permutaciones de anillo del grupo de Coxeter : [6,3,4] o

Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillo del grupo de Coxeter : [6,3,6] o

Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillo del grupo de Coxeter : [3,6,3] o

Hay 15 formas, generadas por permutaciones de anillo del grupo de Coxeter : [4,4,3] o

Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillo del grupo de Coxeter : [4,4,4] o.

Hay 11 formas (de las cuales solo 4 no se comparten con la familia [4,4,3]), generadas por permutaciones de anillo del grupo de Coxeter :

Hay 7 formas (todas compartidas con la familia [4,4,4]), generadas por permutaciones de anillo del grupo de Coxeter :

Hay 11 formas (y solo 4 no compartidas con la familia [6,3,4]), generadas por permutaciones de anillo del grupo de Coxeter : [6,3 ^1,1 ] o.

Hay 11 formas, 4 únicas para esta familia, generadas por permutaciones de anillo del grupo de Coxeter :, con↔.

Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillo del grupo de Coxeter :.

There are 5 forms, 1 unique, generated by ring permutations of the Coxeter group: . Repeat constructions are related as: ↔ , ↔ , and ↔ .

There are 9 forms, generated by ring permutations of the Coxeter group: .

There are 9 forms, generated by ring permutations of the Coxeter group:

There are 9 forms, generated by ring permutations of the Coxeter group:

There are 6 forms, generated by ring permutations of the Coxeter group: .

There are 11 forms, 4 unique, generated by ring permutations of the Coxeter group: [3,3^[3]] or . 7 are half symmetry forms of [3,3,6]: ↔ .

There are 11 forms, 4 unique, generated by ring permutations of the Coxeter group: [4,3^[3]] or . 7 are half symmetry forms of [4,3,6]: ↔ .

There are 11 forms, 4 unique, generated by ring permutations of the Coxeter group: [5,3^[3]] or . 7 are half symmetry forms of [5,3,6]: ↔ .

There are 11 forms, 4 unique, generated by ring permutations of the Coxeter group: [6,3^[3]] or . 7 are half symmetry forms of [6,3,6]: ↔ .

There are 8 forms, 1 unique, generated by ring permutations of the Coxeter group: . Two are duplicated as ↔ , two as ↔ , and three as ↔ .

There are 4 forms, 0 unique, generated by ring permutations of the Coxeter group: . They are repeated in four families: ↔ (index 2 subgroup), ↔ (index 4 subgroup), ↔ (index 6 subgroup), and ↔ (index 24 subgroup).

Symmetry in these graphs can be doubled by adding a mirror: [1[n,3^[3]]] = [n,3,6]. Therefore ring-symmetry graphs are repeated in the linear graph families.

• Uniform tilings in hyperbolic plane
• List of regular polytopes#Tessellations of hyperbolic 3-space

• James E. Humphreys, Reflection Groups and Coxeter Groups, Cambridge studies in advanced mathematics, 29 (1990)
• La belleza de la geometría: doce ensayos (1999), Dover Publications, LCCN  99-35678, ISBN  0-486-40919-8 (Capítulo 10, Panales regulares en el espacio hiperbólico Archivado el 10 de junio de 2016 en Wayback Machine )
• Coxeter , Regular Polytopes , 3.ª ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8 . (Tablas I y II: Politopos regulares y panales, págs. 294-296) 
• Jeffrey R. Weeks La forma del espacio, 2.ª edición ISBN 0-8247-0709-5 (Capítulo 16-17: Geometrías sobre tres variedades I, II) 
• Descomposiciones de Coxeter de tetraedros hiperbólicos, arXiv / PDF , A. Felikson, diciembre de 2002
• CWL Garner, Poliedros oblicuos regulares en espacio tridimensional hiperbólico . J. Math. 19, 1179-1186, 1967. PDF [1] Archivado el 2 de abril de 2015 en Wayback Machine.
• Norman Johnson , Geometrías y transformaciones , (2018) Capítulos 11, 12, 13
• NW Johnson, R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, El tamaño de un símplex hiperbólico de Coxeter , Transformation Groups (1999), Volumen 4, Número 4, págs. 329–353 [2] [3]
• NW Johnson, R. Kellerhals , JG Ratcliffe, ST Tschantz, Clases de conmensurabilidad de grupos hiperbólicos de Coxeter , (2002) H ³ : pág. 130. [4]
• Klitzing, Richard. "Panales hiperbólicos H3 paracompactos".