Traza parcial

En álgebra lineal y análisis funcional , la traza parcial es una generalización de la traza . Mientras que la traza es una función escalar con valores en operadores, la traza parcial es una función con valores en operadores . La traza parcial tiene aplicaciones en información cuántica y decoherencia , lo cual es relevante para la medición cuántica y, por lo tanto, para los enfoques decoherentes de las interpretaciones de la mecánica cuántica , incluyendo historias consistentes y la interpretación del estado relativo .

Suponer${\displaystyle V}$,${\displaystyle W}$son espacios vectoriales de dimensión finita sobre un cuerpo , con dimensiones${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$, respectivamente. Para cualquier espacio ⁠${\displaystyle A}$⁠ , deja${\displaystyle L(A)}$denotemos el espacio de operadores lineales en${\displaystyle A}$. El rastro parcial sobre${\displaystyle W}$entonces se escribe como${\displaystyle \operatorname {Tr} _{W}:\operatorname {L} (V\otimes W)\to \operatorname {L} (V)}$, donde${\displaystyle \otimes }$denota el producto tensorial .

Se define de la siguiente manera: Para${\displaystyle T\in \operatorname {L} (V\otimes W)}$⁠ , deja ⁠${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{m}}$y​​${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$⁠ , sean bases para V y W respectivamente; entonces T tiene una representación matricial

${\displaystyle \{a_{k\ell ,ij}\}\quad 1\leq k,i\leq m,\quad 1\leq \ell ,j\leq n}$

en relación con la base ${\displaystyle e_{k}\otimes f_{\ell }}$ de ${\displaystyle V\otimes W}$.

Ahora, para los índices k , i en el rango 1, ..., m , consideremos la suma

${\displaystyle b_{k,i}=\sum _{j=1}^{n}a_{kj,ij}}$

Esto da como resultado una matriz b _{k , i} . El operador lineal asociado en V es independiente de la elección de bases y es, por definición, la traza parcial .

Entre los físicos, esto se suele llamar "trazar" o "trazar sobre" W para dejar solo un operador en V en el contexto donde W y V son espacios de Hilbert asociados con sistemas cuánticos (ver más abajo).

La traza parcial se generaliza a operadores en espacios de Hilbert de dimensión infinita. Supongamos que V y W son espacios de Hilbert, y sea

${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$

sea ​​una base ortonormal para W. Ahora hay un isomorfismo isométrico.

${\displaystyle \bigoplus _{\ell \in I}(V\otimes \mathbb {C} f_{\ell })\rightarrow V\otimes W}$

Bajo esta descomposición, cualquier operador${\displaystyle T\in \operatorname {L} (V\otimes W)}$puede considerarse como una matriz infinita de operadores en V

${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}&\ldots &T_{1j}&\ldots \\T_{21}&T_{22}&\ldots &T_{2j}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \\T_{k1}&T_{k2}&\ldots &T_{kj}&\ldots \\\vdots &\vdots &&\vdots \end{bmatrix}},}$

dónde${\displaystyle T_{k\ell }\in \operatorname {L} (V)}$.

Supongamos primero que T es un operador no negativo. En este caso, todas las entradas diagonales de la matriz anterior son operadores no negativos en V. Si la suma

${\displaystyle \sum _{\ell }T_{\ell \ell }}$

Converge en la topología de operador fuerte de L( V ), es independiente de la base elegida de W. La traza parcial Tr _W ( T ) se define como este operador. La traza parcial de un operador autoadjunto se define si y solo si se definen las trazas parciales de las partes positiva y negativa.

En el caso de espacios de Hilbert de dimensión finita, existe una forma útil de analizar la traza parcial mediante la integración con respecto a una medida de Haar μ adecuadamente normalizada sobre el grupo unitario U( W ) de W . Debidamente normalizada significa que μ se toma como una medida con masa total dim( W ).

Teorema . Supongamos que V y W son espacios de Hilbert de dimensión finita. Entonces

${\displaystyle \int _{\operatorname {U} (W)}(I_{V}\otimes U^{*})T(I_{V}\otimes U)\ d\mu (U)}$

se desplaza con todos los operadores de la forma${\displaystyle I_{V}\otimes S}$y por lo tanto es singularmente de la forma${\displaystyle R\otimes I_{W}}$. El operador R es la traza parcial de T .

La traza parcial puede considerarse una operación cuántica . Consideremos un sistema mecánico cuántico cuyo espacio de estados es el producto tensorial.${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}$de espacios de Hilbert. Un estado mixto se describe mediante una matriz de densidad ρ , es decir, un operador de clase traza no negativo de traza 1 en el producto tensorial.${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}.}$ La traza parcial de ρ con respecto al sistema B , denotada por${\displaystyle \rho ^{A}}$, se denomina estado reducido de ρ en el sistema A. En símbolos, ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \rho ^{A}=\operatorname {Tr} _{B}\rho .}$$

Para demostrar que esta es, de hecho, una forma sensata de asignar un estado en el subsistema A a ρ, ofrecemos la siguiente justificación. Sea M un observable en el subsistema A , entonces el observable correspondiente en el sistema compuesto es${\displaystyle M\otimes I}$Sin embargo, independientemente de cómo se defina un estado reducido${\displaystyle \rho ^{A}}$, debe haber consistencia en las estadísticas de medición. El valor esperado de M después de que el subsistema A se prepara en${\displaystyle \rho ^{A}}$y la de${\displaystyle M\otimes I}$cuando el sistema compuesto se prepara en ρ debe ser el mismo, es decir, debe cumplirse la siguiente igualdad:

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{A}(M\cdot \rho ^{A})=\operatorname {Tr} (M\otimes I\cdot \rho ).}$

Vemos que esto se satisface si${\displaystyle \rho ^{A}}$es como se define anteriormente a través del rastro parcial. Además, dicha operación es única.

Sea T ( H ) el espacio de Banach de operadores de clase traza en el espacio de Hilbert H . Se puede comprobar fácilmente que la traza parcial, vista como un mapa

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}:T(H_{A}\otimes H_{B})\rightarrow T(H_{A})}$

es completamente positivo y preserva el rastro.

La matriz de densidad ρ es hermitiana , semidefinida positiva y tiene una traza de 1. Tiene una descomposición espectral :

${\displaystyle \rho =\sum _{m}p_{m}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|;\ 0\leq p_{m}\leq 1,\ \sum _{m}p_{m}=1}$

Es fácil ver que el rastro parcial${\displaystyle \rho ^{A}}$también satisface estas condiciones. Por ejemplo, para cualquier estado puro${\displaystyle |\psi _{A}\rangle }$en${\displaystyle H_{A}}$, tenemos

${\displaystyle \langle \psi _{A}|\rho ^{A}|\psi _{A}\rangle =\sum _{m}p_{m}\operatorname {Tr} _{B}[\langle \psi _{A}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|\psi _{A}\rangle ]\geq 0}$

Tenga en cuenta que el término${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}[\langle \psi _{A}|\Psi _{m}\rangle \langle \Psi _{m}|\psi _{A}\rangle ]}$representa la probabilidad de encontrar el estado${\displaystyle |\psi _{A}\rangle }$cuando el sistema compuesto se encuentra en el estado${\displaystyle |\Psi _{m}\rangle }$Esto demuestra la semidefinición positiva de${\displaystyle \rho ^{A}}$.

El mapa de traza parcial dado anteriormente induce un mapa dual.${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}}$entre las C*-álgebras de operadores acotados en${\displaystyle \;H_{A}}$y${\displaystyle H_{A}\otimes H_{B}}$dado por

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}(A)=A\otimes I.}$

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}^{*}}$mapea observables a observables y es la representación gráfica de Heisenberg de ⁠${\displaystyle \operatorname {Tr} _{B}}$.​

• Filipiak, Katarzyna; Klein, Daniel; Vojtková, Erika (2018). "Las propiedades de los operadores de traza parcial y traza por bloques de matrices particionadas" . Electronic Journal of Linear Algebra . 33. doi : 10.13001/1081-3810.3688 .
• Johnston, Nathaniel (2021). Álgebra lineal y matricial avanzada . Springer. pág.  367. doi : 10.1007/978-3-030-52815-7 . ISBN 978-3-030-52815-7.