Mapa (matemáticas)

En matemáticas , un mapa o mapeo es una función en su sentido general. ^{[ 1 ]} Estos términos pueden haberse originado a partir del proceso de hacer un mapa geográfico : mapear la superficie de la Tierra en una hoja de papel. ^{[ 2 ]}

El término mapa puede usarse para distinguir algunos tipos especiales de funciones, como los homomorfismos . Por ejemplo, un mapa lineal es un homomorfismo de espacios vectoriales , mientras que el término función lineal puede tener este significado o puede referirse a un polinomio lineal . ^{[ 3 ] [ 4 ]} En teoría de categorías , un mapa puede referirse a un morfismo . ^{[ 2 ]} El término transformación puede usarse indistintamente, ^{[ 2 ]} pero transformación a menudo se refiere a una función de un conjunto en sí mismo. También hay algunos usos menos comunes en lógica y teoría de grafos .

En muchas ramas de las matemáticas, el término mapa se usa para referirse a una función , ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} a veces con una propiedad específica de particular importancia para esa rama. Por ejemplo, un "mapa" es una " función continua " en topología , una " transformación lineal " en álgebra lineal , etc.

Algunos autores, como Serge Lang , ^{[ 8 ]} usan "función" solo para referirse a mapas en los que el codominio es un conjunto de números (es decir, un subconjunto de R o C ), y reservan el término mapeo para funciones más generales.

A ciertos tipos de mapas se les han dado nombres específicos. Estos incluyen homomorfismos en álgebra , isometrías en geometría , operadores en análisis y representaciones en teoría de grupos . ^{[ 2 ]}

En la teoría de sistemas dinámicos , un mapa denota una función de evolución utilizada para crear sistemas dinámicos discretos .

En teoría de categorías, "mapa" se usa a menudo como sinónimo de " morfismo " o "flecha", que es una función que respeta la estructura y, por lo tanto, puede implicar más estructura que "función". ^{[ 10 ]} Por ejemplo, un morfismo${\displaystyle f\colon X\to Y}$en una categoría concreta (es decir, un morfismo que puede verse como una función) lleva consigo la información de su dominio (la fuente${\displaystyle X}$del morfismo) y su codominio (el objetivo)${\displaystyle Y}$). En la definición ampliamente utilizada de una función${\displaystyle f\colon X\to Y}$,${\displaystyle f}$es un subconjunto de${\displaystyle X\times Y}$compuesto por todos los pares${\displaystyle {\big (}x,f(x){\big )}}$para${\displaystyle x\in X}$En este sentido, la función no captura el conjunto${\displaystyle Y}$que se utiliza como codominio; solo el rango${\displaystyle f(X)}$está determinado por la función.

• Aplicar función : evaluación de una función en su argumento. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección. 
• Notación de flechas – p. ej.,${\displaystyle x\mapsto x+1}$, también conocido como mapa
• Biyección, inyección y sobreyección : propiedades de las funciones matemáticas. 
• Homeomorfismo : mapeo que conserva todas las propiedades topológicas de un espacio dado. 
• Lista de mapas caóticos
• Maplet arrow (↦) – comúnmente pronunciado "maps to"
• Grupo de clases de mapeo : grupo de clases de isotopía de un grupo de automorfismos topológicos. 
• Grupo de permutaciones : grupo cuya operación es la composición de permutaciones. 
• Mapa regular (geometría algebraica) – Morfismo de variedades algebraicas