Grupo paramodular

En matemáticas , un grupo paramodular es un tipo especial de subgrupo aritmético del grupo simpléctico . Es una generalización del grupo modular de Siegel y guarda la misma relación con las variedades abelianas polarizadas que el grupo modular de Siegel con ^las variedades abelianas polarizadas principales. Es el grupo de automorfismos de Z²ⁿ ^que preserva una forma antisimétrica no degenerada. El nombre "grupo paramodular" se usa a menudo para referirse a una de las diversas representaciones matriciales estándar de este grupo. El grupo correspondiente sobre los reales se llama grupo parasimpléctico y es conjugado a un grupo simpléctico (real). Una forma paramodular es una forma modular de Siegel para un grupo paramodular.

Los grupos paramodulares fueron introducidos por Conforto (1952) y nombrados por Shimura (1958 , sección 8) .

Existen dos convenciones para escribir el grupo paramodular como matrices . En la primera (más antigua), las entradas de la matriz son enteros , pero el grupo no es un subgrupo del grupo simpléctico; mientras que en la segunda, el grupo paramodular es un subgrupo del grupo simpléctico usual (sobre los racionales ), pero sus coordenadas no siempre son enteras. Estas dos formas del grupo simpléctico son conjugadas en el grupo lineal general .

Cualquier forma antisimétrica no singular en Z ^{2 n} es equivalente a una dada por una matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&F\\-F&0\end{pmatrix}}}$

donde F es una matriz diagonal de n por n cuyos elementos diagonales F _ii son enteros positivos, y cada uno divide al siguiente. Por lo tanto, cualquier grupo paramodular es conjugado a uno que conserva la forma anterior; en otras palabras, consta de las matrices

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

de GL _{2 n} Z tal que

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}0&F\\-F&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&F\\-F&0\end{pmatrix}}.}$

El conjugado del grupo paramodular por la matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&0\\0&F\end{pmatrix}}}$

(donde I es la matriz identidad ) se encuentra en el grupo simpléctico Sp _{2 n} Q , ya que

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&0\\0&F\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}0&I\\-I&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&0\\0&F\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&F\\-F&0\end{pmatrix}}}$

aunque sus entradas no son en general números enteros. Este conjugado también se conoce a menudo como grupo paramodular.

Los grupos paramodulares de grado n = 2 son subgrupos de GL ₄ Q , por lo que pueden representarse como matrices de 4x4. En la literatura se utilizan al menos tres métodos para hacerlo. Esta sección describe cómo representarlo como un subgrupo de Sp ₄ Q con entradas que no necesariamente son números enteros.

Cualquier forma antisimétrica no degenerada en Z ⁴ es, salvo isomorfismo y múltiplos escalares, equivalente a la dada como se indicó anteriormente por la matriz.

${\displaystyle F={\begin{pmatrix}1&0\\0&N\end{pmatrix}}}$.

En este caso, una forma del grupo paramodular consiste en las matrices simplécticas de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}*&*&*&*/N\\{}*&*&*&*/N\\{}*&*&*&*/N\\N*&N*&N*&*\end{pmatrix}}}$

donde cada${\displaystyle *}$representa un número entero. El hecho de que esta matriz sea simpléctica impone algunas condiciones de congruencia adicionales, por lo que, de hecho, el grupo paramodular consta de las matrices simplécticas de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}*&N*&*&*\\{}*&*&*&*/N\\{}*&N*&*&*\\N*&N*&N*&*\end{pmatrix}}}$

El grupo paramodular en este caso se genera mediante matrices de las formas

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\{}0&1&0&0\\{}x&Ny&1&0\\Ny&Nz&0&1\end{pmatrix}}}$y${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&x&y\\{}0&1&y&z/N\\{}0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

para los enteros x , y y z .

Algunos autores utilizan la matriz${\displaystyle F={\begin{pmatrix}N&0\\0&1\end{pmatrix}}}$en lugar de${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&N\end{pmatrix}}}$lo que da resultados similares excepto que las filas y columnas se permutan; por ejemplo, el grupo paramodular consta entonces de las matrices simplécticas de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}*&*&*/N&*\\{}N*&*&*&*\\{}N*&N*&*&N*\\N*&*&*&*\end{pmatrix}}}$

• Christian, Ulrich (1967), "Einführung in die Theorie der paramodularen Gruppen", Math. Ana. , 168 : 59– 104, doi : 10.1007/BF01361545 , SEÑOR 0204373 , S2CID 119562779  
• Conforto, Fabio (1952), Funzioni abeliane modulari. vol. 1. Preliminari e parte gruppale. Geometria simpletica. , Lezioni raccolte dal dott. Mario Rosati. Edizioni Universitarie "Docet" (en italiano), Roma, MR 0054035 {{citation}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
• Shimura, G. (1958), Modules des variétés abéliennes polarisées et fonctions modulaires , Séminaire Henri Cartan 1957/58, vol. 18-20​ 

• Schulze-Pillot, Rainer (2011), Serie theta paramodular (PDF) , diapositivas de una charla