Valores particulares de la función zeta de Riemann

En matemáticas , la función zeta de Riemann es una función del análisis complejo , que también es importante en la teoría de números . A menudo se denota${\displaystyle \zeta (s)}$y recibe su nombre del matemático Bernhard Riemann . Cuando el argumento${\displaystyle s}$es un número real mayor que uno, la función zeta satisface la ecuación $${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,.}$$ Por lo tanto, puede proporcionar la suma de varias series infinitas convergentes , como por ejemplo:${\textstyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+}$${\estilo de texto {\frac {1}{2^{2}}}+}$${\textstyle {\frac {1}{3^{2}}}+\ldots \,.}$Existen fórmulas explícitas o numéricamente eficientes para${\displaystyle \zeta (s)}$con argumentos enteros, todos con valores reales, incluido este ejemplo. Este artículo enumera estas fórmulas, junto con tablas de valores. También incluye derivadas y algunas series compuestas por la función zeta con argumentos enteros.

La misma ecuación en${\displaystyle s}$Lo anterior también se cumple cuando${\displaystyle s}$es un número complejo cuya parte real es mayor que uno, lo que garantiza que la suma infinita aún converge. La función zeta puede entonces extenderse a todo el plano complejo mediante continuación analítica , excepto por un polo simple en${\displaystyle s=1}$. La derivada compleja existe en esta región más general, lo que convierte a la función zeta en una función meromorfa . La ecuación anterior ya no se aplica para estos valores extendidos de${\displaystyle s}$, para lo cual la suma correspondiente divergiría. Por ejemplo, la función zeta completa existe en${\displaystyle s=-1}$(y por lo tanto es finito allí), pero la serie correspondiente sería ⁠${\displaystyle 1+2+3+\ldots }$⁠ , cuyas sumas parciales crecerían indefinidamente.

Los valores de la función zeta que se enumeran a continuación incluyen valores de la función en los números pares negativos ( ⁠${\displaystyle s=-2,-4}$⁠ , etc.), para el cual${\displaystyle \zeta (s)=0}$y que conforman los llamados ceros triviales . El artículo sobre la función zeta de Riemann incluye un gráfico de colores que ilustra cómo varía la función en una región rectangular continua del plano complejo. La caracterización exitosa de sus ceros no triviales en el plano más amplio es importante en la teoría de números, debido a la hipótesis de Riemann .

En cero, uno tiene $${\displaystyle \zeta (0)={B_{1}^{-}}=-{B_{1}^{+}}=-{\tfrac {1}{2}}\!}$$

En 1 hay un poste , así que${\displaystyle \zeta (1)}$no es finito, pero los límites izquierdo y derecho son: $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{\pm }}\zeta (1+\varepsilon )=\pm \infty }$$ Dado que es un polo de primer orden, tiene un residuo complejo.$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \zeta (1+\varepsilon )=1\,.}$$

En general, para los enteros negativos, se tiene $${\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$$

Los llamados "ceros triviales" aparecen en los números pares negativos: $${\displaystyle \zeta (-2n)=0}$$( Resumen de Ramanujan )

Los primeros valores para los enteros impares negativos son $${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (-1)&=-{\frac {1}{12}}\\[4pt]\zeta (-3)&={\frac {1}{120}}\\[4pt]\zeta (-5)&=-{\frac {1}{252}}\\[4pt]\zeta (-7)&={\frac {1}{240}}\\[4pt]\zeta (-9)&=-{\frac {1}{132}}\\[4pt]\zeta (-11)&={\frac {691}{32760}}\\[4pt]\zeta (-13)&=-{\frac {1}{12}}\end{aligned}}}$$

Esto significa${\displaystyle \zeta (m)}$puede utilizarse como definición de los números de Bernoulli.

Sin embargo, al igual que los números de Bernoulli , estos no permanecen pequeños para valores impares cada vez más negativos. Para obtener más detalles sobre${\displaystyle \zeta (-1)}$⁠ , ver 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ .

La derivada de la función zeta en los enteros pares negativos viene dada por $${\displaystyle \zeta ^{\prime }(-2n)=(-1)^{n}{\frac {(2n)!}{2(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n+1)\,.}$$

Los primeros valores de los cuales son $${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta ^{\prime }(-2)&=-{\frac {\zeta (3)}{4\pi ^{2}}}\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-4)&={\frac {3}{4\pi ^{4}}}\zeta (5)\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-6)&=-{\frac {45}{8\pi ^{6}}}\zeta (7)\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-8)&={\frac {315}{4\pi ^{8}}}\zeta (9)\,.\end{aligned}}}$$

Uno también tiene $${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta ^{\prime }(0)&=-{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )\\[4pt]\zeta ^{\prime }(-1)&={\frac {1}{12}}-\ln A\\[4pt]\zeta ^{\prime }(2)&={\frac {1}{6}}\pi ^{2}(\gamma +\ln 2-12\ln A+\ln \pi )\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle A}$es la constante de Glaisher-Kinkelin . La primera de estas identidades implica que el producto regularizado de los recíprocos de los enteros positivos es${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$, de ahí la divertida "ecuación"${\displaystyle \infty$ !={\sqrt {2\pi }}} . ^{[ 9 ]}

A partir de la derivada logarítmica de la ecuación funcional, $${\displaystyle 2{\frac {\zeta '(1/2)}{\zeta (1/2)}}=\log(2\pi )+{\frac {\pi \cos(\pi /4)}{2\sin(\pi /4)}}-{\frac {\Gamma '(1/2)}{\Gamma (1/2)}}=\log(2\pi )+{\frac {\pi }{2}}+2\log 2+\gamma \,.}$$

Las siguientes sumas se pueden derivar de la función generadora: $${\displaystyle \sum _{k=2}^{\infty }\zeta (k)x^{k-1}=-\psi _{0}(1-x)-\gamma }$$ dónde${\displaystyle \psi _{0}}$es la función digamma . $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=2}^{\infty }(\zeta (k)-1)&=1\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(\zeta (2k)-1)&={\frac {3}{4}}\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(\zeta (2k+1)-1)&={\frac {1}{4}}\\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}(\zeta (k)-1)&={\frac {1}{2}}\end{aligned}}}$$

Series relacionadas con la constante de Euler-Mascheroni (denotada por${\displaystyle \gamma }$) son $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k}}&=\gamma \\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=1-\gamma \\[4pt]\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=\ln 2+\gamma -1\end{aligned}}}$$ y utilizando el valor principal $${\displaystyle \zeta (k)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (k+\varepsilon )+\zeta (k-\varepsilon )}{2}}}$$ lo cual, por supuesto, afecta solo al valor en 1, estas fórmulas se pueden enunciar como $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)}{k}}&=0\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=0\\[4pt]\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\zeta (k)-1}{k}}&=\ln 2\end{aligned}}}$$ y demostrar que dependen del valor principal de${\displaystyle \zeta (1)=\gamma }$.

Los ceros de la zeta de Riemann , excepto los enteros pares negativos, se denominan "ceros no triviales". La hipótesis de Riemann establece que la parte real de cada cero no trivial debe ser 1/2 . En otras palabras, todos los ceros no triviales conocidos de la zeta de Riemann tienen la forma${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}+yi}$dónde${\displaystyle y}$es un número real. La siguiente tabla contiene la expansión decimal de${\displaystyle \mathrm {Im} (z)}$para los primeros ceros no triviales:

Andrew Odlyzko calculó los primeros 2 millones de ceros no triviales con una precisión de dentro de${\displaystyle 4\times 10^{-9}}$y los primeros 100 ceros con una precisión de 1000 decimales. Consulte su sitio web para ver las tablas y bibliografías. ^{[ 10 ] [ 11 ]} Una tabla de aproximadamente 103 mil millones de ceros con alta precisión (dentro de${\displaystyle 2^{-102}\approx 2\cdot 10^{-31}}$) está disponible para acceso interactivo y descarga en formato comprimido a través de LMFDB . ^{[ 12 ]}

Aunque evaluar valores particulares de la función zeta es difícil, a menudo se pueden encontrar ciertas proporciones insertando valores particulares de la función gamma en la ecuación funcional. $${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}$$

Tenemos relaciones simples para argumentos semi-enteros.$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\zeta (3/2)}{\zeta (-1/2)}}&=-4\pi \\{\frac {\zeta (5/2)}{\zeta (-3/2)}}&=-{\frac {16\pi ^{2}}{3}}\\{\frac {\zeta (7/2)}{\zeta (-5/2)}}&={\frac {64\pi ^{3}}{15}}\\{\frac {\zeta (9/2)}{\zeta (-7/2)}}&={\frac {256\pi ^{4}}{105}}\end{aligned}}}$$

A continuación se presentan otros ejemplos para evaluaciones y relaciones más complejas de la función gamma. Por ejemplo, una consecuencia de la relación $${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)=\left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{\tfrac {1}{4}}{\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}^{\tfrac {1}{2}}}$$ es la relación de la razón zeta $${\displaystyle {\frac {\zeta (3/4)}{\zeta (1/4)}}=2{\sqrt {\frac {\pi }{(2-{\sqrt {2}})\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}}}}$$ donde AGM es la media aritmético-geométrica . De manera similar, es posible formar relaciones radicales, como por ejemplo: $${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{5}}\right)^{2}}{\Gamma \left({\frac {1}{10}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{10}}\right)}}={\frac {\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}{2^{\tfrac {7}{10}}{\sqrt[{4}]{5}}}}}$$ La relación zeta análoga es $${\displaystyle {\frac {\zeta (1/5)^{2}\zeta (7/10)\zeta (9/10)}{\zeta (1/10)\zeta (3/10)\zeta (4/5)^{2}}}={\frac {(5-{\sqrt {5}})\left({\sqrt {10}}+{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}\right)}{10\cdot 2^{\tfrac {3}{10}}}}}$$

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• Referencia sobre ceros no triviales por Andrew Odlyzko :
  • Bibliografía
  • Tablas