Grupo parcialmente ordenado

En álgebra abstracta , un grupo parcialmente ordenado es un grupo ( G , +) equipado con un orden parcial "≤" que es invariante a la traslación ; en otras palabras, "≤" tiene la propiedad de que, para todo a , b , y g en G , si a ≤ b entonces a + g ≤ b + g y g + a ≤ g + b .

Un elemento x de G se llama positivo si 0 ≤ x . El conjunto de elementos 0 ≤ x se suele denotar con G + ^, y se llama cono positivo de G.

Por invariancia de traslación, tenemos a ≤ b si y solo si 0 ≤ - a + b . Así que podemos reducir el orden parcial a una propiedad monádica: a ≤ b si y solo si - a + b ∈ G ⁺ .

Para el grupo general G , la existencia de un cono positivo especifica un orden en G. Un grupo G es un grupo parcialmente ordenable si y solo si existe un subconjunto H (que es G ⁺ ) de G tal que:

• 0 ∈ H
• Si a ∈ H y b ∈ H , entonces a + b ∈ H.
• Si a ∈ H, entonces - x + a + x ∈ H para cada x de G.
• Si a ∈ H y -a ∈ H , entonces a = 0

Se dice que un grupo parcialmente ordenado G con cono positivo G ^{+ es} no perforado si n · g ∈ G ⁺ para algún entero positivo n implica g ∈ G ⁺ . Ser no perforado significa que no hay "hueco" en el cono positivo G ⁺ .

Si el orden del grupo es lineal , se dice que es un grupo linealmente ordenado . Si el orden del grupo es reticular , es decir, cualquier par de elementos tiene un límite superior mínimo, se trata de un grupo reticular ordenado (abreviado l-grupo , aunque normalmente se escribe con una l cursiva : ℓ-grupo).

Un grupo de Riesz es un grupo parcialmente ordenado no perforado con una propiedad ligeramente más débil que la de ser un grupo ordenado reticular. Es decir, un grupo de Riesz satisface la propiedad de interpolación de Riesz : si x ₁ , x ₂ , y ₁ , y ₂ son elementos de G y x _i ≤ y _j , entonces existe z ∈ G tal que x _i ≤ z ≤ y _j .

Si G y H son dos grupos parcialmente ordenados, una aplicación de G a H es un morfismo de grupos parcialmente ordenados si es a la vez un homomorfismo de grupos y una función monótona . Los grupos parcialmente ordenados, junto con esta noción de morfismo, forman una categoría .

Los grupos parcialmente ordenados se utilizan en la definición de valoraciones de campos .

• Los números enteros con su orden habitual
• Un espacio vectorial ordenado es un grupo parcialmente ordenado.
• Un espacio de Riesz es un grupo ordenado reticularmente.
• Un ejemplo típico de un grupo parcialmente ordenado es Z ⁿ , donde la operación de grupo es la suma componente a componente, y escribimos ( a ₁ ,..., a _n ) ≤ ( b ₁ ,..., b _n ) si y solo si a _i ≤ b _i (en el orden usual de los enteros) para todo i = 1,..., n .
• En términos más generales, si G es un grupo parcialmente ordenado y X es un conjunto, entonces el conjunto de todas las funciones de X a G es también un grupo parcialmente ordenado: todas las operaciones se realizan componente a componente. Además, cada subgrupo de G es un grupo parcialmente ordenado: hereda el orden de G.
• Si A es un álgebra C* de dimensión aproximadamente finita , o más generalmente, si A es un álgebra C* unitaria estable y finita, entonces K ₀ ( A ) es un grupo abeliano parcialmente ordenado . (Elliott, 1976)

• Grupo ordenado cíclicamente : Grupo con un orden cíclico respetado por la operación de grupo. 
• Grupo ordenado linealmente : grupo con orden total invariante traslacionalmente. 
• Campo ordenado : objeto algebraico con una estructura ordenada. 
• Anillo pedido
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Espacio vectorial ordenado – Espacio vectorial con un orden parcial 
• Anillo parcialmente pedido – Anillo con un pedido parcial compatible 
• Espacio parcialmente ordenado – Espacio topológico parcialmente ordenado 

• M. Anderson y T. Feil, Grupos reticulares ordenados: una introducción , D. Reidel, 1988.
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• Kopytov, VM (2001) [1994], "Grupo parcialmente ordenado" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Kopytov, VM (2001) [1994], "Grupo reticular ordenado" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
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