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descomposición de rango tensorial

En álgebra multilineal , la descomposición en rango tensorial [ 1 ] o descomposición de rango R es la descomposición de un tensor como suma de R tensores de rango 1, donde R es ...

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En álgebra multilineal , la descomposición en rango tensorial [ 1 ] o descomposición de rango R es la descomposición de un tensor como suma de R tensores de rango 1, donde R es mínimo. El cálculo de esta descomposición es un problema abierto.

La descomposición poliádica canónica (CPD) es una variante de la descomposición de rango tensorial, en la que el tensor se aproxima como una suma de K tensores de rango 1 para un K especificado por el usuario . La descomposición CP ha encontrado algunas aplicaciones en lingüística y quimiometría . Fue introducida por Frank Lauren Hitchcock en 1927 [ 2 ] y posteriormente redescubierta varias veces, especialmente en psicometría. [ 3 ] [ 4 ] La descomposición CP se conoce como CANDECOMP, [ 3 ] PARAFAC, [ 4 ] o CANDECOMP/PARAFAC (CP). Cabe señalar que la descomposición de rango PARAFAC2 es una variación de la descomposición CP. [ 5 ]

Otra generalización popular de la descomposición en valores singulares de matrices, conocida como descomposición en valores singulares de orden superior, calcula matrices de modos ortonormales y ha encontrado aplicaciones en econometría , procesamiento de señales , visión artificial , gráficos por computadora y psicometría .

Notación

Una variable escalar se denota con letras minúsculas en cursiva,a{\displaystyle a}y un escalar de límite superior se denota con una letra mayúscula en cursiva,A{\displaystyle A}.

Los índices se denotan mediante una combinación de letras minúsculas y mayúsculas en cursiva,1≤i≤I{\displaystyle 1\leq i\leq I}. Los múltiples índices que uno puede encontrar al referirse a los múltiples modos de un tensor se denotan convenientemente por1≤imetro≤Imetro{\displaystyle 1\leq i_{m}\leq I_{m}}dónde 1≤metro≤METRO{\displaystyle 1\leq m\leq M}.

Un vector se denota mediante una letra minúscula en negrita romana,a{\displaystyle \mathbf {a} }y una matriz se denota con letras mayúsculas en negrita.A{\displaystyle \mathbf {A} }.

Un tensor de orden superior se denota mediante letras caligráficas,A{\displaystyle {\mathcal {A}}}. Un elemento de unMETRO{\displaystyle M}tensor de orden -A∈doI1×I2×…Imetro×…IMETRO{\displaystyle {\mathcal {A}}\in \mathbb {C} ^{I_{1}\times I_{2}\times \dots I_{m}\times \dots I_{M}}}se denota porai1,i2,…,imetro,…iMETRO{\displaystyle a_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m},\dots i_{M}}}oAi1,i2,…,imetro,…iMETRO{\displaystyle {\mathcal {A}}_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m},\dots i_{M}}}.

Definición

Un tensor de datosA∈FI0×I1×…×Ido{\displaystyle {\mathcal {A}}\in {\mathbb {F} }^{I_{0}\times I_{1}\times \ldots \times I_{C}}} es una colección de observaciones multivariadas organizadas en una matriz de M vías donde M = C + 1. Cada tensor puede representarse con un tamaño suficientemente grande.R{\displaystyle R}como una combinación lineal deR{\displaystyle R}tensores de rango 1:

A=∑r=1Rλra0,r⊗a1,r⊗a2,r⋯⊗ado,r⊗⋯⊗ado,r,{\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{r=1}^{R}\lambda _{r}\mathbf {a} _{0,r}\otimes \mathbf {a} _{1,r}\otimes \mathbf {a} _{2,r}\dots \otimes \mathbf {a} _{c,r}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{C,r},}

dóndeλr∈F{\displaystyle \lambda _{r}\in {\mathbb {F} }}yametro,r∈FImetro{\displaystyle \mathbf {a} _{m,r}\in {\mathbb {F} }^{I_{m}}}dónde1≤metro≤METRO{\displaystyle 1\leq m\leq M}. Cuando el número de términosR{\displaystyle R}es mínimo en la expresión anterior, entoncesR{\displaystyle R}Se denomina rango del tensor, y la descomposición se conoce a menudo como descomposición de rango (tensorial) , descomposición CP mínima o descomposición poliádica canónica (CPD) . Si el número de términos no es mínimo, la descomposición anterior se conoce a menudo como CANDECOMP/PARAFAC o descomposición poliádica .

Rango tensorial

A diferencia del caso de las matrices, calcular el rango de un tensor es NP-difícil . [ 6 ] El único caso notable bien comprendido consiste en tensores enFImetro⊗FInorte⊗F2{\displaystyle F^{I_{m}}\otimes F^{I_{n}}\otimes F^{2}}, cuyo rango se puede obtener a partir de la forma normal de Kronecker - Weierstrass del haz de matrices lineales que representa el tensor. [ 7 ] Existe un algoritmo simple de tiempo polinomial para certificar que un tensor es de rango 1, a saber, la descomposición en valores singulares de orden superior .

El rango del tensor de ceros es cero por convención. El rango de un tensora1⊗⋯⊗aMETRO{\displaystyle \mathbf {a} _{1}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{M}}es uno, siempre queametro∈FImetro∖{0}{\displaystyle \mathbf {a} _{m}\in F^{I_{m}}\setminus \{0\}}.

dependencia de campo

El rango de un tensor depende del campo sobre el cual se descompone el tensor. Se sabe que algunos tensores reales pueden admitir una descomposición compleja cuyo rango es estrictamente menor que el rango de una descomposición real del mismo tensor. Como ejemplo, [ 8 ] consideremos el siguiente tensor real

A=incógnita1⊗incógnita2⊗incógnita3+incógnita1⊗y2⊗y3−y1⊗incógnita2⊗y3+y1⊗y2⊗incógnita3,{\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {x} _{1}\otimes \mathbf {x} _{2}\otimes \mathbf {x} _{3}+\mathbf {x} _{1}\otimes \mathbf {y} _{2}\otimes \mathbf {y} _{3}-\mathbf {y} _{1}\otimes \mathbf {x} _{2}\otimes \mathbf {y} _{3}+\mathbf {y} _{1}\otimes \mathbf {y} _{2}\otimes \mathbf {x} _{3},}

dóndeincógnitai,yj∈R2{\displaystyle \mathbf {x} _{i},\mathbf {y} _{j}\in \mathbb {R} ^{2}}. Se sabe que el rango de este tensor sobre los reales es 3, mientras que su rango complejo es solo 2 porque es la suma de un tensor complejo de rango 1 con su conjugado complejo , a saber:

A=12(z¯1⊗z2⊗z¯3+z1⊗z¯2⊗z3),{\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {1}{2}}({\bar {\mathbf {z} }}_{1}\otimes \mathbf {z} _{2}\otimes {\bar {\mathbf {z} }}_{3}+\mathbf {z} _{1}\otimes {\bar {\mathbf {z} }}_{2}\otimes \mathbf {z} _{3}),}

dóndezk=incógnitak+iyk{\displaystyle \mathbf {z} _{k}=\mathbf {x} _{k}+i\mathbf {y} _{k}}.

Por el contrario, el rango de las matrices reales nunca disminuirá bajo una extensión de campo ado{\displaystyle \mathbb {C} }: el rango de una matriz real y el rango de una matriz compleja coinciden para matrices reales.

Clasificación genérica

El rango genéricor(I1,…,IMETRO){\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})}se define como el rango más bajor{\displaystyle r}de tal manera que el cierre en la topología de Zariski del conjunto de tensores de rango como máximor{\displaystyle r}es todo el espacioFI1⊗⋯⊗FIMETRO{\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}. En el caso de tensores complejos, tensores de rango como máximor(I1,…,IMETRO){\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})}formen un conjunto densoS{\displaystyle S}: cada tensor en el espacio mencionado anteriormente es de rango menor que el rango genérico, o es el límite en la topología euclidiana de una secuencia de tensores desdeS{\displaystyle S}. En el caso de tensores reales, el conjunto de tensores de rango como máximor(I1,…,IMETRO){\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})}Solo forma un conjunto abierto de medida positiva en la topología euclidiana. Pueden existir conjuntos euclidianos abiertos de tensores de rango estrictamente superior al rango genérico. Todos los rangos que aparecen en conjuntos abiertos en la topología euclidiana se denominan rangos típicos . El rango típico más pequeño se denomina rango genérico; esta definición se aplica tanto a tensores complejos como reales. El rango genérico de los espacios tensoriales fue estudiado inicialmente en 1983 por Volker Strassen . [ 9 ]

Como ilustración de los conceptos anteriores, se sabe que tanto 2 como 3 son rangos típicos deR2⊗R2⊗R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}}mientras que el rango genérico dedo2⊗do2⊗do2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}es 2. En la práctica, esto significa que un tensor real muestreado aleatoriamente (a partir de una medida de probabilidad continua en el espacio de tensores) de tamaño2×2×2{\displaystyle 2\times 2\times 2}será un tensor de rango 1 con probabilidad cero, un tensor de rango 2 con probabilidad positiva y un tensor de rango 3 con probabilidad positiva. Por otro lado, un tensor complejo muestreado aleatoriamente del mismo tamaño será un tensor de rango 1 con probabilidad cero, un tensor de rango 2 con probabilidad uno y un tensor de rango 3 con probabilidad cero. Incluso se sabe que el tensor real genérico de rango 3 enR2⊗R2⊗R2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}\otimes \mathbb {R} ^{2}}será de rango complejo igual a 2.

El rango genérico de los espacios tensoriales depende de la distinción entre espacios tensoriales balanceados y desbalanceados. Un espacio tensorialFI1⊗⋯⊗FIMETRO{\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}, dóndeI1≥I2≥⋯≥IMETRO{\displaystyle I_{1}\geq I_{2}\geq \cdots \geq I_{M}}, se denomina desequilibrado cuando

I1>1+∏metro=2METROImetro−∑metro=2METRO(Imetro−1),{\displaystyle I_{1}>1+\prod _{m=2}^{M}I_{m}-\sum _{m=2}^{M}(I_{m}-1),}

y de lo contrario se denomina equilibrado .

Espacios tensoriales desequilibrados

Cuando el primer factor es muy grande con respecto a los otros factores en el producto tensorial, entonces el espacio tensorial se comporta esencialmente como un espacio matricial. Se sabe que el rango genérico de los tensores que viven en un espacio tensorial desequilibrado es igual a

r(I1,…,IMETRO)=min{I1,∏metro=2METROImetro}{\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})=\min \left\{I_{1},\prod _{m=2}^{M}I_{m}\right\}}

casi en todas partes . Más precisamente, el rango de cada tensor en un espacio tensorial desequilibrado.FI1×⋯×IMETRO∖Z{\displaystyle F^{I_{1}\times \cdots \times I_{M}}\setminus Z}, dóndeZ{\displaystyle Z}es algún conjunto cerrado indeterminado en la topología de Zariski, igual al valor anterior. [ 10 ]

Espacios tensoriales equilibrados

El rango genérico esperado de los tensores que viven en un espacio tensorial equilibrado es igual a

rmi(I1,…,IMETRO)=⌈ΠΣ+1⌉{\displaystyle r_{E}(I_{1},\ldots ,I_{M})=\left\lceil {\frac {\Pi }{\Sigma +1}}\right\rceil }

casi en todas partes para tensores complejos y en un conjunto euclidiano abierto para tensores reales, donde

Π=∏metro=1METROImetroyΣ=∑metro=1METRO(Imetro−1).{\displaystyle \Pi =\prod _{m=1}^{M}I_{m}\quad {\text{and}}\quad \Sigma =\sum _{m=1}^{M}(I_{m}-1).}

Más precisamente, el rango de cada tensor endoI1×⋯×IMETRO∖Z{\displaystyle \mathbb {C} ^{I_{1}\times \cdots \times I_{M}}\setminus Z}, dóndeZ{\displaystyle Z}es algún conjunto cerrado indeterminado en la topología de Zariski , se espera que sea igual al valor anterior. [ 11 ] Para tensores reales,rmi(I1,…,IMETRO){\displaystyle r_{E}(I_{1},\ldots ,I_{M})}es el rango más bajo que se espera que ocurra en un conjunto de medidas euclidianas positivas. El valorrmi(I1,…,IMETRO){\displaystyle r_{E}(I_{1},\ldots ,I_{M})}a menudo se hace referencia al rango genérico esperado del espacio tensorial.FI1×⋯×IMETRO{\displaystyle F^{I_{1}\times \cdots \times I_{M}}}porque es solo conjeturalmente correcto. Se sabe que el verdadero rango genérico siempre satisface

r(I1,…,IMETRO)≥rmi(I1,…,IMETRO).{\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})\geq r_{E}(I_{1},\ldots ,I_{M}).}

La conjetura de Abo-Ottaviani-Peterson [ 11 ] establece que se espera la igualdad, es decir,r(I1,…,IMETRO)=rmi(I1,…,IMETRO){\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})=r_{E}(I_{1},\ldots ,I_{M})}, con los siguientes casos excepcionales:

  • F(2metro+1)×(2metro+1)×3 con metro=1,2,…{\displaystyle F^{(2m+1)\times (2m+1)\times 3}{\text{ with }}m=1,2,\ldots }
  • F(metro+1)×(metro+1)×2×2 con metro=2,3,…{\displaystyle F^{(m+1)\times (m+1)\times 2\times 2}{\text{ with }}m=2,3,\ldots }

En cada uno de estos casos excepcionales, se sabe que el rango genérico esr(I1,…,Imetro,…,IMETRO)=rmi(I1,…,IMETRO)+1{\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{m},\ldots ,I_{M})=r_{E}(I_{1},\ldots ,I_{M})+1}. Nótese que mientras el conjunto de tensores de rango 3 enF2×2×2×2{\displaystyle F^{2\times 2\times 2\times 2}}es defectuoso (13 y no el esperado 14), el rango genérico en ese espacio sigue siendo el esperado, 4. De manera similar, el conjunto de tensores de rango 5 enF4×4×3{\displaystyle F^{4\times 4\times 3}}es defectuoso (44 y no el esperado 45), pero el rango genérico en ese espacio sigue siendo el esperado 6.

La conjetura AOP se ha demostrado completamente en varios casos especiales. Lickteig demostró ya en 1985 quer(norte,norte,norte)=rmi(norte,norte,norte){\displaystyle r(n,n,n)=r_{E}(n,n,n)}, siempre quenorte≠3{\displaystyle n\neq 3}. [ 12 ] En 2011, Catalisano, Geramita y Gimigliano establecieron un gran avance al demostrar que la dimensión esperada del conjunto de rangos{\displaystyle s}tensores de formato2×2×⋯×2{\displaystyle 2\times 2\times \cdots \times 2}es el esperado excepto para tensores de rango 3 en el caso de 4 factores, sin embargo, el rango esperado en ese caso sigue siendo 4. Como consecuencia, r(2,2,…,2)=rmi(2,2,…,2){\displaystyle r(2,2,\ldots ,2)=r_{E}(2,2,\ldots ,2)}para todos los tensores binarios. [ 13 ]

Rango máximo

El rango máximo que puede admitir cualquiera de los tensores en un espacio tensorial es desconocido en general; incluso falta una conjetura sobre este rango máximo. Actualmente, la mejor cota superior general establece que el rango máximormáximo(I1,…,IMETRO){\displaystyle r_{\mbox{max}}(I_{1},\ldots ,I_{M})}deFI1⊗⋯⊗FIMETRO{\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}, dóndeI1≥I2≥⋯≥IMETRO{\displaystyle I_{1}\geq I_{2}\geq \cdots \geq I_{M}}, satisface

rmáximo(I1,…,IMETRO)≤min{∏metro=2METROImetro,2⋅r(I1,…,IMETRO)},{\displaystyle r_{\mbox{max}}(I_{1},\ldots ,I_{M})\leq \min \left\{\prod _{m=2}^{M}I_{m},2\cdot r(I_{1},\ldots ,I_{M})\right\},}

dónder(I1,…,IMETRO){\displaystyle r(I_{1},\ldots ,I_{M})}es el rango (menos) genérico deFI1⊗⋯⊗FIMETRO{\displaystyle F^{I_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}. [ 14 ] Es bien sabido que la desigualdad anterior puede ser estricta. Por ejemplo, el rango genérico de tensores enR2×2×2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2\times 2\times 2}}es dos, de modo que el límite anterior producermáximo(2,2,2)≤4{\displaystyle r_{\mbox{max}}(2,2,2)\leq 4}, mientras que se sabe que el rango máximo es igual a 3. [ 8 ]

Rango fronterizo

Un rango-s{\displaystyle s}tensorA{\displaystyle {\mathcal {A}}}Se denomina tensor de frontera si existe una secuencia de tensores de rango como máximor<s{\displaystyle r<s}cuyo límite esA{\displaystyle {\mathcal {A}}}. Sir{\displaystyle r}es el valor más pequeño para el cual existe tal secuencia convergente, entonces se llama rango frontera deA{\displaystyle {\mathcal {A}}}. Para tensores de orden 2, es decir, matrices, el rango y el rango de borde siempre coinciden, sin embargo, para tensores de orden≥3{\displaystyle \geq 3}Pueden diferir. Los tensores de frontera fueron estudiados por primera vez en el contexto de algoritmos de multiplicación de matrices aproximada rápida por Bini, Lotti y Romani en 1980. [ 15 ]

Un ejemplo clásico de tensor de borde es el tensor de rango 3.

A=tú⊗tú⊗v+tú⊗v⊗tú+v⊗tú⊗tú,con ‖tú‖=‖v‖=1 y ⟨tú,v⟩≠1.{\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} ,\quad {\text{with }}\|\mathbf {u} \|=\|\mathbf {v} \|=1{\text{ and }}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \neq 1.}

Se puede aproximar arbitrariamente bien mediante la siguiente secuencia de tensores de rango 2.

Ametro=metro(tú+1metrov)⊗(tú+1metrov)⊗(tú+1metrov)−metrotú⊗tú⊗tú=tú⊗tú⊗v+tú⊗v⊗tú+v⊗tú⊗tú+1metro(tú⊗v⊗v+v⊗tú⊗v+v⊗v⊗tú)+1metro2v⊗v⊗v{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}_{m}&=m\left(\mathbf {u} +{\frac {1}{m}}\mathbf {v} \right)\otimes \left(\mathbf {u} +{\frac {1}{m}}\mathbf {v} \right)\otimes \left(\mathbf {u} +{\frac {1}{m}}\mathbf {v} \right)-m\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \\&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} +{\frac {1}{m}}(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )+{\frac {1}{m^{2}}}\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {v} \end{aligned}}}

comometro→∞{\displaystyle m\to \infty }Por lo tanto, su rango de frontera es 2, que es estrictamente menor que su rango. Cuando los dos vectores son ortogonales, este ejemplo también se conoce como un estado W.

Propiedades

Identificabilidad

De la definición de un tensor puro se deduce queA=a1⊗a2⊗⋯⊗aMETRO=b1⊗b2⊗⋯⊗bMETRO{\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {a} _{1}\otimes \mathbf {a} _{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{M}=\mathbf {b} _{1}\otimes \mathbf {b} _{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {b} _{M}}si y solo si existenλk{\displaystyle \lambda _{k}}de tal manera queλ1λ2⋯λMETRO=1{\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{M}=1}yametro=λmetrobmetro{\displaystyle \mathbf {a} _{m}=\lambda _{m}\mathbf {b} _{m}}para todo m . Por esta razón, los parámetros{ametro}metro=1METRO{\displaystyle \{\mathbf {a} _{m}\}_{m=1}^{M}}de un tensor de rango 1A{\displaystyle {\mathcal {A}}}se denominan identificables o esencialmente únicos. Un rango-r{\displaystyle r}tensorA∈FI1⊗FI2⊗⋯⊗FIMETRO{\displaystyle {\mathcal {A}}\in F^{I_{1}}\otimes F^{I_{2}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}Se denomina identificable si cada una de sus descomposiciones de rango tensorial es la suma del mismo conjunto der{\displaystyle r}tensores distintos{A1,A2,…,Ar}{\displaystyle \{{\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},\ldots ,{\mathcal {A}}_{r}\}}donde elAi{\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}Los son de rango 1. Un rango identificable-r{\displaystyle r}por lo tanto tiene una única descomposición esencialmente únicaA=∑i=1rAi,{\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{i=1}^{r}{\mathcal {A}}_{i},}y todor¡{\displaystyle r!}descomposiciones de rango tensorial deA{\displaystyle {\mathcal {A}}}se puede obtener permutando el orden de los sumandos. Observe que en una descomposición de rango tensorial todos losAi{\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}Los son distintos, porque de otro modo el rango deA{\displaystyle {\mathcal {A}}}sería como máximor−1{\displaystyle r-1}.

Identificabilidad genérica

tensores de orden 2 enFI1⊗FI2≃FI1×I2{\displaystyle F^{I_{1}}\otimes F^{I_{2}}\simeq F^{I_{1}\times I_{2}}}, es decir, las matrices, no son identificables parar>1{\displaystyle r>1}Esto se deduce esencialmente de la observación.A=∑i=1rai⊗bi=∑i=1raibiT=ABT=(Aincógnita−1)(BincógnitaT)T=∑i=1rdoidiT=∑i=1rdoi⊗di,{\displaystyle {\mathcal {A}}=\sum _{i=1}^{r}\mathbf {a} _{i}\otimes \mathbf {b} _{i}=\sum _{i=1}^{r}\mathbf {a} _{i}\mathbf {b} _{i}^{T}=AB^{T}=(AX^{-1})(BX^{T})^{T}=\sum _{i=1}^{r}\mathbf {c} _{i}\mathbf {d} _{i}^{T}=\sum _{i=1}^{r}\mathbf {c} _{i}\otimes \mathbf {d} _{i},}dóndeincógnita∈GRAMOLr(F){\displaystyle X\in \mathrm {GL} _{r}(F)}es un invertibler×r{\displaystyle r\times r}matriz,A=[ai]i=1r{\displaystyle A=[\mathbf {a} _{i}]_{i=1}^{r}},B=[bi]i=1r{\displaystyle B=[\mathbf {b} _{i}]_{i=1}^{r}},Aincógnita−1=[doi]i=1r{\displaystyle AX^{-1}=[\mathbf {c} _{i}]_{i=1}^{r}}yBincógnitaT=[di]i=1r{\displaystyle BX^{T}=[\mathbf {d} _{i}]_{i=1}^{r}}. Se puede demostrar [ 16 ] que para cadaincógnita∈GRAMOLnorte(F)∖Z{\displaystyle X\in \mathrm {GL} _{n}(F)\setminus Z}, dóndeZ{\displaystyle Z}es un conjunto cerrado en la topología de Zariski, la descomposición del lado derecho es una suma de un conjunto diferente de tensores de rango 1 que la descomposición del lado izquierdo, lo que implica que los tensores de orden 2 de rangor>1{\displaystyle r>1}genéricamente no son identificables.

La situación cambia completamente para tensores de orden superior enFI1⊗FI2⊗⋯⊗FIMETRO{\displaystyle F^{I_{1}}\otimes F^{I_{2}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}conMETRO>2{\displaystyle M>2}y todoImetro≥2{\displaystyle I_{m}\geq 2}. Para simplificar la notación, supongamos sin pérdida de generalidad que los factores están ordenados de tal manera queI1≥I2≥⋯≥IMETRO≥2{\displaystyle I_{1}\geq I_{2}\geq \cdots \geq I_{M}\geq 2}. DejarSr⊂FI1⊗⋯FImetro⊗⋯⊗FIMETRO{\displaystyle S_{r}\subset F^{I_{1}}\otimes \cdots F^{I_{m}}\otimes \cdots \otimes F^{I_{M}}}denotamos el conjunto de tensores de rango acotado porr{\displaystyle r}. Luego, se demostró que la siguiente afirmación era correcta utilizando una demostración asistida por computadora para todos los espacios de dimensiónΠ<15000{\displaystyle \Pi <15000}, [ 17 ] y se conjetura que es válido en general: [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]

Existe un conjunto cerradoZr{\displaystyle Z_{r}}en la topología de Zariski tal que cada tensorA∈Sr∖Zr{\displaystyle {\mathcal {A}}\in S_{r}\setminus Z_{r}}es identificable (Sr{\displaystyle S_{r}}( se denomina genéricamente identificable en este caso), a menos que se dé alguno de los siguientes casos excepcionales:

  1. El rango es demasiado alto:r>rmi(I1,I2,…,IMETRO){\displaystyle r>r_{E}(I_{1},I_{2},\ldots ,I_{M})};
  2. El espacio está desequilibrado en cuanto a identificabilidad, es decir,I1>∏metro=2METROimetro−∑metro=2METRO(Imetro−1){\textstyle I_{1}>\prod _{m=2}^{M}i_{m}-\sum _{m=2}^{M}(I_{m}-1)}y el rango es demasiado grande:r≥∏metro=2METROImetro−∑metro=2METRO(Imetro−1){\textstyle r\geq \prod _{m=2}^{M}I_{m}-\sum _{m=2}^{M}(I_{m}-1)};
  3. El espacio es la caja defectuosaF4⊗F4⊗F3{\displaystyle F^{4}\otimes F^{4}\otimes F^{3}}y el rango esr=5{\displaystyle r=5};
  4. El espacio es la caja defectuosaFnorte⊗Fnorte⊗F2⊗F2{\displaystyle F^{n}\otimes F^{n}\otimes F^{2}\otimes F^{2}}, dóndenorte≥2{\displaystyle n\geq 2}y el rango esr=2norte−1{\displaystyle r=2n-1};
  5. El espacio esF4⊗F4⊗F4{\displaystyle F^{4}\otimes F^{4}\otimes F^{4}}y el rango esr=6{\displaystyle r=6};
  6. El espacio esF6⊗F6⊗F3{\displaystyle F^{6}\otimes F^{6}\otimes F^{3}}y el rango esr=8{\displaystyle r=8}; o
  7. El espacio esF2⊗F2⊗F2⊗F2⊗F2{\displaystyle F^{2}\otimes F^{2}\otimes F^{2}\otimes F^{2}\otimes F^{2}}y el rango esr=5{\displaystyle r=5}.
  8. El espacio es perfecto, es decir,rmi(I1,I2,…,IMETRO)=ΠΣ+1{\textstyle r_{E}(I_{1},I_{2},\ldots ,I_{M})={\frac {\Pi }{\Sigma +1}}}es un número entero y el rango esr=rmi(I1,I2,…,IMETRO){\textstyle r=r_{E}(I_{1},I_{2},\ldots ,I_{M})}.

En estos casos excepcionales, el número genérico (y también mínimo) de descomposiciones complejas es

  • demostró ser∞{\displaystyle \infty }en los primeros 4 casos;
  • Se demostró que eran dos en el caso 5; [ 20 ]
  • Se esperaba que [ 21 ] fuera seis en el caso 6;
  • Se demostró que eran dos en el caso 7; [ 22 ] y
  • Se espera [ 21 ] que sean al menos dos en el caso 8, con excepción de los dos casos identificables.F5⊗F4⊗F3{\displaystyle F^{5}\otimes F^{4}\otimes F^{3}}yF3⊗F2⊗F2⊗F2{\displaystyle F^{3}\otimes F^{2}\otimes F^{2}\otimes F^{2}}.

En resumen, el tensor genérico de ordenMETRO>2{\displaystyle M>2}y rangor<ΠΣ+1{\textstyle r<{\frac {\Pi }{\Sigma +1}}}Se espera que aquello que no sea identificable-desequilibrado sea identificable (salvo los casos excepcionales en espacios pequeños).

Mal planteamiento del problema de aproximación estándar

El problema de aproximación de rango pide el rango-r{\displaystyle r}descomposición más cercana (en la topología euclidiana habitual) a algún rango-s{\displaystyle s}tensorA{\displaystyle {\mathcal {A}}}, dónder<s{\displaystyle r<s}. Es decir, uno busca resolver

minaimetro∈FImetro‖A−∑i=1rai1⊗ai2⊗⋯⊗aiMETRO‖F,{\displaystyle \min _{\mathbf {a} _{i}^{m}\in F^{I_{m}}}\left\|{\mathcal {A}}-\sum _{i=1}^{r}\mathbf {a} _{i}^{1}\otimes \mathbf {a} _{i}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{i}^{M}\right\|_{F},}

dónde‖⋅‖F{\displaystyle \|\cdot \|_{F}}es la norma de Frobenius .

En un artículo de 2008 de de Silva y Lim [ 8 ] se demostró que el problema de aproximación estándar anterior puede estar mal planteado . A veces, no existe una solución al problema mencionado porque el conjunto sobre el que se optimiza no es cerrado. Por lo tanto, puede que no exista un minimizador, aunque sí exista un ínfimo. En particular, se sabe que ciertos tensores denominados de frontera pueden aproximarse arbitrariamente bien mediante una secuencia de tensores de rango como máximor{\displaystyle r}, aunque el límite de la secuencia converge a un tensor de rango estrictamente superior ar{\displaystyle r}. El tensor de rango 3

A=tú⊗tú⊗v+tú⊗v⊗tú+v⊗tú⊗tú,con ‖tú‖=‖v‖=1 y ⟨tú,v⟩≠1{\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} ,\quad {\text{with }}\|\mathbf {u} \|=\|\mathbf {v} \|=1{\text{ and }}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle \neq 1}

puede aproximarse arbitrariamente bien mediante la siguiente secuencia de tensores de rango 2.

Anorte=norte(tú+1nortev)⊗(tú+1nortev)⊗(tú+1nortev)−nortetú⊗tú⊗tú{\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}=n\left(\mathbf {u} +{\frac {1}{n}}\mathbf {v} \right)\otimes \left(\mathbf {u} +{\frac {1}{n}}\mathbf {v} \right)\otimes \left(\mathbf {u} +{\frac {1}{n}}\mathbf {v} \right)-n\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} }

comonorte→∞{\displaystyle n\to \infty }Este ejemplo ilustra claramente el principio general de que una secuencia de rango-r{\displaystyle r}Los tensores que convergen a un tensor de rango estrictamente superior deben admitir al menos dos términos individuales de rango 1 cuyas normas se vuelven ilimitadas. Dicho formalmente, siempre que una secuencia

Anorte=∑i=1rai,norte1⊗ai,norte2⊗⋯⊗ai,norteMETRO{\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}=\sum _{i=1}^{r}\mathbf {a} _{i,n}^{1}\otimes \mathbf {a} _{i,n}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{i,n}^{M}}

tiene la propiedad de queAnorte→A{\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}\to {\mathcal {A}}}(en la topología euclidiana) comonorte→∞{\displaystyle n\to \infty }, entonces debería existir al menos1≤i≠j≤r{\displaystyle 1\leq i\neq j\leq r}de tal manera que

‖ai,norte1⊗ai,norte2⊗⋯⊗ai,norteMETRO‖F→∞ y ‖aj,norte1⊗aj,norte2⊗⋯⊗aj,norteMETRO‖F→∞{\displaystyle \|\mathbf {a} _{i,n}^{1}\otimes \mathbf {a} _{i,n}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{i,n}^{M}\|_{F}\to \infty {\text{ and }}\|\mathbf {a} _{j,n}^{1}\otimes \mathbf {a} _{j,n}^{2}\otimes \cdots \otimes \mathbf {a} _{j,n}^{M}\|_{F}\to \infty }

comonorte→∞{\displaystyle n\to \infty }Este fenómeno se observa con frecuencia al intentar aproximar un tensor mediante algoritmos de optimización numérica. A veces se le denomina el problema de los componentes divergentes . Además, se ha demostrado que un tensor aleatorio de bajo rango sobre los números reales puede no admitir una aproximación de rango 2 con probabilidad positiva, lo que lleva a comprender que el problema de la mala formulación es una consideración importante al emplear la descomposición en rango de tensores.

Una solución parcial común al problema de mal planteamiento consiste en imponer una restricción de desigualdad adicional que limita la norma de los términos individuales de rango 1 mediante una constante. Otras restricciones que dan como resultado un conjunto cerrado y, por lo tanto, un problema de optimización bien planteado, incluyen imponer positividad o un producto interno acotado estrictamente menor que la unidad entre los términos de rango 1 que aparecen en la descomposición buscada.

Cálculo del CPD

Algoritmos alternos:

Algoritmos directos:

Algoritmos generales de optimización:

Algoritmos de valores propios:

Máquinas de factorización:

Factorizaciones bayesianas/Muestreo/Cadena de Markov Monte Carlo (MCMC):

Aprendizaje profundo/Redes neuronales (aprendizaje basado en gradientes):

Algoritmos generales para la resolución de sistemas polinomiales:

Sin embargo, P Wiriyathammabhum y B Kijsirikul [ 39 ] encontraron que no hay algoritmos de resolución óptimos (todos los métodos de optimización existentes no pueden proporcionar soluciones demostrablemente óptimas), ya que habían creado un tensor de puntuación y reclasificado las soluciones usando solo una selección escalonada voraz que puede dar soluciones significativamente mejores, al menos en nd-PCA, nd-FLD/LDA, etc. (variantes CPD y Tucker). La hipótesis es que fijar todos los demás parámetros n-1 mientras se optimiza el parámetro n es siempre (demostrablemente) subóptimo. MS Mahanta y KN Plataniotis [ 40 ] propusieron otra solución de agrupamiento espectral que proporciona soluciones aún mejores.

Aplicaciones

En el aprendizaje automático, la descomposición CP es el ingrediente central para aprender modelos de variables latentes probabilísticas mediante la técnica de ajuste de momentos. Por ejemplo, consideremos el modelo multivista [ 41 ] , que es un modelo de variable latente probabilística. En este modelo, la generación de muestras se plantea de la siguiente manera: existe una variable aleatoria oculta que no se observa directamente, dada la cual, existen varias variables aleatorias condicionalmente independientes conocidas como las diferentes "vistas" de la variable oculta. Por ejemplo, supongamos que hay tres vistas.incógnita1,incógnita2,incógnita3{\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}de unk{\displaystyle k}-variable oculta categórica de estadoh{\displaystyle h}. Luego, el tercer momento empírico de este modelo de variable latentemi[incógnita1⊗incógnita2⊗incógnita3]{\displaystyle E[x_{1}\otimes x_{2}\otimes x_{3}]}es un tensor de rango 3 y se puede descomponer como: mi[incógnita1⊗incógnita2⊗incógnita3]=∑i=1kPAGr(h=i)mi[incógnita1|h=i]⊗mi[incógnita2|h=i]⊗mi[incógnita3|h=i]{\displaystyle E[x_{1}\otimes x_{2}\otimes x_{3}]=\sum _{i=1}^{k}Pr(h=i)E[x_{1}|h=i]\otimes E[x_{2}|h=i]\otimes E[x_{3}|h=i]}.

En aplicaciones como el modelado de temas , esto puede interpretarse como la coocurrencia de palabras en un documento. Entonces, los coeficientes en la descomposición de este tensor de momento empírico pueden interpretarse como la probabilidad de elegir un tema específico y cada columna de la matriz de factores.mi[incógnita|h=i]{\displaystyle E[x|h=i]}corresponde a las probabilidades de las palabras en el vocabulario del tema correspondiente.

Véase también

Referencias

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  • Tutorial de PARAFAC
  • Análisis de factores paralelos (PARAFAC)
  • FactoMineR (software gratuito de análisis exploratorio de datos multivariados vinculado a R )