Derivada parcial

En matemáticas , la derivada parcial de una función de varias variables es su derivada con respecto a una de esas variables, manteniendo las demás constantes (a diferencia de la derivada total , en la que todas las variables pueden variar). Las derivadas parciales se utilizan en el cálculo vectorial y la geometría diferencial .

La derivada parcial de una función${\displaystyle f(x,y,\dots )}$con respecto a la variable${\displaystyle x}$(de forma análoga para cualquier otra variable) se denota de diversas maneras por

${\displaystyle f_{x}}$,${\displaystyle f'_{x}}$,${\displaystyle \partial _{x}f}$,${\displaystyle \ D_{x}f}$,${\ Displaystyle D _ {\ mathbf {e} _ {1}} f}$,${\displaystyle D_{1}f}$,${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}f}$, o${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$.

Es la tasa de cambio de la función en el${\displaystyle x}$-dirección.

A veces, por${\displaystyle z=f(x,y,\ldots )}$, la derivada parcial de${\displaystyle z}$con respecto a${\displaystyle x}$se denota como${\displaystyle {\tfrac {\partial z}{\partial x}}.}$Dado que una derivada parcial generalmente tiene los mismos argumentos que la función original, su dependencia funcional a veces se indica explícitamente mediante la notación, como en:

$${\displaystyle f'_{x}(x,y,\ldots ),{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y,\ldots ).}$$

El símbolo utilizado para denotar derivadas parciales es ∂ . Uno de los primeros usos conocidos de este símbolo en matemáticas se remonta al marqués de Condorcet en 1770, ^{[ 1 ]} quien lo utilizó para diferencias parciales . La notación moderna de derivadas parciales fue creada por Adrien-Marie Legendre (1786), aunque posteriormente la abandonó; Carl Gustav Jacob Jacobi reintrodujo el símbolo en 1841. ^{[ 2 ]}

Al igual que las derivadas ordinarias, la derivada parcial se define como un límite . Sea U un subconjunto abierto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$y${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$una función. La derivada parcial de f en el punto${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U}$con respecto a la i -ésima variable x _i se define como

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1}\,\ldots ,a_{n})\ -f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +h\mathbf {e} _{i})-f(\mathbf {a} )}{h}}\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle \mathbf {e_{i}} }$es el vector unitario de la i -ésima variable x _i . De hecho, la última igualdad muestra que la derivada parcial es simplemente la derivada direccional donde la dirección es la${\displaystyle i}$-ésimo vector base estándar .

Incluso si todas las derivadas parciales${\displaystyle \partial f/\partial x_{i}(a)}$Si existen en un punto dado a , la función no tiene por qué ser continua allí. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen en un entorno de a y son continuas allí, entonces f es totalmente diferenciable en ese entorno y la derivada total es continua. En este caso, se dice que f es una función C ^1. Esto se puede utilizar para generalizar a funciones con valores vectoriales.${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$, utilizando cuidadosamente un argumento componente por componente.

La derivada parcial${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$es en sí misma una función definida en U y puede ser derivada parcialmente de nuevo. Si la dirección de la derivada no se repite, se denomina derivada parcial mixta . Si todas las derivadas parciales mixtas de segundo orden son continuas en un punto (o en un conjunto), f se denomina función C2 en ese punto (o en ese conjunto); en este caso, las derivadas parciales pueden intercambiarse mediante ^el teorema de Clairaut :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.}$$

Para los siguientes ejemplos, sea f una función en x , y y z .

Derivadas parciales de primer orden:

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=\partial _{x}f.}$$

Derivadas parciales de segundo orden:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.}$$

Derivadas mixtas de segundo orden :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f'_{x})'_{y}=f''_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.}$$

Derivadas parciales y mixtas de orden superior:

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.}$$

Al trabajar con funciones de múltiples variables, algunas de estas variables pueden estar relacionadas entre sí, por lo que puede ser necesario especificar explícitamente qué variables se mantienen constantes para evitar ambigüedad. En campos como la mecánica estadística , la derivada parcial de f con respecto a x , manteniendo y y z constantes, se expresa a menudo como

$${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.}$$

Convencionalmente, para mayor claridad y simplicidad de la notación, la función derivada parcial y el valor de la función en un punto específico se fusionan al incluir los argumentos de la función cuando se utiliza el símbolo de derivada parcial (notación de Leibniz). Por lo tanto, una expresión como

$${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}}$$

se utiliza para la función, mientras que

$${\displaystyle {\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}}$$

podría usarse para el valor de la función en el punto${\displaystyle (x,y,z)=(u,v,w)}$Sin embargo , esta convención se rompe cuando queremos evaluar la derivada parcial en un punto como${\displaystyle (x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}$En tal caso , la evaluación de la función debe expresarse de una manera poco manejable como

$${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})}$$

o

$${\displaystyle \left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}}$$

para utilizar la notación de Leibniz. Por lo tanto, en estos casos, puede ser preferible utilizar la notación del operador diferencial de Euler con${\displaystyle D_{i}}$como el símbolo de derivada parcial con respecto a la i -ésima variable. Por ejemplo, se escribiría${\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}$para el ejemplo descrito anteriormente, mientras que la expresión${\displaystyle D_{1}f}$representa la función derivada parcial con respecto a la primera variable. ^{[ 3 ]}

Para derivadas parciales de orden superior, la derivada parcial (función) de${\displaystyle D_{i}f}$con respecto a la j -ésima variable se denota${\displaystyle D_{j}(D_{i}f)=D_{i,j}f}$. Eso es,${\displaystyle D_{j}\circ D_{i}=D_{i,j}}$, de modo que las variables se enumeran en el orden en que se toman las derivadas y, por lo tanto, en orden inverso a como se suele notar la composición de operadores. Por supuesto, el teorema de Clairaut implica que${\displaystyle D_{i,j}=D_{j,i}}$siempre y cuando se cumplan condiciones de regularidad relativamente suaves sobre f .

Un ejemplo importante de una función de varias variables es el caso de una función escalar.${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$en un dominio en el espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(por ejemplo, en${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$o${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$). En este caso, f tiene una derivada parcial.${\displaystyle \partial f/\partial x_{j}}$con respecto a cada variable x _j . En el punto a , estas derivadas parciales definen el vector

$${\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).}$$

Este vector se llama gradiente de f en a . Si f es diferenciable en cada punto de algún dominio, entonces el gradiente es una función vectorial ∇ f que transforma el punto a en el vector ∇ f ( a ) . En consecuencia, el gradiente produce un campo vectorial .

Un abuso común de la notación es definir el operador del ( ∇ ) de la siguiente manera en el espacio euclidiano tridimensional.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$con vectores unitarios${\displaystyle {\hat {\mathbf {i} }},{\hat {\mathbf {j} }},{\hat {\mathbf {k} }}}$:

$${\displaystyle \nabla =\left[{\frac {\partial }{\partial x}}\right]{\hat {\mathbf {i} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial y}}\right]{\hat {\mathbf {j} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial z}}\right]{\hat {\mathbf {k} }}}$$

O, de forma más general, para el espacio euclidiano n -dimensional.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$con coordenadas${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$y vectores unitarios${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},\ldots ,{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}$:

$${\displaystyle \nabla =\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{j}=\left[{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{1}+\left[{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{2}+\dots +\left[{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right]{\hat {\mathbf {e} }}_{n}}$$

Supongamos que f es una función de más de una variable. Por ejemplo,

$${\displaystyle z=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}.}$$

Una gráfica de z = x² + xy + y² ^. Para la derivada parcial en (1, 1) ^que deja y constante, la línea tangente correspondiente es paralela al plano xz .

Un corte transversal del gráfico anterior muestra la función en el plano xz en y = 1. Los dos ejes se muestran aquí con escalas diferentes. La pendiente de la recta tangente es 3.

La gráfica de esta función define una superficie en el espacio euclidiano . A cada punto de esta superficie le sigue un número infinito de rectas tangentes . La derivación parcial consiste en elegir una de estas rectas y hallar su pendiente . Generalmente, las rectas de mayor interés son las paralelas al plano xz y las paralelas al plano yz (que resultan de mantener constantes y o x , respectivamente).

Para hallar la pendiente de la recta tangente a la función en P (1, 1) y paralela al plano xz , tratamos a y como una constante. La gráfica y este plano se muestran a la derecha. Abajo, vemos cómo se ve la función en el plano y = 1. Al hallar la derivada de la ecuación suponiendo que y es una constante, encontramos que la pendiente de f en el punto ( x , y ) es:

$${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}$$

Entonces, en (1, 1) , por sustitución, la pendiente es 3. Por lo tanto,

$${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3}$$

en el punto (1, 1) . Es decir, la derivada parcial de z con respecto a x en (1, 1) es 3 , como se muestra en el gráfico.

La función f puede reinterpretarse como una familia de funciones de una variable indexada por las otras variables:

$${\displaystyle f(x,y)=f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}$$

En otras palabras, cada valor de y define una función, denotada f _y , que es una función de una variable x . ^{[ 5 ]} Es decir,

$${\displaystyle f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}$$

En esta sección, la notación de subíndice f _y denota una función que depende de un valor fijo de y , y no una derivada parcial.

Una vez elegido un valor de y , digamos a , entonces f ( x , y ) determina una función f _a que traza una curva x ² + ax + a ² en el plano xz :

$${\displaystyle f_{a}(x)=x^{2}+ax+a^{2}.}$$

En esta expresión, a es una constante , no una variable , por lo que f _a es una función de una sola variable real, que es x . En consecuencia, se aplica la definición de derivada para una función de una variable:

$${\displaystyle f_{a}'(x)=2x+a.}$$

El procedimiento anterior se puede realizar para cualquier elección de a . Al agrupar las derivadas en una función, se obtiene una función que describe la variación de f en la dirección x :

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)=2x+y.}$$

Esta es la derivada parcial de f con respecto a x . Aquí, ' ∂ ' es una 'd' redondeada llamada símbolo de derivada parcial ; para distinguirla de la letra 'd', ' ∂ ' a veces se pronuncia "parcial".

Las derivadas parciales de segundo orden y de orden superior se definen de forma análoga a las derivadas de orden superior de las funciones univariadas. Para la función${\displaystyle f(x,y,...)}$La segunda derivada parcial "propia" con respecto a x es simplemente la derivada parcial de la derivada parcial (ambas con respecto a x ): ^{[ 6 ] : 316–318}

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial x}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial x}}\equiv f_{xx}.}$$

La derivada parcial cruzada con respecto a x e y se obtiene tomando la derivada parcial de f con respecto a x , y luego tomando la derivada parcial del resultado con respecto a y , para obtener

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial y}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\equiv f_{xy}.}$$

El teorema de Schwarz establece que si las segundas derivadas son continuas, la expresión para la derivada parcial cruzada no se ve afectada por la variable con respecto a la cual se toma la derivada parcial primero y cuál se toma en segundo lugar. Es decir,

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}}$$

o equivalentemente${\displaystyle f_{yx}=f_{xy}.}$

Las derivadas parciales propias y cruzadas aparecen en la matriz hessiana que se utiliza en las condiciones de segundo orden en problemas de optimización . Las derivadas parciales de orden superior se pueden obtener mediante diferenciación sucesiva.

Existe un concepto para las derivadas parciales que es análogo al de las antiderivadas para las derivadas regulares. Dada una derivada parcial, permite la recuperación parcial de la función original.

Consideremos el ejemplo de

$${\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}$$

La denominada integral parcial se puede tomar con respecto a x (tratando a y como constante, de manera similar a la diferenciación parcial):

$${\displaystyle z=\int {\frac {\partial z}{\partial x}}\,dx=x^{2}+xy+g(y).}$$

Aquí, la constante de integración ya no es una constante, sino una función de todas las variables de la función original excepto x . Esto se debe a que todas las demás variables se tratan como constantes al calcular la derivada parcial, por lo que cualquier función que no incluya a x desaparece al calcular la derivada parcial, y debemos tenerlo en cuenta al calcular la antiderivada. La forma más general de representar esto es que la constante represente una función desconocida de todas las demás variables.

Por lo tanto, el conjunto de funciones${\displaystyle x^{2}+xy+g(y)}$donde g es cualquier función de un argumento, representa el conjunto completo de funciones en las variables x , y que podrían haber producido la derivada parcial de x .${\displaystyle 2x+y}$.

Si se conocen todas las derivadas parciales de una función (por ejemplo, con el gradiente ), entonces las antiderivadas se pueden igualar mediante el proceso anterior para reconstruir la función original salvo una constante. Sin embargo, a diferencia del caso de una sola variable, no todo conjunto de funciones puede ser el conjunto de todas las (primeras) derivadas parciales de una sola función. En otras palabras, no todo campo vectorial es conservativo .

• "Derivada parcial" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• Derivadas parciales en MathWorld