Análisis de ondas parciales

El análisis de ondas parciales , en el contexto de la mecánica cuántica , se refiere a una técnica para resolver problemas de dispersión mediante la descomposición de cada onda en sus componentes de momento angular y su resolución utilizando condiciones de contorno . El análisis de ondas parciales suele ser útil para la dispersión de baja energía, donde solo predominan unas pocas componentes de momento angular. A alta energía, donde la dispersión es débil, se utiliza una alternativa denominada aproximación de Born . ^{[ 1 ] : 507}

Un haz constante de partículas se dispersa al chocar con un potencial de simetría esférica.${\displaystyle V(r)}$, que es de corto alcance, por lo que para grandes distancias${\displaystyle r\to \infty }$Las partículas se comportan como partículas libres. Se supone que el haz incidente es una onda plana colimada.${\displaystyle \exp(ikz)}$viajando a lo largo del eje z  . Debido a que el haz se enciende durante tiempos largos en comparación con el tiempo de interacción de las partículas con el potencial de dispersión, se asume un estado estacionario. Esto significa que la ecuación de Schrödinger estacionaria para la función de onda${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$Se debe resolver la representación del haz de partículas:

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)\right]\Psi (\mathbf {r} )=E\Psi (\mathbf {r} ).}$

Hacemos el siguiente ansatz :

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\Psi _{0}(\mathbf {r} )+\Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} ),}$

dónde${\displaystyle \Psi _ {0}(\mathbf {r} )\propto \exp(ikz)}$es la onda plana entrante, y${\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )}$es una parte dispersa que perturba la función de onda original.

Es la forma asintótica de${\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )}$Eso es de interés, porque las observaciones cerca del centro de dispersión (por ejemplo, un núcleo atómico ) no son factibles en su mayoría, y la detección de partículas tiene lugar lejos del origen. A grandes distancias, las partículas deberían comportarse como partículas libres, y${\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )}$Por lo tanto, debería ser una solución a la ecuación de Schrödinger libre. Para un potencial con simetría esférica, estas soluciones deberían ser ondas esféricas salientes,${\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )\propto \exp(ikr)/r}$a grandes distancias. Por lo tanto, la forma asintótica de la onda dispersa se elige como ^{[ 2 ] : 371}

${\displaystyle \Psi _{\text{s}}(\mathbf {r} )\to f(\theta ,k){\frac {\exp(ikr)}{r}},}$

dónde${\displaystyle f(\theta ,k)}$es la denominada amplitud de dispersión , que en este caso solo depende del ángulo de elevación.${\displaystyle \theta }$y la energía. Esto da como resultado la siguiente expresión asintótica para toda la función de onda:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )\to \Psi ^{(+)}(\mathbf {r} )=\exp(ikz)+f(\theta ,k){\frac {\exp(ikr)}{r}}.}$

En caso de un potencial con simetría esférica${\displaystyle V(\mathbf {r} )=V(r)}$, la función de onda de dispersión puede expandirse en armónicos esféricos , que se reducen a polinomios de Legendre debido a la simetría azimutal (sin dependencia de${\displaystyle \phi }$):

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {u_{\ell }(r)}{r}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$

En el problema de dispersión estándar, se supone que el haz incidente toma la forma de una onda plana de número de onda k , que puede descomponerse en ondas parciales utilizando la expansión de onda plana en términos de funciones de Bessel esféricas y polinomios de Legendre :

${\displaystyle \psi _{\text{in}}(\mathbf {r} )=e^{ikz}=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }j_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta ).}$

Aquí hemos asumido un sistema de coordenadas esféricas en el que el eje z  está alineado con la dirección del haz. La parte radial de esta función de onda consiste únicamente en la función de Bessel esférica, que puede reescribirse como una suma de dos funciones de Hankel esféricas :

${\displaystyle j_{\ell }(kr)={\frac {1}{2}}\left(h_{\ell }^{(1)}(kr)+h_{\ell }^{(2)}(kr)\right).}$

Esto tiene significado físico: h _ℓ ⁽²⁾ asintóticamente (es decir, para r grande ) se comporta como i ^{−( ℓ +1)} e ^ikr /( kr ) y, por lo tanto, es una onda saliente, mientras que h _ℓ ⁽¹⁾ asintóticamente se comporta como i ^{ℓ +1} e ^−ikr /( kr ) y, por lo tanto, es una onda entrante. La onda entrante no se ve afectada por la dispersión, mientras que la onda saliente se modifica por un factor conocido como el elemento de la matriz S de onda parcial S _ℓ :

${\displaystyle {\frac {u_{\ell }(r)}{r}}{\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {i^{\ell }k}{\sqrt {2\pi }}}\left(h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }h_{\ell }^{(2)}(kr)\right),}$

donde u _ℓ ( r )/ r es la componente radial de la función de onda real. El desplazamiento de fase de dispersión δ _ℓ se define como la mitad de la fase de S _ℓ :

${\displaystyle S_{\ell }=e^{2i\delta _{\ell }}.}$

Si no se pierde flujo, entonces | Sℓ _| = 1 , y por lo tanto el desfase es real. Esto suele ser así, a menos que el potencial tenga un componente de absorción imaginario, que se utiliza a menudo en modelos fenomenológicos para simular pérdidas debidas a otros canales de reacción.

Por lo tanto, la función de onda asintótica completa es

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }{\frac {h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }h_{\ell }^{(2)}(kr)}{2}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$

Al restar ψ _se obtiene la función de onda saliente asintótica:

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)i^{\ell }{\frac {S_{\ell }-1}{2}}h_{\ell }^{(2)}(kr)P_{\ell }(\cos \theta ).}$

Utilizando el comportamiento asintótico de las funciones esféricas de Hankel, se obtiene:

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {e^{ikr}}{r}}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}P_{\ell }(\cos \theta ).}$

Dado que la amplitud de dispersión f ( θ , k ) se define a partir de

${\displaystyle \psi _{\text{out}}(\mathbf {r} ){\stackrel {r\to \infty }{\longrightarrow }}{\frac {e^{ikr}}{r}}f(\theta ,k),}$

De ello se deduce que ^{[ 2 ] : 386}

${\displaystyle f(\theta ,k)=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}P_{\ell }(\cos \theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1){\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}P_{\ell }(\cos \theta ),}$

y por lo tanto la sección transversal diferencial viene dada por

${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\theta ,k)|^{2}={\frac {1}{k^{2}}}\left|\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )\right|^{2}.}$

Esto funciona para cualquier interacción de corto alcance. Para interacciones de largo alcance (como la interacción de Coulomb ), la suma sobre ℓ puede no converger. El enfoque general para estos problemas consiste en tratar la interacción de Coulomb por separado de la interacción de corto alcance, ya que el problema de Coulomb se puede resolver exactamente en términos de funciones de Coulomb , que asumen el papel de las funciones de Hankel en este problema.

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