Valores particulares de la función gamma

La función gamma es una función especial importante en matemáticas . Sus valores particulares pueden expresarse en forma cerrada para argumentos enteros , semienteros y otros argumentos racionales, pero no se conocen expresiones sencillas para los valores en puntos racionales en general. Otros argumentos fraccionarios pueden aproximarse mediante productos infinitos eficientes, series infinitas y relaciones de recurrencia.

Para argumentos enteros positivos, la función gamma coincide con el factorial . Es decir,

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!,}$

y por lo tanto

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=1,\\\Gamma (2)&=1,\\\Gamma (3)&=2,\\\Gamma (4)&=6,\\\Gamma (5)&=24,\end{aligned}}}$

y así sucesivamente. Para los enteros no positivos, la función gamma no está definida.

Para semi-enteros positivos${\displaystyle {\frac {k}{2}}}$dónde${\displaystyle k\in 2\mathbb {N} ^{*}+1}$es un número entero impar mayor o igual que${\displaystyle 3}$, los valores de la función vienen dados exactamente por

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {k}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}{\frac {(k-2)!!}{2^{\frac {k-1}{2}}}}\,,}$

o, equivalentemente, para valores enteros no negativos de n : 

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n)!}{4^{n}n!}}{\sqrt {\pi }}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\frac {(-4)^{n}n!}{(2n)!}}{\sqrt {\pi }}\end{aligned}}}$

donde n !! denota el doble factorial . En particular,

y mediante la fórmula de reflexión ,

En analogía con la fórmula del medio entero,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{3}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right){\frac {(3n-2)!!!}{3^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{4}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right){\frac {(4n-3)!!!!}{4^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {1}{q}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {1}{q}}\right){\frac {{\big (}qn-(q-1){\big )}!^{(q)}}{q^{n}}}\\\Gamma \left(n+{\tfrac {p}{q}}\right)&=\Gamma \left({\tfrac {p}{q}}\right){\frac {1}{q^{n}}}\prod _{k=1}^{n}(kq+p-q)\end{aligned}}}$

donde n ! ^{( q )} denota el q -ésimo multifactorial de n . Numéricamente,

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 2.678\,938\,534\,707\,747\,6337}$OEIS : A073005 

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\approx 3.625\,609\,908\,221\,908\,3119}$OEIS : A068466 

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\approx 4.590\,843\,711\,998\,803\,0532}$OEIS : A175380 

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)\approx 5.566\,316\,001\,780\,235\,2043}$OEIS : A175379 

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{7}}\right)\approx 6.548\,062\,940\,247\,824\,4377}$OEIS : A220086 

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)\approx 7.533\,941\,598\,797\,611\,9047}$OEIS : A203142  .

Además,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(n-\Gamma \left({\tfrac {1}{n}}\right)\right)=\gamma }$

dónde${\displaystyle \gamma }$es la constante de Euler-Mascheroni .

Se desconoce si estas constantes son trascendentales en general, pero GV Chudnovsky demostró que Γ( ⁠ 1 / 3 ⁠ ) y Γ( ⁠ 1 / 4 ⁠ ) son trascendentales . También se sabe desde hace tiempo que Γ( ⁠ 1 / 4 ⁠ ) / ⁴ √ π es trascendental, y Yuri Nesterenko demostró en 1996 que Γ( ⁠ 1 / 4 ⁠ ) , π y e ^π son algebraicamente independientes .

Para${\displaystyle n\geq 2}$ al menos uno de los dos números ${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$y${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {2}{n}}\right)}$ es trascendental. ^{[ 1 ]}

El número${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)}$está relacionado con la constante de la lemniscata${\displaystyle \varpi }$por

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {2\varpi {\sqrt {2\pi }}}}}$

Borwein y Zucker han descubierto que Γ( ⁠ n / 24 ⁠ ) puede expresarse algebraicamente en términos de π , K ( k (1)) , K ( k (2)) , K ( k (3)) y K ( k (6)), donde K ( k ( N )) es una integral elíptica completa de primera especie . Esto permite aproximar eficientemente la función gamma de argumentos racionales con alta precisión utilizando iteraciones de media aritmético-geométrica de convergencia cuadrática . Por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)&={\frac {{\sqrt {\frac {3}{\pi }}}\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{2}}{\sqrt[{3}]{2}}}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)&=2{\sqrt {K\left({\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\right){\sqrt {\pi }}}}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)&={\frac {2^{7/9}{\sqrt[{3}]{\pi K\left({\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}\right)}}}{\sqrt[{12}]{3}}}\\\Gamma \left({\tfrac {1}{8}}\right)\Gamma \left({\tfrac {3}{8}}\right)&=8{\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {\left({\sqrt {2}}-1\right)\pi }}K\left(3-2{\sqrt {2}}\right)\\{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)}{\Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)}}&={\frac {2{\sqrt {\left(1+{\sqrt {2}}\right)K\left({\frac {1}{2}}\right)}}}{\sqrt[{4}]{\pi }}}\end{aligned}}}$

No se conocen relaciones similares para Γ( ⁠ 1 / 5 ⁠ ) u otros denominadores.

En particular, donde AGM() es la media aritmético-geométrica , tenemos ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)={\frac {2^{\frac {1}{9}}(2\pi )^{\frac {2}{3}}}{3^{\frac {1}{12}}\cdot \operatorname {AGM} \left(2,{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}}}}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{\frac {3}{2}}}{\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}}}}$

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{6}}\right)={\frac {2^{\frac {14}{9}}\cdot 3^{\frac {1}{3}}\cdot \pi ^{\frac {5}{6}}}{\operatorname {AGM} \left(1+{\sqrt {3}},{\sqrt {8}}\right)^{\frac {2}{3}}}}.}$

Otras fórmulas incluyen los productos infinitos

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=(2\pi )^{\frac {3}{4}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh \left({\frac {\pi k}{2}}\right)}$

y

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)=A^{3}e^{-{\frac {G}{\pi }}}2^{\frac {1}{6}}{\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2k}}\right)^{k(-1)^{k}}}$

donde A es la constante de Glaisher-Kinkelin y G es la constante de Catalan .

Las siguientes dos representaciones para Γ( ⁠ 3 / 4 ⁠ ) fueron dadas por I. Mező ^{[ 3 ].}

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}{\frac {1}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}}=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi (k-2k^{2})}\theta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),}$

y

${\displaystyle {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\frac {1}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)^{2}}}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\theta _{4}(ik\pi ,e^{-\pi })}{e^{2\pi k^{2}}}},}$

donde θ ₁ y θ ₄ son dos de las funciones theta de Jacobi .

También existen varias integrales de Malmsten para ciertos valores de la función gamma: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\ln \ln t}{1+t^{2}}}={\frac {\pi }{4}}\left(2\ln 2+3\ln \pi -4\Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)\right)}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {\ln \ln t}{1+t+t^{2}}}={\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}\left(8\ln 2\pi -3\ln 3-12\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\right)}$

Algunas identidades de producto incluyen:

${\displaystyle \prod _{r=1}^{2}\Gamma \left({\tfrac {r}{3}}\right)={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\approx 3.627\,598\,728\,468\,435\,7012}$OEIS : A186706 

${\displaystyle \prod _{r=1}^{3}\Gamma \left({\tfrac {r}{4}}\right)={\sqrt {2\pi ^{3}}}\approx 7.874\,804\,972\,861\,209\,8721}$OEIS : A220610 

${\displaystyle \prod _{r=1}^{4}\Gamma \left({\tfrac {r}{5}}\right)={\frac {4\pi ^{2}}{\sqrt {5}}}\approx 17.655\,285\,081\,493\,524\,2483}$

${\displaystyle \prod _{r=1}^{5}\Gamma \left({\tfrac {r}{6}}\right)=4{\sqrt {\frac {\pi ^{5}}{3}}}\approx 40.399\,319\,122\,003\,790\,0785}$

${\displaystyle \prod _{r=1}^{6}\Gamma \left({\tfrac {r}{7}}\right)={\frac {8\pi ^{3}}{\sqrt {7}}}\approx 93.754\,168\,203\,582\,503\,7970}$

${\displaystyle \prod _{r=1}^{7}\Gamma \left({\tfrac {r}{8}}\right)=4{\sqrt {\pi ^{7}}}\approx 219.828\,778\,016\,957\,263\,6207}$

En general:

${\displaystyle \prod _{r=1}^{n}\Gamma \left({\tfrac {r}{n+1}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{n+1}}}}$

De esos productos se pueden deducir otros valores, por ejemplo, de las ecuaciones anteriores para${\displaystyle \prod _{r=1}^{3}\Gamma \left({\tfrac {r}{4}}\right)}$,${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{4}}\right)}$y${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {2}{4}}\right)}$, se puede deducir:

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {3}{4}}\right)=\left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{\tfrac {1}{4}}{\operatorname {AGM} \left({\sqrt {2}},1\right)}^{\tfrac {1}{2}}}$

Otras relaciones racionales incluyen

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{5}}\right)\Gamma \left({\tfrac {4}{15}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{3}}\right)\Gamma \left({\tfrac {2}{15}}\right)}}={\frac {{\sqrt {2}}\,{\sqrt[{20}]{3}}}{{\sqrt[{6}]{5}}\,{\sqrt[{4}]{5-{\frac {7}{\sqrt {5}}}+{\sqrt {6-{\frac {6}{\sqrt {5}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{20}}\right)\Gamma \left({\tfrac {9}{20}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {3}{20}}\right)\Gamma \left({\tfrac {7}{20}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}{2}}}$^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{5}}\right)^{2}}{\Gamma \left({\frac {1}{10}}\right)\Gamma \left({\frac {3}{10}}\right)}}={\frac {\sqrt {1+{\sqrt {5}}}}{2^{\tfrac {7}{10}}{\sqrt[{4}]{5}}}}}$

y muchas más relaciones para Γ( ⁠ n / d ⁠ ) donde el denominador d divide a 24 o 60. ^{[ 6 ]}

Los cocientes gamma con valores algebraicos deben estar "equilibrados" en el sentido de que la suma de los argumentos sea la misma (módulo 1) para el denominador y el numerador.

Un ejemplo más sofisticado:

${\displaystyle {\frac {\Gamma \left({\frac {11}{42}}\right)\Gamma \left({\frac {2}{7}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{21}}\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}={\frac {8\sin \left({\frac {\pi }{7}}\right){\sqrt {\sin \left({\frac {\pi }{21}}\right)\sin \left({\frac {4\pi }{21}}\right)\sin \left({\frac {5\pi }{21}}\right)}}}{2^{\frac {1}{42}}3^{\frac {9}{28}}7^{\frac {1}{3}}}}}$^{[ 7 ]}

La función gamma en la unidad imaginaria i = √ −1 da OEIS : A212877  , OEIS : A212878  :

${\displaystyle \Gamma (i)=(-1+i)!\approx -0.1549-0.4980i.}$

También puede expresarse en términos de la función G de Barnes :

${\displaystyle \Gamma (i)={\frac {G(1+i)}{G(i)}}=e^{-\log G(i)+\log G(1+i)}.}$

${\displaystyle \Gamma (i)}$aparece en la evaluación integral que se muestra a continuación: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\{\cot(x)\}\,dx=1-{\frac {\pi }{2}}+{\frac {i}{2}}\log \left({\frac {\pi }{\sinh(\pi )\Gamma (i)^{2}}}\right).}$

Aquí${\displaystyle \{\cdot \}}$denota la parte fraccionaria .

Debido a la fórmula de reflexión de Euler y al hecho de que${\displaystyle \Gamma ({\bar {z}})={\bar {\Gamma }}(z)}$Tenemos una expresión para el módulo al cuadrado de la función Gamma evaluada en el eje imaginario:

${\displaystyle \left|\Gamma (i\kappa )\right|^{2}={\frac {\pi }{\kappa \sinh(\pi \kappa )}}}$

La integral anterior se relaciona, por lo tanto, con la fase de${\displaystyle \Gamma (i)}$.

La función gamma con otros argumentos complejos devuelve

${\displaystyle \Gamma (1+i)=i\Gamma (i)\approx 0.498-0.155i}$

${\displaystyle \Gamma (1-i)=-i\Gamma (-i)\approx 0.498+0.155i}$

${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i)\approx 0.818\,163\,9995-0.763\,313\,8287\,i}$

${\displaystyle \Gamma ({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}i)\approx 0.818\,163\,9995+0.763\,313\,8287\,i}$

${\displaystyle \Gamma (5+3i)\approx 0.016\,041\,8827-9.433\,293\,2898\,i}$

${\displaystyle \Gamma (5-3i)\approx 0.016\,041\,8827+9.433\,293\,2898\,i.}$

La función gamma tiene un mínimo local en el eje real positivo.

${\displaystyle x_{\min }=1.461\,632\,144\,968\,362\,341\,262\,659\,5423\ldots \,}$OEIS : A030169 

con el valor

${\displaystyle \Gamma \left(x_{\min }\right)=0.885\,603\,194\,410\,888\,700\,278\,815\,9005\ldots \,}$OEIS : A030171  .

Integrando la función gamma recíproca a lo largo del eje real positivo también se obtiene la constante de Fransén-Robinson .

En el eje real negativo, los primeros máximos y mínimos locales (ceros de la función digamma ) son:

Los únicos valores de x > 0 para los cuales Γ( x ) = x son x = 1 y x ≈3.562 382 285 390 897 691 415 644 3427 ... OEIS : A218802  .

• Fórmula de Chowla-Selberg

• Gramain, F. (1981). "Sur le théorème de Fukagawa-Gel'fond". Inventar. Matemáticas . 63 (3): 495– 506. Bibcode : 1981InMat..63..495G . doi : 10.1007/BF01389066 . S2CID 123079859 . 
• Borwein, JM; Zucker, IJ (1992). "Evaluación rápida de la función gamma para fracciones racionales pequeñas mediante integrales elípticas completas de primer tipo". IMA Journal of Numerical Analysis . 12 (4): 519– 526. doi : 10.1093/imanum/12.4.519 . MR 1186733 . 
• X. Gourdon y P. Sebah. Introducción a la función gamma
• Weisstein, Eric W. "Función Gamma" . MathWorld .
• Viduñas, Raimundas (2005). "Expresiones para valores de la función gamma". Revista de Matemáticas de Kyushu . 59 (2): 267– 283. arXiv : math.CA/0403510 . doi : 10.2206/kyushujm.59.267 . S2CID 119623635 . 
• Viduñas, Raimundas (2005). "Expresiones para valores de la función gamma". Kyushu J. Matemáticas . 59 (2): 267– 283. arXiv : matemáticas/0403510 . doi : 10.2206/kyushujm.59.267 . SEÑOR 2188592 . S2CID 119623635 .  
• Adamchik, VS (2005). "Función gamma múltiple y su aplicación al cálculo de series" (PDF) . The Ramanujan Journal . 9 (3): 271– 288. arXiv : math/0308074 . doi : 10.1007/ s11139-005-1868-3 . MR 2173489. S2CID 15670340 .  
• Duque, W.; Imamoglu, O. (2006). "Valores especiales de múltiples funciones gamma" (PDF) . Journal de Théorie des Nombres de Burdeos . 18 (1): 113– 123. doi : 10.5802/jtnb.536 . SEÑOR 2245878 .