Paraestadística

En mecánica cuántica y mecánica estadística , la paraestadística es una alternativa hipotética ^{[ 1 ]} a los modelos de estadística de partículas establecidos ( estadística de Bose-Einstein , estadística de Fermi-Dirac y estadística de Maxwell-Boltzmann ). Otras alternativas incluyen la estadística aniónica y la estadística de trenzas , ambas involucrando dimensiones espaciotemporales inferiores. A Herbert S. Green ^{[ 2 ]} se le atribuye la creación de la paraestadística en 1953. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Las partículas predichas por la paraestadística no han sido observadas experimentalmente.

Consideremos el álgebra de operadores de un sistema de partículas idénticas. Esta es un *-álgebra . Hay un grupo ( grupo simétrico de orden ) que actúa sobre el álgebra de operadores con la interpretación prevista de permutar las partículas. La mecánica cuántica requiere centrarse en observables que tengan un significado físico, y los observables tendrían que ser invariantes bajo todas las permutaciones posibles de las partículas. Por ejemplo, en el caso no puede ser un observable porque cambia de signo si intercambiamos las dos partículas, pero la distancia entre las dos partículas es un observable legítimo. ${\displaystyle N}$${\displaystyle S_{N}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N=2,\,R_{2}-R_{1}}$${\displaystyle |R_{2}-R_{1}|}$

En otras palabras, el álgebra observable tendría que ser una * -subálgebra invariante bajo la acción de (observando que esto no significa que cada elemento del álgebra de operadores invariante bajo sea un observable). Esto permite diferentes sectores de superselección , cada uno parametrizado por un diagrama de Young de . ${\displaystyle S_{N}}$${\displaystyle S_{N}}$${\displaystyle S_{N}}$

En particular:

• Para parabosones idénticos de orden (donde es un entero positivo), los diagramas de Young permisibles son todos aquellos con o menos filas.${\displaystyle N}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$
• Para parafermiones idénticos de orden , los diagramas de Young permisibles son todos aquellos con o menos columnas.${\displaystyle N}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$
• Si , esto se reduce a las estadísticas de Bose-Einstein y Fermi-Dirac respectivamente.${\displaystyle p=1}$
• Si es arbitrariamente grande (infinito), esto se reduce a la estadística de Maxwell-Boltzmann.${\displaystyle p}$

Hay operadores de creación y aniquilación que satisfacen las relaciones de conmutación trilineales ^{[ 3 ].}

${\displaystyle {\big [}a_{k},[a_{l}^{\dagger },a_{m}]_{\pm }{\big ]}_{-}=[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}^{\dagger }[a_{k},a_{m}]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m},}$

${\displaystyle {\big [}a_{k},[a_{l}^{\dagger },a_{m}^{\dagger }]_{\pm }{\big ]}_{-}=[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }a_{m}^{\dagger }\pm a_{l}^{\dagger }[a_{k},a_{m}^{\dagger }]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}^{\dagger }]_{\mp }a_{l}^{\dagger }+a_{m}^{\dagger }[a_{k},a_{l}^{\dagger }]_{\mp }=2\delta _{kl}a_{m}^{\dagger }\pm 2\delta _{km}a_{l}^{\dagger },}$

${\displaystyle {\big [}a_{k},[a_{l},a_{m}]_{\pm }{\big ]}_{-}=[a_{k},a_{l}]_{\mp }a_{m}\pm a_{l}[a_{k},a_{m}]_{\mp }\pm [a_{k},a_{m}]_{\mp }a_{l}+a_{m}[a_{k},a_{l}]_{\mp }=0.}$

Un campo parabosónico de orden p , , donde si x e y son puntos separados espacialmente , y si , donde [⋅, ⋅] es el conmutador , y {⋅, ⋅} es el anticonmutador . Nótese que esto discrepa con el teorema de espín-estadística , que es para bosones y no parabosones. Podría haber un grupo como el grupo simétrico S _p actuando sobre los φ ^{( i )} s. Los observables tendrían que ser operadores que son invariantes bajo el grupo en cuestión. Sin embargo, la existencia de tal simetría no es esencial. ${\textstyle \phi (x)=\sum _{i=1}^{p}\phi ^{(i)}(x)}$${\displaystyle [\phi ^{(i)}(x),\phi ^{(i)}(y)]=0}$${\displaystyle \{\phi ^{(i)}(x),\phi ^{(j)}(y)\}=0}$${\displaystyle i\neq j}$

Un campo parafermión de orden p , donde si x e y son puntos separados espacialmente , y si . El mismo comentario sobre observables se aplicaría junto con el requisito de que tengan graduación par bajo la graduación donde los ψ tienen graduación impar. ${\textstyle \psi (x)=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(i)}(x)}$${\displaystyle \{\psi ^{(i)}(x),\psi ^{(i)}(y)\}=0}$${\displaystyle [\psi ^{(i)}(x),\psi ^{(j)}(y)]=0}$${\displaystyle i\neq j}$

Las álgebras parafermiónica y parabosónica se generan mediante elementos que cumplen las relaciones de conmutación y anticonmutación. Generalizan el álgebra fermiónica usual y el álgebra bosónica de la mecánica cuántica. ^{[ 5 ]} El álgebra de Dirac y el álgebra de Duffin-Kemmer-Petiau aparecen como casos especiales del álgebra parafermiónica para los órdenes p  = 1 y p  = 2, respectivamente. ^{[ 6 ]}

Nótese que si x e y son puntos separados espacialmente, φ ( x ) y φ ( y ) no conmutan ni anticonmutan a menos que p  = 1. El mismo comentario se aplica a ψ ( x ) y ψ ( y ). Entonces, si tenemos n puntos separados espacialmente x ₁ , ..., x _n ,

${\displaystyle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})|\Omega \rangle }$

corresponde a crear n parabosones idénticos en x ₁ , ..., x _n . De manera similar,

${\displaystyle \psi (x_{1})\cdots \psi (x_{n})|\Omega \rangle }$

corresponde a crear n parafermiones idénticos. Debido a que estos campos no conmutan ni anticonmutan,

${\displaystyle \phi (x_{\pi (1)})\cdots \phi (x_{\pi (n)})|\Omega \rangle }$

y

${\displaystyle \psi (x_{\pi (1)})\cdots \psi (x_{\pi (n)})|\Omega \rangle }$

dar estados distintos para cada permutación π en S _n .

Podemos definir un operador de permutación mediante ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi )}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi ){\big [}\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})|\Omega \rangle {\big ]}=\phi (x_{\pi ^{-1}(1)})\cdots \phi (x_{\pi ^{-1}(n)})|\Omega \rangle }$

y

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi ){\big [}\psi (x_{1})\cdots \psi (x_{n})|\Omega \rangle {\big ]}=\psi (x_{\pi ^{-1}(1)})\cdots \psi (x_{\pi ^{-1}(n)})|\Omega \rangle }$

respectivamente. Se puede demostrar que está bien definido siempre que se restrinja únicamente a los estados generados por los vectores dados anteriormente (esencialmente los estados con n partículas idénticas). También es unitario . Además, es una representación con valores de operador del grupo simétrico S _n , y como tal, podemos interpretarlo como la acción de S _n sobre el propio espacio de Hilbert de n partículas, convirtiéndolo en una representación unitaria . ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi )}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

• Transformación de Klein sobre cómo convertir entre paraestadística y estadística más convencional. ^{[ 1 ]}