Parbelos

El parbelos es una figura similar al arbelos , pero en lugar de tres semicírculos, utiliza tres segmentos de parábola . Más precisamente, el parbelos consta de tres segmentos de parábola cuya altura es un cuarto de su anchura en la base. Los dos segmentos más pequeños se colocan uno al lado del otro con sus bases sobre una línea común, y la parábola más grande se sitúa sobre los dos más pequeños de manera que su anchura sea la suma de las anchuras de los segmentos más pequeños (véase el gráfico).

El parbelos tiene varias propiedades que son algo similares o incluso idénticas a las propiedades del arbelos. Por ejemplo, las siguientes dos propiedades son idénticas a las del arbelos: ^{[ 1 ]}

• La longitud del arco de la parábola exterior es igual a la suma de las longitudes de arco de las parábolas interiores.
• En una construcción de arbelos anidados, donde los segmentos de parábola internos son arbelos en sí mismos, los dos segmentos de parábola más internos, al ser adyacentes a la cúspide del arbelos externo, son congruentes , es decir, de igual tamaño.

El cuadrilátero${\displaystyle BM_{2}MM_{1}}$formada por la cúspide interna${\displaystyle B}$y los puntos medios${\displaystyle M,M_{1},M_{2}}$de los tres arcos de la parábola es un paralelogramo cuya área se relaciona con el área de los parbelos de la siguiente manera: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle F_{\text{paralelogramo}}={\frac {3}{4}}F_{\text{parbelos}}}$

Las cuatro tangentes en las tres cúspides de la parábola se intersecan en cuatro puntos, que forman un rectángulo llamado rectángulo tangente. La circunferencia circunscrita al rectángulo tangente interseca el lado de la base del segmento de la parábola exterior en su punto medio, que es el foco de la parábola exterior. Una diagonal del rectángulo tangente se encuentra sobre una tangente a la parábola exterior y su punto común con ella es idéntico a su punto de intersección con la perpendicular a la base en la cúspide interior. Para el área del rectángulo tangente se cumple la siguiente ecuación: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle F_{\text{rectángulo}}={\frac {3}{2}}F_{\text{parbelos}}}$

• Emmanuel Tsukerman: «Solución del problema de Sondow: una demostración sintética de la propiedad de tangencia del parbelos». En: The American Mathematical Monthly , vol. 121, n.º 5 (mayo de 2014), págs. 438-443.
• Antonio M. Oller-Marcén: "El f-belos". En: Forum Geometricorum , 13 (2013), pp.  103–111 ( copia en línea )
• Viktorija Ternar: Arbelos, parabelos in f-belos (tesis de maestría, Universidad de Maribor , 2015)