producto tensorial

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo F , con bases respectivas.${\displaystyle B_{V}}$y​${\displaystyle B_{W}}$.​

El producto tensorial${\displaystyle V\otimes W}$de V y W es un espacio vectorial que tiene como base el conjunto de todos los${\displaystyle v\otimes w}$con${\displaystyle v\in B_{V}}$y​${\displaystyle w\in B_{W}}$, considerados simplemente como símbolos sin ningún otro significado. Esta definición puede formalizarse de la siguiente manera (esta formalización rara vez se usa en la práctica, ya que la definición informal anterior suele ser suficiente):${\displaystyle V\otimes W}$es el conjunto de funciones del producto cartesiano${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$a F que tienen un número finito de valores distintos de cero. Las operaciones puntuales hacen${\displaystyle V\otimes W}$un espacio vectorial. La función que mapea${\displaystyle (v,w)}$a 1 y los demás elementos de${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$a 0 se denota ⁠${\displaystyle v\otimes w}$.​

El conjunto${\displaystyle \{v\otimes w\mid v\in B_{V},w\in B_{W}\}}$, llamado producto tensorial de las bases${\displaystyle B_{V}}$y​${\displaystyle B_{W}}$⁠ , es sencillamente una base de ⁠${\displaystyle V\otimes W}$.​

De forma equivalente, podemos definir${\displaystyle V\otimes W}$ser el conjunto de formas bilineales en${\displaystyle V\times W}$que son distintos de cero en solo un número finito de elementos de ⁠${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$⁠ . Para ver esto, dado${\displaystyle (x,y)\in V\times W}$ y una forma bilineal${\displaystyle B:V\times W\to F}$⁠ , podemos descomponer${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en las bases${\displaystyle B_{V}}$y${\displaystyle B_{W}}$como: $${\displaystyle x=\sum _{v\in B_{V}}x_{v}\,v\quad {\text{y}}\quad y=\sum _{w\in B_{W}}y_{w}\,w,}$$ donde solo un número finito de${\displaystyle x_{v}}$'arena${\displaystyle y_{w}}$son distintos de cero y se encuentran por la bilinealidad de${\displaystyle B}$eso: $${\displaystyle B(x,y)=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}x_{v}y_{w}\,B(v,w)}$$

Por lo tanto, vemos que el valor de${\displaystyle B}$para cualquier${\displaystyle (x,y)\in V\times W}$está determinada única y totalmente por los valores que adopta .${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$Esto nos permite extender los mapas.${\displaystyle v\otimes w}$definido en${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$como antes en mapas bilineales${\displaystyle v\otimes w:V\times W\to F}$, permitiendo: $${\displaystyle (v\otimes w)(x,y):=\sum _{v'\in B_{V}}\sum _{w'\in B_{W}}x_{v'}y_{w'}\,(v\otimes w)(v',w')=x_{v}\,y_{w}.}$$

Entonces podemos expresar cualquier forma bilineal.${\displaystyle B}$como una combinación lineal formal (potencialmente infinita) de la${\displaystyle v\otimes w}$mapas según: $${\displaystyle B=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}B(v,w)(v\otimes w)}$$ haciendo que estos mapas sean similares a una base de Schauder para el espacio vectorial.${\displaystyle {\text{Hom}}(V,W;F)}$de todas las formas bilineales en ⁠${\displaystyle V\times W}$⁠ . Para que en cambio sea una base adecuada de Hamel , solo queda añadir el requisito de que${\displaystyle B}$es distinto de cero en un número finito de elementos de ⁠${\displaystyle B_{V}\times B_{W}}$y consideremos en su lugar el subespacio de tales mapas.

En cualquiera de las dos construcciones, el producto tensorial de dos vectores se define a partir de su descomposición en las bases. Más precisamente, tomando las descomposiciones en base de${\displaystyle x\in V}$y${\displaystyle y\in W}$como antes: $${\displaystyle {\begin{aligned}x\otimes y&={\biggl (}\sum _{v\in B_{V}}x_{v}\,v{\biggr )}\otimes {\biggl (}\sum _{w\in B_{W}}y_{w}\,w{\biggr )}\\[5mu]&=\sum _{v\in B_{V}}\sum _{w\in B_{W}}x_{v}y_{w}\,v\otimes w.\end{aligned}}}$$

Esta definición se deriva claramente de los coeficientes de${\displaystyle B(v,w)}$en la expansión por bilinealidad de${\displaystyle B(x,y)}$utilizando las bases${\displaystyle B_{V}}$y​${\displaystyle B_{W}}$⁠ , como se hizo anteriormente. Entonces es sencillo verificar que con esta definición, el mapa${\displaystyle {\otimes }:(x,y)\mapsto x\otimes y}$es un mapa bilineal de${\displaystyle V\times W}$a${\displaystyle V\otimes W}$que satisface la propiedad universal que satisface cualquier construcción del producto tensorial (véase más abajo).

Si se dispone en una matriz rectangular, el vector de coordenadas de${\displaystyle x\otimes y}$es el producto exterior de los vectores de coordenadas de ${\displaystyle x}$y​${\displaystyle y}$Por lo tanto, el producto tensorial es una generalización del producto exterior, es decir, una abstracción del mismo más allá de los vectores de coordenadas.

Una limitación de esta definición del producto tensorial es que, si se cambia de base, se define un producto tensorial diferente. Sin embargo, la descomposición en una base de los elementos de la otra base define un isomorfismo canónico entre los dos productos tensoriales de espacios vectoriales, lo que permite identificarlos. Además, a diferencia de las dos definiciones alternativas siguientes, esta definición no puede extenderse a una definición del producto tensorial de módulos sobre un anillo .

Una construcción del producto tensorial que sea independiente de la base se puede obtener de la siguiente manera.

Sean V y W dos espacios vectoriales sobre un cuerpo F.

Primero se considera un espacio vectorial L que tiene el producto cartesiano${\displaystyle V\times W}$como base . Es decir, los elementos base de L son los pares${\displaystyle (v,w)}$con${\displaystyle v\in V}$y​${\displaystyle w\in W}$Para obtener dicho espacio vectorial, se puede definir como el espacio vectorial de las funciones${\displaystyle V\veces W\to F}$que tienen un número finito de valores distintos de cero e identificando${\displaystyle (v,w)}$con la función que toma el valor 1 en${\displaystyle (v,w)}$y 0 en caso contrario.

Sea R el subespacio lineal de L generado por las relaciones que debe satisfacer el producto tensorial. Más precisamente, R está generado por los elementos de una de las siguientes formas:

${\displaystyle {\begin{aligned}(v_{1}+v_{2},w)&-(v_{1},w)-(v_{2},w),\\(v,w_{1}+w_{2})&-(v,w_{1})-(v,w_{2}),\\(sv,w)&-s(v,w),\\(v,sw)&-s(v,w),\end{aligned}}}$

donde​${\displaystyle v,v_{1},v_{2}\en V}$⁠ ,${\displaystyle w,w_{1},w_{2}\en W}$y​${\displaystyle s\in F}$.​

Entonces, el producto tensorial se define como el espacio cociente :

${\displaystyle V\otimes W=L/R,}$

y la imagen de${\displaystyle (v,w)}$en este cociente se denota ⁠${\displaystyle v\otimes w}$.​

Es sencillo demostrar que el resultado de esta construcción satisface la propiedad universal que se considera a continuación. (Una construcción muy similar puede utilizarse para definir el producto tensorial de módulos ).

En esta sección se describe la propiedad universal que satisface el producto tensorial. Como ocurre con toda propiedad universal, dos objetos que la satisfacen están relacionados por un isomorfismo único . De ello se deduce que esta es una forma (no constructiva) de definir el producto tensorial de dos espacios vectoriales. En este contexto, las construcciones anteriores de productos tensoriales pueden considerarse pruebas de la existencia del producto tensorial así definido.

Una consecuencia de este enfoque es que cada propiedad del producto tensorial puede deducirse de la propiedad universal y que, en la práctica, uno puede olvidar el método que se ha utilizado para demostrar su existencia.

La "definición de propiedad universal" del producto tensorial de dos espacios vectoriales es la siguiente (recordemos que una aplicación bilineal es una función que es lineal por separado en cada uno de sus argumentos):

El producto tensorial de dos espacios vectoriales V y W es un espacio vectorial denotado como ⁠${\displaystyle V\otimes W}$⁠ , junto con un mapa bilineal${\displaystyle {\varphi}:(v,w)\mapsto v\otimes w}$de${\displaystyle V\times W}$a​${\displaystyle V\otimes W}$⁠ , de tal manera que, para cada aplicación bilineal ⁠${\displaystyle h:V\veces W\a Z}$⁠ , existe unmapa lineal único ⁠${\displaystyle {\tilde {h}}:V\otimes W\to Z}$⁠ , de tal manera que${\displaystyle h={\tilde {h}}\circ {\varphi }}$(eso es,${\displaystyle h(v,w)={\tilde {h}}(v\otimes w)}$por cada${\displaystyle v\in V}$y​${\displaystyle w\in W}$⁠ ).

Al igual que la propiedad universal anterior, la siguiente caracterización también puede utilizarse para determinar si un espacio vectorial dado y una aplicación bilineal dada forman o no un producto tensorial. ^{[ 2 ]}

Por ejemplo, se deduce inmediatamente que si${\displaystyle X=\mathbb {C} ^{m}}$y​​${\displaystyle Y=\mathbb {C} ^{n}}$, donde${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$son enteros positivos, entonces se puede establecer${\displaystyle Z=\mathbb {C} ^{mn}}$y definir el mapa bilineal como $${\displaystyle {\begin{aligned}T:\mathbb {C} ^{m}\times \mathbb {C} ^{n}&\to \mathbb {C} ^{mn}\\(x,y)=((x_{1},\ldots ,x_{m}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))&\mapsto (x_{i}y_{j})_{\stackrel {i=1,\ldots ,m}{j=1,\ldots ,n}}\end{aligned}}}$$ para formar el producto tensorial de${\displaystyle X}$y​${\displaystyle Y}$⁠ . ^{[ 3 ]} A menudo, este mapa${\displaystyle T}$se denota por${\displaystyle \,\otimes \,}$de modo que${\displaystyle x\otimes y=T(x,y).}$

Como otro ejemplo, supongamos que${\displaystyle \mathbb {C} ^{S}}$es el espacio vectorial de todas las funciones de valor complejo en un conjunto${\displaystyle S}$con la suma y la multiplicación escalar definidas punto por punto (lo que significa que${\displaystyle f+g}$es el mapa${\displaystyle s\mapsto f(s)+g(s)}$y${\displaystyle cf}$es el mapa${\displaystyle s\mapsto cf(s)}$) . Dejemos${\displaystyle S}$y${\displaystyle T}$ser cualquier conjunto y para cualquier${\displaystyle f\in \mathbb {C} ^{S}}$y​${\displaystyle g\in \mathbb {C} ^{T}}$⁠ , deja${\displaystyle f\otimes g\in \mathbb {C} ^{S\times T}}$denotamos la función definida por ⁠${\displaystyle (s,t)\mapsto f(s)g(t)}$⁠ . Si${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} ^{S}}$y${\displaystyle Y\subseteq \mathbb {C} ^{T}}$son subespacios vectoriales entonces el subespacio vectorial${\displaystyle Z:=\operatorname {span} \left\{f\otimes g:f\in X,g\in Y\right\}}$de${\displaystyle \mathbb {C} ^{S\times T}}$junto con el mapa bilineal: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\;&&X\times Y&&\;\to \;&Z\\[0.3ex]&&(f,g)&&\;\mapsto \;&f\otimes g\\\end{alignedat}}}$$ formar un producto tensorial de${\displaystyle X}$y​${\displaystyle Y}$⁠ . ^{[ 3 ]}

Si V y W son espacios vectoriales de dimensión finita , entonces${\displaystyle V\otimes W}$es de dimensión finita, y su dimensión es el producto de las dimensiones de V y W.

Esto resulta del hecho de que una base de${\displaystyle V\otimes W}$se forma tomando todos los productos tensoriales de un elemento base de V y un elemento base de W.

El producto tensorial es asociativo en el sentido de que, dados tres espacios vectoriales${\displaystyle U,V,W}$⁠ , existe un isomorfismo canónico:

${\displaystyle (U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W),}$

que mapas${\displaystyle (u\otimes v)\otimes w}$a​${\displaystyle u\otimes (v\otimes w)}$.​

Esto permite omitir los paréntesis en el producto tensorial de más de dos espacios vectoriales o vectores.

El producto tensorial de dos espacios vectoriales${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$es conmutativa en el sentido de que existe un isomorfismo canónico:

${\displaystyle V\otimes W\cong W\otimes V,}$

que mapas${\displaystyle v\otimes w}$a​${\displaystyle w\otimes v}$.​

Por otro lado, incluso cuando${\displaystyle V=W}$⁠ , el producto tensorial de vectores no es conmutativo; es decir${\displaystyle v\otimes w\neq w\otimes v}$⁠ , en general.

El mapa${\displaystyle x\otimes y\mapsto y\otimes x}$de${\displaystyle V\otimes V}$a sí mismo induce un automorfismo lineal que se llamamapa de trenzado . De forma más general y como es habitual (véaseálgebra tensorial), sea${\displaystyle V^{\otimes n}}$denotemos el producto tensorial de n copias del espacio vectorial V. Para cada permutación s de los primeros n enteros positivos, la aplicación:

${\displaystyle x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\mapsto x_{s(1)}\otimes \cdots \otimes x_{s(n)}}$

induce un automorfismo lineal de ⁠${\displaystyle V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}}$⁠ , que se denomina mapa de trenzado. Esto determina una acción derecha del grupo simétrico.${\displaystyle S_{n}}$en${\displaystyle V^{\otimes n}}$.

Para tensores de tipo (1, 1) existe un mapa de evaluación canónico:$${\displaystyle V\otimes V^{*}\to K}$$ definido por su acción sobre tensores puros: $${\displaystyle v\otimes f\mapsto f(v).}$$

De forma más general, para tensores de tipo ⁠${\displaystyle (r,s)}$⁠ , con r , s > 0 , existe una aplicación, llamada contracción tensorial : $${\displaystyle T_{s}^{r}(V)\to T_{s-1}^{r-1}(V).}$$ (Las copias de${\displaystyle V}$y${\displaystyle V^{*}}$Debe especificarse sobre qué superficie se aplicará este mapa.

Por otro lado, si${\displaystyle V}$es de dimensión finita , existe un mapa canónico en la otra dirección (llamado mapa de coevaluación ): $${\displaystyle {\begin{cases}K\to V\otimes V^{*}\\\lambda \mapsto \sum _{i}\lambda v_{i}\otimes v_{i}^{*}\end{cases}}}$$ dónde${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$es cualquier base de${\displaystyle V}$y​${\displaystyle v_{i}^{*}}$es su base dual . Este mapa no depende de la elección de la base. ^{[ 7 ]}

La interacción entre evaluación y coevaluación puede utilizarse para caracterizar espacios vectoriales de dimensión finita sin hacer referencia a bases. ^{[ 8 ]}

El producto tensorial${\displaystyle T_{s}^{r}(V)}$puede considerarse naturalmente como un módulo para el álgebra de Lie.${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$mediante la acción diagonal: para simplificar, supongamos que${\displaystyle r=s=1}$⁠ , entonces, para cada ⁠${\displaystyle u\in \mathrm {End} (V)}$⁠ , $${\displaystyle u(a\otimes b)=u(a)\otimes b-a\otimes u^{*}(b),}$$ dónde${\displaystyle u^{*}\in \mathrm {End} \left(V^{*}\right)}$es la transpuesta de u , es decir, en términos del emparejamiento obvio en ⁠${\displaystyle V\otimes V^{*}}$⁠ , $${\displaystyle \langle u(a),b\rangle =\langle a,u^{*}(b)\rangle .}$$

Existe un isomorfismo canónico${\displaystyle T_{1}^{1}(V)\to \mathrm {End} (V)}$dado por: $${\displaystyle (a\otimes b)(x)=\langle x,b\rangle a.}$$

Bajo este isomorfismo, cada u en${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$puede ser visto por primera vez como un endomorfismo de${\displaystyle T_{1}^{1}(V)}$y luego visto como un endomorfismo de ⁠${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$⁠ . De hecho, es la representación adjunta ad( u ) de ⁠${\displaystyle \mathrm {End} (V)}$.​

Sea A un R- módulo derecho y B un R- módulo izquierdo. Entonces, el producto tensorial de A y B es un grupo abeliano definido por: $${\displaystyle A\otimes _{R}B:=F(A\times B)/G}$$ dónde${\displaystyle F(A\times B)}$es un grupo abeliano libre sobre${\displaystyle A\times B}$y G es el subgrupo de${\displaystyle F(A\times B)}$generado por relaciones: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall a,a_{1},a_{2}\in A,\forall b,b_{1},b_{2}\in B,{\text{ for all }}r\in R:\\&(a_{1},b)+(a_{2},b)-(a_{1}+a_{2},b),\\&(a,b_{1})+(a,b_{2})-(a,b_{1}+b_{2}),\\&(ar,b)-(a,rb).\\\end{aligned}}}$$

La propiedad universal se puede enunciar de la siguiente manera. Sea G un grupo abeliano con una aplicación${\displaystyle q:A\times B\to G}$que es bilineal, en el sentido de que: $${\displaystyle {\begin{aligned}q(a_{1}+a_{2},b)&=q(a_{1},b)+q(a_{2},b),\\q(a,b_{1}+b_{2})&=q(a,b_{1})+q(a,b_{2}),\\q(ar,b)&=q(a,rb).\end{aligned}}}$$

Luego hay un mapa único${\displaystyle {\overline {q}}:A\otimes B\to G}$de tal manera que${\displaystyle {\overline {q}}(a\otimes b)=q(a,b)}$a pesar de${\displaystyle a\in A}$y​${\displaystyle b\in B}$.​

Además, podemos dar${\displaystyle A\otimes _{R}B}$una estructura modular bajo algunas condiciones adicionales:

1. Si A es un bimódulo ( S , R ), entonces${\displaystyle A\otimes _{R}B}$es un S -módulo izquierdo, donde${\displaystyle s(a\otimes b):=(sa)\otimes b}$.​
2. Si B es un bimódulo ( R , S ), entonces${\displaystyle A\otimes _{R}B}$es un S -módulo derecho, donde${\displaystyle (a\otimes b)s:=a\otimes (bs)}$.​
3. Si A es un bimódulo ( S , R ) y B es un bimódulo ( R , T ), entonces${\displaystyle A\otimes _{R}B}$es un ( S , T )-bimódulo, donde las acciones izquierda y derecha se definen de la misma manera que en los dos ejemplos anteriores.
4. Si R es un anillo conmutativo, entonces A y B son ( R , R )-bimódulos donde${\displaystyle ra:=ar}$y​${\displaystyle br:=rb}$⁠ . Por 3), podemos concluir${\displaystyle A\otimes _{R}B}$es un bimódulo ( R , R ).

Para espacios vectoriales, el producto tensorial${\displaystyle V\otimes W}$se calcula rápidamente ya que las bases de V de W determinan inmediatamente una base de ⁠${\displaystyle V\otimes W}$Como se mencionó anteriormente, para módulos sobre un anillo general (conmutativo), no todos los módulos son libres. Por ejemplo, Z / n Z no es un grupo abeliano libre ( Z -módulo). El producto tensorial con Z / n Z viene dado por: $${\displaystyle M\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Z} /n\mathbf {Z} =M/nM.}$$

De manera más general, dada una presentación de algún R -módulo M , es decir, una serie de generadores${\displaystyle m_{i}\in M,i\in I}$junto con las relaciones: $${\displaystyle \sum _{j\in J}a_{ji}m_{i}=0,\qquad a_{ij}\in R,}$$ El producto tensorial se puede calcular como el siguiente conkernel : $${\displaystyle M\otimes _{R}N=\operatorname {coker} \left(N^{J}\to N^{I}\right)}$$

Aquí​${\displaystyle N^{J}=\oplus _{j\in J}N}$y el mapa${\displaystyle N^{J}\to N^{I}}$se determina enviando algunos${\displaystyle n\in N}$en la j -ésima copia de${\displaystyle N^{J}}$a${\displaystyle a_{ij}n}$( en${\displaystyle N^{I}}$⁠ ). Coloquialmente, esto puede reformularse diciendo que una presentación de M da lugar a una presentación de ⁠${\displaystyle M\otimes _{R}N}$⁠ . Esto se indica diciendo que el producto tensorial es un functor exacto por la derecha . No es, en general, exacto por la izquierda, es decir, dado un mapa inyectivo de R -módulos ⁠${\displaystyle M_{1}\to M_{2}}$, el producto tensorial: $${\displaystyle M_{1}\otimes _{R}N\to M_{2}\otimes _{R}N}$$ no suele ser inyectivo. Por ejemplo, al tensorializar la aplicación (inyectiva) dada por la multiplicación con n , n  : Z → Z con Z / n Z se obtiene la aplicación cero 0  : Z / n Z → Z / n Z , que no es inyectiva. Los functores Tor superiores miden el defecto de que el producto tensorial no sea exacto por la izquierda. Todos los functores Tor superiores se ensamblan en el producto tensorial derivado .

Los espacios de Hilbert generalizan los espacios vectoriales de dimensión finita a dimensiones arbitrarias. Existe una operación análoga , también llamada "producto tensorial", que convierte los espacios de Hilbert en una categoría monoidal simétrica . Se construye esencialmente como la completación en espacio métrico del producto tensorial algebraico descrito anteriormente. Sin embargo, no satisface el análogo obvio de la propiedad universal que define los productos tensoriales; ^{[ 12 ]} los morfismos para esa propiedad deben restringirse a operadores de Hilbert-Schmidt . ^{[ 13 ]}

En situaciones donde la imposición de un producto interno resulta inapropiada, aún se puede intentar completar el producto tensorial algebraico como un producto tensorial topológico . Sin embargo, dicha construcción ya no está especificada de forma unívoca: en muchos casos, existen múltiples topologías naturales sobre el producto tensorial algebraico.

Algunos espacios vectoriales pueden descomponerse en sumas directas de subespacios. En tales casos, el producto tensorial de dos espacios puede descomponerse en sumas de productos de los subespacios (de forma análoga a como la multiplicación se distribuye sobre la suma).

Los espacios vectoriales dotados de una estructura multiplicativa adicional se denominan álgebras . El producto tensorial de dichas álgebras se describe mediante la regla de Littlewood-Richardson .

Dados dos cuerpos que son extensiones algebraicas de un cuerpo base común, su producto tensorial sobre el cuerpo base es nuevamente algebraico sobre el cuerpo base. Específicamente, es la extensión algebraica generada por los productos de los generadores de los dos cuerpos originales. Por ejemplo, el producto tensorial sobre los números racionales de${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}}]}$y${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]}$es generado por${\displaystyle 1\cdot 1=1}$,${\displaystyle 1\cdot {\sqrt {2}}={\sqrt {2}}}$,${\displaystyle 1\cdot {\sqrt {3}}={\sqrt {3}}}$, y${\displaystyle {\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}={\sqrt {6}}}$y puede denotarse${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt {3}}]}$.

Dadas dos formas multilineales${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{k})}$y${\displaystyle g(x_{1},\dots ,x_{m})}$en un espacio vectorial${\displaystyle V}$sobre el campo${\displaystyle K}$Su producto tensorial es la forma multilineal: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle (f\otimes g)(x_{1},\dots ,x_{k+m})=f(x_{1},\dots ,x_{k})g(x_{k+1},\dots ,x_{k+m}).}$$

Este es un caso especial del producto de tensores si se consideran como aplicaciones multilineales (véase también tensores como aplicaciones multilineales ). Por lo tanto, los componentes del producto tensorial de formas multilineales se pueden calcular mediante el producto de Kronecker .

Cabe mencionar que, si bien se le denomina «producto tensorial», no se trata de un producto tensorial de grafos en el sentido antes mencionado; en realidad, es el producto categórico en la categoría de grafos y homomorfismos de grafos . Sin embargo, se trata del producto tensorial de Kronecker de las matrices de adyacencia de los grafos. Compárese también con la sección « Producto tensorial de aplicaciones lineales» más arriba.

El marco más general para el producto tensorial es la categoría monoidal . Esta categoría captura la esencia algebraica de la tensorialización, sin hacer referencia específica a lo que se está tensorizando. Por lo tanto, todos los productos tensoriales pueden expresarse como una aplicación de la categoría monoidal a un marco particular, actuando sobre objetos específicos.