transformación de cuadratura directa cero

La transformación de cuadratura directa cero ( DQZ , DQ0 ^{[ 1 ]} o DQO , ^{[ 2 ]} a veces en minúsculas) o transformación de Park (llamada así en honor a Robert H. Park ) es un tensor que rota el sistema de referencia de un vector de tres elementos o una matriz de tres por tres elementos con el fin de simplificar el análisis. La transformación combina una transformación de Clarke con un nuevo sistema de referencia giratorio . ^[³^]

La transformación de Park se utiliza frecuentemente en el contexto de la ingeniería eléctrica con circuitos trifásicos . Esta transformación permite rotar los sistemas de referencia de las formas de onda de CA para convertirlas en señales de CC . Posteriormente, se pueden realizar cálculos simplificados sobre estas magnitudes de CC antes de aplicar la transformación inversa para recuperar los resultados reales de CA trifásica. Por ejemplo, la transformación de Park se utiliza a menudo para simplificar el análisis de máquinas síncronas trifásicas o para simplificar los cálculos de control de inversores trifásicos . En el análisis de máquinas síncronas trifásicas, la transformación transfiere las magnitudes del estator y del rotor trifásicas a un único sistema de referencia giratorio para eliminar el efecto de las inductancias variables en el tiempo y transforma el sistema en un sistema lineal invariante en el tiempo.

Introducción

La transformación de Park es equivalente al producto de las matrices de rotación y de transformación de Clarke. La transformación de Clarke (llamada así en honor a Edith Clarke ) convierte vectores del sistema de referencia ABC al sistema de referencia XYZ (también llamado α β γ ). El valor principal de la transformación de Clarke es aislar la parte del vector referenciado en ABC que es común a las tres componentes del vector; aísla la componente de modo común (es decir, la componente Z ). La matriz de transformación de Clarke, invariante bajo potencias, dextrógira y uniformemente escalada, es

K_{C}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}

.

Para convertir un vector columna referenciado al sistema de referencia ABC al sistema de referencia XYZ , el vector debe multiplicarse previamente por la matriz de transformación de Clarke:

{\vec {u}}_{XYZ}=K_{C}\cdot {\vec {u}}_{ABC}

.

Y, para convertir de nuevo un vector columna referenciado en XYZ al sistema de referencia ABC , el vector debe multiplicarse previamente por la matriz de transformación inversa de Clarke:

{\vec {u}}_{ABC}=K_{C}^{-1}\cdot {\vec {u}}_{XYZ}

.

La rotación convierte vectores del sistema de referencia XYZ al sistema de referencia DQZ . El valor principal de la rotación es rotar el sistema de referencia de un vector a una frecuencia arbitraria. La rotación desplaza el espectro de frecuencia de la señal de tal manera que la frecuencia arbitraria ahora aparece como "cc", y la antigua cc aparece como el negativo de la frecuencia arbitraria. La matriz de rotación es

K_{r}={\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&\sin {\left(\theta \right)}&0\\-\sin {\left(\theta \right)}&\cos {\left(\theta \right)}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}

,

donde θ es el ángulo instantáneo de una frecuencia ω arbitraria . Para convertir un vector referenciado en XYZ al sistema de referencia DQZ , la señal del vector columna debe multiplicarse previamente por la matriz de rotación:

u_{P}=K_{r}\cdot u_{XYZ}

.

Y, para convertir de nuevo un vector referenciado en DQZ al sistema de referencia XYZ , la señal del vector columna debe multiplicarse previamente por la matriz de rotación inversa:

u_{XYZ}=K_{r}^{-1}\cdot u_{DQZ}

.

La transformación de Park es equivalente al producto de la transformación de Clarke y una rotación:

K_{P}=K_{r}\cdot K_{C}

\to {\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&\sin {\left(\theta \right)}&0\\-\sin {\left(\theta \right)}&\cos {\left(\theta \right)}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&{\frac {-1}{2}}&{\frac {-1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}

\to {\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&\cos {\left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)}&\cos {\left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)}\\-\sin {\left(\theta \right)}&-\sin {\left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)}&-\sin {\left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}

La transformación inversa es:

K_{P}^{-1}={\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&-\sin {\left(\theta \right)}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\\cos {\left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)}&-\sin {\left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\\cos {\left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)}&-\sin {\left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}

Para convertir un vector referenciado al sistema ABC al sistema de referencia DQZ , la señal del vector columna debe multiplicarse previamente por la matriz de transformación de Park:

u_{DQZ}=K_{P}\cdot u_{ABC}

.

Y, para convertir de nuevo un vector referenciado a DQZ al marco de referencia ABC , la señal del vector columna debe multiplicarse previamente por la matriz de transformación inversa de Park:

u_{ABC}=K_{P}^{-1}\cdot u_{DQZ}

.

Para comprender mejor esta transformación, se incluye una derivación de la misma.

Derivación

Derivación de la matriz de rotación

Una matriz de rotación se basa en el concepto del producto escalar y las proyecciones de vectores sobre otros vectores. Primero, imaginemos dos vectores unitarios, ${\hat {u}}_{D}$ y ${\hat {u}}_{Q}$ (los vectores unitarios, o ejes, del nuevo marco de referencia desde la perspectiva del antiguo marco de referencia), y un tercer vector arbitrario ${\vec {v}}_{XY}$ Podemos definir los dos vectores unitarios y el vector aleatorio en términos de sus coordenadas cartesianas en el antiguo sistema de referencia:

{\hat {u}}_{D}=\cos {\left(\theta \right)}{\hat {u}}_{X}+\sin {\left(\theta \right)}{\hat {u}}_{Y}

{\hat {u}}_{Q}=-\sin {\left(\theta \right)}{\hat {u}}_{X}+\cos {\left(\theta \right)}{\hat {u}}_{Y}

{\vec {v}}_{XY}=v_{X}{\hat {u}}_{X}+v_{Y}{\hat {u}}_{Y}

,

dónde ${\hat {u}}_{X}$ y ${\hat {u}}_{Y}$ son los vectores base unitarios del antiguo sistema de coordenadas y $\theta$ es el ángulo entre el ${\hat {u}}_{X}$ y ${\hat {u}}_{D}$ vectores unitarios (es decir, el ángulo entre los dos sistemas de referencia). La proyección del vector arbitrario sobre cada uno de los dos nuevos vectores unitarios implica el producto escalar:

v_{D}={\hat {u}}_{D}\cdot {\vec {v}}_{XY}

\to \cos {\left(\theta \right)}v_{X}+\sin {\left(\theta \right)}v_{Y}

v_{Q}={\hat {u}}_{Q}\cdot {\vec {v}}_{XY}

\to -\sin {\left(\theta \right)}v_{X}+\cos {\left(\theta \right)}v_{Y}

.

Entonces, $v_{D}$ es la proyección de ${\vec {v}}_{XY}$ sobre el ${\hat {u}}_{D}$ eje y $v_{Q}$ es la proyección de ${\vec {v}}_{XY}$ sobre el ${\hat {u}}_{Q}$ eje. Estos nuevos componentes vectoriales, $v_{D}$ y $v_{Q}$ , juntos componen el nuevo vector ${\vec {v}}_{DQ}$ , el vector original ${\vec {v}}_{XY}$ en términos del nuevo marco de referencia DQ .

{\displaystyle {\vec {v}}_{XY}} — Proyección de ${\vec {v}}_{XY}$ en el marco de referencia DQ .

Observe que el ángulo positivo $\theta$ Lo anterior provocó que el vector arbitrario girara hacia atrás al pasar al nuevo sistema de referencia DQ . En otras palabras, su ángulo con respecto al nuevo sistema de referencia es menor que su ángulo con respecto al sistema de referencia anterior. Esto se debe a que el sistema de referencia, no el vector, giró hacia adelante. De hecho, una rotación hacia adelante del sistema de referencia es idéntica a una rotación negativa del vector. Si el sistema de referencia anterior girara hacia adelante, como en los sistemas eléctricos trifásicos, el vector DQ resultante permanecería estacionario.

Una única ecuación matricial puede resumir la operación anterior:

{\vec {v}}_{DQ}={\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&\sin {\left(\theta \right)}\\-\sin {\left(\theta \right)}&\cos {\left(\theta \right)}\end{bmatrix}}\cdot {\vec {v}}_{XY}

.

Este tensor puede extenderse a problemas tridimensionales, donde el eje alrededor del cual ocurre la rotación permanece inalterado. En el siguiente ejemplo, la rotación se produce alrededor del eje Z , pero se podría haber elegido cualquier otro eje:

K_{r}={\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&\sin {\left(\theta \right)}&0\\-\sin {\left(\theta \right)}&\cos {\left(\theta \right)}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}

.

Desde la perspectiva del álgebra lineal , esto es simplemente una rotación en el sentido de las agujas del reloj alrededor del eje z y es matemáticamente equivalente a las fórmulas de ángulos de diferencia trigonométrica .

Derivación de la transformación de Clarke

Los vectores base unitarios ABC

Consideremos un espacio tridimensional con vectores base unitarios A , B y C. La esfera en la figura siguiente se utiliza para mostrar la escala del sistema de referencia para contextualizar, y el recuadro se utiliza para proporcionar un contexto rotacional.

Normalmente, en ingeniería eléctrica (o en cualquier otro contexto que utilice sistemas trifásicos), los componentes trifásicos se representan en una perspectiva bidimensional. Sin embargo, dado que las tres fases pueden variar independientemente, por definición son ortogonales entre sí. Esto implica una perspectiva tridimensional, como se muestra en la figura anterior. Por lo tanto, la perspectiva bidimensional muestra en realidad la proyección de la realidad tridimensional sobre un plano.

Los problemas trifásicos se describen típicamente como si operaran dentro de este plano. En realidad, es probable que el problema sea un problema de fase equilibrada (es decir, v _A + v _B + v _C = 0) y el vector neto

{\vec {v}}=v_{A}{\hat {u}}_{A}+v_{B}{\hat {u}}_{B}+v_{C}{\hat {u}}_{C}

Siempre está en este plano.

Los vectores base unitarios AYC'

Para construir la transformación de Clarke, en realidad usamos la transformación de Park en dos pasos. Nuestro objetivo es rotar el eje C hacia la esquina de la caja. De esta manera, el eje C rotado será ortogonal al plano de la perspectiva bidimensional mencionada anteriormente. El primer paso para construir la transformación de Clarke requiere rotar el sistema de referencia ABC alrededor del eje A. Así, en este caso, el 1 estará en el primer elemento de la transformación de Park:

K_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos {\left(-{\frac {\pi }{4}}\right)}&\sin {\left(-{\frac {\pi }{4}}\right)}\\0&-\sin {\left(-{\frac {\pi }{4}}\right)}&\cos {\left(-{\frac {\pi }{4}}\right)}\end{bmatrix}}

\to {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}

La siguiente figura muestra cómo se rota el sistema de referencia ABC al sistema de referencia AYC' cuando cualquier vector se premultiplica por la matriz K _{1. Los ejes}C' e Y ahora apuntan a los puntos medios de los bordes de la caja, pero la magnitud del sistema de referencia no ha cambiado (es decir, la esfera no ha crecido ni se ha encogido). Esto se debe a que la norma del tensor K ₁ es 1: || K ₁ || = 1. Esto significa que cualquier vector en el sistema de referencia ABC seguirá teniendo la misma magnitud al rotarlo al sistema de referencia AYC' .

Los vectores base unitarios XYZ

A continuación, el siguiente tensor rota el vector alrededor del nuevo eje Y en sentido contrario a las agujas del reloj con respecto al eje Y (el ángulo se eligió de manera que el eje C' apuntara hacia la esquina de la caja):

K_{2}={\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&0&-\sin {\left(\theta \right)}\\0&1&0\\\sin {\left(\theta \right)}&0&\cos {\left(\theta \right)}\end{bmatrix}}

\theta =\cos ^{-1}\left({\sqrt {\frac {2}{3}}}\right)\to 35.26^{\circ }

,

o

K_{2}={\begin{bmatrix}{\sqrt {\frac {2}{3}}}&0&-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\0&1&0\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&0&{\sqrt {\frac {2}{3}}}\end{bmatrix}}

.

Nótese que la distancia desde el centro de la esfera hasta el punto medio del borde de la caja es $\sqrt2,$ pero desde el centro de la esfera hasta la esquina de la caja es $\sqrt3 . De ahí proviene el ángulo de$ 35,26°. El ángulo se puede calcular utilizando el producto escalar. Sea ${\vec {m}}=\left(0,{\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)$ Sea el vector unitario en la dirección de C' y sea ${\vec {n}}=\left({\frac {\sqrt {3}}{3}},{\frac {\sqrt {3}}{3}},{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)$ sea un vector unitario en la dirección de la esquina de la caja en ${\vec {n}}=\left(1,1,1\right)$ . Porque ${\vec {m}}\cdot {\vec {n}}=|{\vec {m}}||{\vec {n}}|\cos \theta ,$ dónde $\theta$ es el ángulo entre ${\vec {m}}$ y ${\vec {n}},$ tenemos

\left(0,{\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\cdot \left({\frac {\sqrt {3}}{3}},{\frac {\sqrt {3}}{3}},{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)=\cos \theta

\cos \theta =0+{\frac {\sqrt {2}}{2{\sqrt {3}}}}+{\frac {\sqrt {2}}{2{\sqrt {3}}}}={\sqrt {\frac {2}{3}}}

\theta =\cos ^{-1}\left({\sqrt {\frac {2}{3}}}\right)

\theta =35.26^{\circ }.

La norma de la matriz K ₂ también es 1, por lo que tampoco cambia la magnitud de ningún vector premultiplicado por la matriz K ₂ .

El plano cero

En este punto, el eje Z es ortogonal al plano en el que se encuentra cualquier vector ABC sin componente de modo común. Cualquier forma de onda vectorial ABC equilibrada (un vector sin modo común) se propagará alrededor de este plano. Este plano se denomina plano cero y se muestra a continuación mediante el contorno hexagonal.

Los vectores base X e Y se encuentran en el plano cero. Nótese que el eje X es paralelo a la proyección del eje A sobre el plano cero. El eje X es ligeramente mayor que la proyección del eje A sobre el plano cero, por un factor de $\sqrt3 /2$ . El vector arbitrario no cambió de magnitud durante esta conversión del sistema de referencia ABC al sistema de referencia XYZ (es decir, la esfera no cambió de tamaño). Esto se cumple para la forma invariante de potencia de la transformación de Clarke. La siguiente figura muestra la perspectiva bidimensional común de los sistemas de referencia ABC y XYZ .

Puede parecer extraño que, si bien la magnitud del vector no cambió, la magnitud de sus componentes sí lo hizo (es decir, las componentes X e Y son mayores que las componentes A , B y C ). Quizás esto se pueda comprender intuitivamente al considerar que, para un vector sin modo común, lo que requería tres valores ( componentes A , B y C ) para expresarse, ahora solo requiere dos ( componentes X e Y ), ya que la componente Z es cero. Por lo tanto, los valores de las componentes X e Y deben ser mayores para compensar.

Combinación de tensores

La matriz de transformación de Clarke invariante a la potencia es una combinación de los tensores K ₁ y K _{2 :}

K_{C}=\underbrace {\begin{bmatrix}{\sqrt {\frac {2}{3}}}&0&-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\0&1&0\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&0&{\sqrt {\frac {2}{3}}}\end{bmatrix}} _{K_{2}}\cdot \underbrace {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}} _{K_{1}}

,

o

K_{C}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}

\to {\begin{bmatrix}{\frac {2}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {6}}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\end{bmatrix}}

.

$Nótese que ,$ al multiplicar, la última fila de la matriz K _C es 1/ $\sqrt3$ , no 1/3. (Edith Clarke sí utilizó 1/3 para el caso de la variante de potencia). El componente Z no es exactamente el promedio de los componentes A , B y C. Si solo se cambiaran los elementos de la última fila a 1/3, la esfera se comprimiría a lo largo del eje Z. Esto significa que el componente Z no tendría la misma escala que los componentes X e Y.

Como se indica anteriormente, la norma de la matriz de transformación de Clarke sigue siendo 1, lo que significa que solo rota un vector ABC pero no lo escala. No se puede decir lo mismo de la transformación original de Clarke.

Es fácil verificar (mediante multiplicación de matrices ) que la inversa de K _C es

K_{C}^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {2}{\sqrt {6}}}&0&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\end{bmatrix}}

forma variante de potencia

$En ocasiones ,$ resulta conveniente escalar la matriz de transformación de Clarke de modo que el eje X sea la proyección del eje A sobre el plano cero. Para ello, aplicamos uniformemente un factor de escala de $\sqrt2 /3$ y un factor de $2\sqrt1 /radical$ al componente cero para obtener la matriz de transformación de Clarke con variación de potencia:

K_{\hat {C}}={\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot \underbrace {{\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}} _{K_{C}}

\to {\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}1&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}

o

K_{\hat {C}}={\begin{bmatrix}{\frac {2}{3}}&-{\frac {1}{3}}&-{\frac {1}{3}}\\0&{\frac {1}{\sqrt {3}}}&-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {1}{3}}\end{bmatrix}}

.

Esto necesariamente reducirá la esfera en un factor de $\sqrt2 /3,$ como se muestra a continuación. Observe que este nuevo eje X es exactamente la proyección del eje A sobre el plano cero.

Con la transformación de Clarke de potencia variable, la magnitud del vector arbitrario es menor en el sistema de referencia XYZ que en el sistema de referencia ABC (la norma de la transformación es $\sqrt 2/3$ ), pero las magnitudes de los componentes individuales del vector son las mismas (cuando no hay modo común). Así, como ejemplo, una señal definida por

{\begin{bmatrix}A\\B\\C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos {\left(\omega t\right)}\\\cos {\left(\omega t-{\frac {2\pi }{3}}\right)}\\\cos {\left(\omega t+{\frac {2\pi }{3}}\right)}\end{bmatrix}}

se convierte, en el sistema de referencia XYZ ,

{\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos {\left(\omega t\right)}\\\cos {\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)}\\0\end{bmatrix}}

,

un nuevo vector cuyos componentes tienen la misma magnitud que los componentes originales: 1. En muchos casos, esta es una cualidad ventajosa de la transformación de Clarke variante de potencia.

Derivación de la transformación del parque

La transformación de Park es equivalente a aplicar la transformación de Clarke para convertir vectores referenciados a ABC en dos componentes de modo diferencial (es decir, X e Y ) y una componente de modo común (es decir, Z ), y luego una rotación para girar el sistema de referencia alrededor del eje Z en un ángulo dado. La componente X se convierte en la componente D , que está alineada directamente con el vector de rotación, y la componente Y se convierte en la componente Q , que está en cuadratura con la componente directa. La transformación de Park es

K_{P}=K_{r}\cdot K_{C}

\to {\begin{bmatrix}\cos {\left(\theta \right)}&\sin {\left(\theta \right)}&0\\-\sin {\left(\theta \right)}&\cos {\left(\theta \right)}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{3}}}{\begin{bmatrix}1&{\frac {-1}{2}}&{\frac {-1}{2}}\\0&{\frac {\sqrt {3}}{2}}&-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}

.

Ejemplo

En los sistemas eléctricos, con frecuencia los valores A , B y C oscilan de tal manera que el vector resultante gira. En un sistema equilibrado, el vector gira alrededor del eje Z. A menudo, resulta útil rotar el sistema de referencia para que la mayoría de las variaciones en los valores ABC , debidas a este giro, se cancelen y las variaciones más sutiles se hagan más evidentes. Esto es sumamente útil, ya que transforma el sistema en un sistema lineal e invariante en el tiempo .

La transformación de Park puede pensarse en términos geométricos como la proyección de las tres cantidades de fase sinusoidales separadas sobre dos ejes que giran con la misma velocidad angular que las cantidades de fase sinusoidales. ^{[ 4 ]}

En la imagen superior se muestra la transformación de Park aplicada al estator de una máquina síncrona. Hay tres devanados separados por 120 grados físicos. Las tres corrientes de fase tienen la misma magnitud y están separadas entre sí por 120 grados eléctricos. Las tres corrientes de fase están desfasadas con respecto a sus correspondientes tensiones de fase. $\delta$ . Los ejes DQ se muestran girando con una velocidad angular igual a $\omega$ , la misma velocidad angular que las tensiones y corrientes de fase. El eje D forma un ángulo $\theta =\omega t$ con el devanado de la fase A que ha sido elegido como referencia. Las corrientes $I_{D}$ y $I_{Q}$ son cantidades constantes de corriente continua.

Transformación propuesta originalmente por Robert H. Park.

La transformación propuesta originalmente por Robert H. Park ^{[ 5 ]} difiere ligeramente de la dada anteriormente. En dicha transformación, el eje q está delante del eje d, qd0, y el $\theta$ El ángulo es el ángulo entre la fase a y el eje d, como se indica a continuación. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

P={\frac {2}{3}}{\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\cos(\theta -{\frac {2\pi }{3}})&\cos(\theta +{\frac {2\pi }{3}})\\-\sin(\theta )&-\sin(\theta -{\frac {2\pi }{3}})&-\sin(\theta +{\frac {2\pi }{3}})\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}

y

P^{-1}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )&1\\\cos(\theta -{\frac {2\pi }{3}})&-\sin(\theta -{\frac {2\pi }{3}})&1\\\cos(\theta +{\frac {2\pi }{3}})&-\sin(\theta +{\frac {2\pi }{3}})&1\end{bmatrix}}

Véase también

Referencias

Referencias en línea

↑ "Realizar la transformación de la señal trifásica (abc) al marco de referencia giratorio dq0 o viceversa" . Simulink . 27 de septiembre de 2018. Consultado el 11 de enero de 2019 .
↑ Mihailovic, Zoran (1998-06-26). "Modelado y diseño de control de sistemas de accionamiento PMSM alimentados por VSI con carga activa" (PDF) . ETDs . Recuperado el 2019-01-11 .
↑ O'Rourke, Colm J.; Qasim, Mohammad M.; Overlin, Matthew R.; Kirtley, James L. (diciembre de 2019). "Una interpretación geométrica de los marcos de referencia y las transformaciones: dq0, Clarke y Park". IEEE Transactions on Energy Conversion . 34 (4): 2070– 2083. Bibcode : 2019ITEnC..34.2070O . doi : 10.1109/TEC.2019.2941175 . hdl : 1721.1/123557 . ISSN 1558-0059 .
↑ Grainger, John J.; Stevenson, William D. (1994). Análisis de sistemas de potencia . McGraw-Hill. págs. 117–123 . ISBN 978-0-07-061293-8.
↑ Park, RH (julio de 1929). "Teoría de dos reacciones de máquinas síncronas: método generalizado de análisis - parte I". Transactions of the American Institute of Electrical Engineers . 48 (3): 716– 727. doi : 10.1109/T-AIEE.1929.5055275 . ISSN 2330-9431 .
↑ D. Holmes y T. Lipo, "Modulación por ancho de pulso para convertidores de potencia: principios y práctica", Wiley-IEEE Press, 2003.
↑ P. Krause, O. Wasynczuk y S. Sudhoff, "Análisis de maquinaria eléctrica y sistemas de accionamiento", 2.ª ed., Piscataway, NJ: IEEE Press, 2002.

Referencias generales

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J. Lewis Blackburn, Componentes simétricos para la ingeniería de sistemas de potencia , Marcel Dekker, Nueva York (1993), ISBN 0-8247-8767-6.
Zhang et al. Un inversor trifásico con una rama neutra con modulación vectorial espacial Actas de la Conferencia IEEE APEC '97 (1997).
TALipo, “Un enfoque vectorial cartesiano para la teoría de referencia de las máquinas de corriente alterna”, Conferencia Internacional sobre Máquinas Eléctricas, Lausana, 18-24 de septiembre de 1984.

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[5] Park, RH (julio de 1929). "Teoría de dos reacciones de máquinas síncronas: método generalizado de análisis - parte I". Transactions of the American Institute of Electrical Engineers . 48 (3): 716– 727. doi : 10.1109/T-AIEE.1929.5055275 . ISSN 2330-9431 .

[6] D. Holmes y T. Lipo, "Modulación por ancho de pulso para convertidores de potencia: principios y práctica", Wiley-IEEE Press, 2003.

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