Triángulo de Pascal

• La suma de los elementos de una fila es el doble de la suma de la fila anterior. Por ejemplo, la fila  0 (la fila superior) tiene un valor de 1, la fila  1 tiene un valor de 2, la fila  2 tiene un valor de 4, y así sucesivamente. Esto se debe a que cada elemento de una fila produce dos elementos en la siguiente fila: uno a la izquierda y otro a la derecha. La suma de los elementos de la fila ${\displaystyle n}$es igual a${\displaystyle 2^{n}}$.
• Tomando el producto de los elementos en cada fila, la secuencia de productos (secuencia A001142 en el OEIS ) está relacionada con la base del logaritmo natural , e . ^{[ 20 ] [ 21 ]} Específicamente, defina la secuencia${\displaystyle s_{n}}$ a pesar de ${\displaystyle n\geq 0}$como sigue:${\displaystyle s_{n}=\prod _{k=0}^{n}{n \choose k}=\prod _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(nk)!}}}$
  Entonces, la razón de los productos de filas sucesivas es$${\displaystyle {\frac {s_{n+1}}{s_{n}}}={\frac {\displaystyle (n+1)!^{n+2}\prod _{k=0}^{n+1}{\frac {1}{k!^{2}}}}{\displaystyle n!^{n+1}\prod _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!^{2}}}}}={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}}$$y la razón de estas razones es$${\displaystyle {\frac {s_{n+1}\cdot s_{n-1}}{s_{n}^{2}}}=\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n},~n\geq 1.}$$El lado derecho de la ecuación anterior toma la forma de la definición de límite de${\displaystyle e}$$${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$$
• ${\displaystyle \pi }$se puede encontrar en el triángulo de Pascal mediante el uso de la serie infinita de Nilakantha . ^{[ 22 ]}$${\displaystyle \pi =3+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2n+1 \choose 1}{{2n+1 \choose 2}{2n+2 \choose 2}}}}$$
• Algunos de los números del triángulo de Pascal se correlacionan con números del triángulo de Lozanić .
• La suma de los cuadrados de los elementos de la fila ⁿ es igual al elemento central de la fila 2n . Por ejemplo, 1² ⁺ 4² + 6² ⁺ 4² ⁺ 1² ⁼ 70. En forma general,  $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}.}$$
• En cualquier fila par${\displaystyle n=2m}$, el término central menos el término dos posiciones a la izquierda es igual a un número de Catalan , específicamente${\displaystyle C_{m-1}={\tbinom {2m}{m}}-{\tbinom {2m}{m-2}}}$Por ejemplo, en la fila  4, que es 1, 4, 6, 4, 1, obtenemos el tercer número catalán.${\displaystyle C_{3}=6-1=5}$.
• En una fila p , donde p es un número primo , todos los términos de esa fila, excepto los 1, son divisibles por p . Esto se puede demostrar fácilmente a partir de la fórmula multiplicativa. ${\displaystyle {\tbinom {p}{k}}={\tfrac {p!}{k!(p-k)!}}}$Dado que el denominador${\displaystyle k!(p-k)!}$no puede tener factores primos iguales a p , por lo que p permanece en el numerador después de la división entera, haciendo que toda la entrada sea un múltiplo de p .
• Paridad : Para contar los términos impares en la fila n , convierta n a binario . Sea x el número de 1s en la representación binaria. Entonces, el número de términos impares será 2 ^x . Estos números son los valores de la secuencia de Gould . ^{[ 23 ]} 
• Cada entrada en la fila 2 ⁿ  −  1, n  ≥  0, es impar. ^{[ 24 ]}
• Polaridad : Cuando los elementos de una fila del triángulo de Pascal se suman y se restan alternativamente, el resultado es 0. Por ejemplo, la fila 6 es 1,  6,  15,  20,  15,  6,  1, por lo que la fórmula es 1  −  6  +  15  −  20  +  15  −  6  +  1  =  0.

Las diagonales del triángulo de Pascal contienen los números figurados de los símplices:

• Las diagonales que recorren los bordes izquierdo y derecho contienen solo unos.
• Las diagonales adyacentes a las diagonales de los bordes contienen los números naturales en orden. Los números simplex unidimensionales se incrementan en 1 a medida que los segmentos de línea se extienden hasta el siguiente número entero a lo largo de la recta numérica .
• Avanzando hacia el interior, el siguiente par de diagonales contiene los números triangulares en orden.
• El siguiente par de diagonales contiene los números tetraédricos en orden, y el siguiente par da los números pentatópicos .

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(n)&=P_{d}(0)=1,\\P_{d}(n)&=P_{d}(n-1)+P_{d-1}(n)\\&=\sum _{i=0}^{n}P_{d-1}(i)=\sum _{i=0}^{d}P_{i}(n-1).\end{aligned}}}$

La simetría del triángulo implica que el n ^-ésimo número d-dimensional es igual al d ^-ésimo número n- dimensional.

Una fórmula alternativa que no implica recursión es $${\displaystyle P_{d}(n)={\frac {1}{d!}}\prod _{k=0}^{d-1}(n+k)={n^{(d)} \over d!}={\binom {n+d-1}{d}},}$$ donde n ^{( d )} es el factorial ascendente .

El significado geométrico de una función P _d es: P _d (1) = 1 para todo d . Construya un triángulo d - dimensional (un triángulo 3-dimensional es un tetraedro ) colocando puntos adicionales debajo de un punto inicial, correspondiente a P _d (1) = 1. Coloque estos puntos de manera análoga a la colocación de números en el triángulo de Pascal. Para encontrar P _d ( x ), tenga un total de x puntos que compongan la figura objetivo. P _d ( x ) entonces es igual al número total de puntos en la figura. Un triángulo 0-dimensional es un punto y un triángulo 1-dimensional es simplemente una línea, y por lo tanto P ₀ ( x ) = 1 y P ₁ ( x ) = x , que es la secuencia de números naturales. El número de puntos en cada capa corresponde a P _{d  −  1} ( x ).

Existen algoritmos sencillos para calcular todos los elementos de una fila o diagonal sin necesidad de calcular otros elementos ni factoriales.

Para calcular la fila${\displaystyle n}$con los elementos${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}}$, comenzar con${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$Para cada elemento subsiguiente, el valor se determina multiplicando el valor anterior por una fracción con numerador y denominador que cambian lentamente:

${\displaystyle {n \choose k}={n \choose k-1}\times {\frac {n+1-k}{k}}.}$

Por ejemplo, para calcular la fila 5, las fracciones son ${\displaystyle {\tfrac {5}{1}}}$,${\displaystyle {\tfrac {4}{2}}}$,${\displaystyle {\tfrac {3}{3}}}$,${\displaystyle {\tfrac {2}{4}}}$y${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$y por lo tanto los elementos son ${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1}$, ${\displaystyle {\tbinom {5}{1}}=1\times {\tfrac {5}{1}}=5}$, ${\displaystyle {\tbinom {5}{2}}=5\times {\tfrac {4}{2}}=10}$, etc. (Los elementos restantes se obtienen más fácilmente por simetría).

Para calcular la diagonal que contiene los elementos${\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n+1}{1}},{\tbinom {n+2}{2}},\ldots ,}$comenzar de nuevo con${\displaystyle {\tbinom {n}{0}}=1}$y obtener los elementos subsiguientes multiplicándolos por ciertas fracciones:

${\displaystyle {n+k \choose k}={n+k-1 \choose k-1}\times {\frac {n+k}{k}}.}$

Por ejemplo, para calcular la diagonal que comienza en${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}}$, las fracciones son ${\displaystyle {\tfrac {6}{1}},{\tfrac {7}{2}},{\tfrac {8}{3}},\ldots }$y los elementos son${\displaystyle {\tbinom {5}{0}}=1,{\tbinom {6}{1}}=1\times {\tfrac {6}{1}}=6,{\tbinom {7}{2}}=6\times {\tfrac {7}{2}}=21}$, etc. Por simetría, estos elementos son iguales a${\displaystyle {\tbinom {5}{5}},{\tbinom {6}{5}},{\tbinom {7}{5}}}$, etc.

• El patrón obtenido al colorear solo los números impares en el triángulo de Pascal se asemeja mucho al fractal conocido como triángulo de Sierpiński . Esta semejanza se vuelve cada vez más precisa a medida que se consideran más filas; en el límite, cuando el número de filas tiende a infinito, el patrón resultante es el triángulo de Sierpiński, suponiendo un perímetro fijo. De forma más general, los números podrían colorearse de manera diferente según sean múltiplos de 3, 4, etc., lo que da lugar a otros patrones similares.

Como la proporción de números negros tiende a cero al aumentar n , un corolario es que la proporción de coeficientes binomiales impares tiende a cero cuando n tiende a infinito. ^{[ 25 ]}

• En una porción triangular de una cuadrícula (como se muestra en las imágenes a continuación), el número de caminos más cortos desde un nodo dado hasta el nodo superior del triángulo corresponde a la entrada del triángulo de Pascal. Por ejemplo, existen cuatro caminos más cortos desde el nodo con valor 4 hasta el nodo superior. En un tablero de Plinko con forma de triángulo, esta distribución debería proporcionar las probabilidades de ganar los distintos premios.

• Si las filas del triángulo de Pascal están alineadas a la izquierda, las bandas diagonales (codificadas por colores a continuación) suman los números de Fibonacci .

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp {\begin{pmatrix}.&.&.&.&.\\1&.&.&.&.\\.&2&.&.&.\\.&.&3&.&.\\.&.&.&4&.\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&.&.&.&.\\1&1&.&.&.\\1&2&1&.&.\\1&3&3&1&.\\1&4&6&4&1\end{pmatrix}}\\e^{\text{counting}}&={\text{binomial}}\end{aligned}}}$

Matriz binomial como exponencial matricial. Todos los puntos representan 0.

Debido a su sencilla construcción mediante factoriales, se puede dar una representación muy básica del triángulo de Pascal en términos de la exponencial matricial : el triángulo de Pascal es la exponencial de la matriz que tiene la secuencia 1, 2, 3, 4, ... en su subdiagonal y cero en todas las demás.

El etiquetado de los elementos de cada n-símplex coincide con los elementos base del álgebra de Clifford utilizados como formas en el álgebra geométrica en lugar de matrices. El reconocimiento de las operaciones geométricas, como las rotaciones, permite descubrir las operaciones algebraicas. Así como cada fila, n , comenzando en 0, del triángulo de Pascal corresponde a un (n-1) -símplex, como se describe a continuación, también define el número de formas base nombradas en el álgebra geométrica n- dimensional . El teorema del binomio se puede utilizar para demostrar la relación geométrica proporcionada por el triángulo de Pascal. ^{[ 26 ]} Esta misma demostración podría aplicarse a los símplices, excepto que la primera columna de todos los 1 debe ignorarse, mientras que en el álgebra estos corresponden a los números reales,${\displaystyle \mathbb {R} }$, con base 1.

Cada fila del triángulo de Pascal indica el número de elementos (como aristas y vértices) de cada dimensión en un símplex correspondiente (como un triángulo o un tetraedro). En particular, para k > 0 , la k -ésima entrada de la n -ésima fila es el número de elementos de dimensión ( k − 1) en un símplex de dimensión ( n − 1) . Por ejemplo, un triángulo (el símplex bidimensional) tiene un elemento bidimensional (él mismo), tres elementos unidimensionales (líneas o aristas) y tres elementos cero-dimensionales ( vértices o vértices); esto corresponde a la tercera fila 1, 3, 3, 1 del triángulo de Pascal. Este hecho se puede explicar combinando la regla de Pascal para generar el triángulo con la construcción geométrica de los símplex: cada símplex se forma a partir de un símplex de una dimensión inferior mediante la adición de un nuevo vértice, fuera del espacio en el que se encuentra el símplex de menor dimensión. Entonces, cada elemento d -dimensional del simplex más pequeño permanece como un elemento d- dimensional del simplex superior, y cada elemento ( d -1) -dimensional, al unirse al nuevo vértice, forma un nuevo elemento d- dimensional del simplex superior. ^{[ 27 ]}

Se observa un patrón similar en relación con los cuadrados , a diferencia de los triángulos. Para encontrar el patrón, se debe construir un análogo del triángulo de Pascal, cuyas entradas son los coeficientes de ^{la fila número} ( x + 2) , en lugar de ^{la fila número} ( x + 1) . Hay un par de maneras de hacerlo. La más sencilla es comenzar con la fila 0 = 1 y la fila 1 = 1, 2. Proceda a construir los triángulos análogos según la siguiente regla:

${\displaystyle {n \choose k}=2\times {n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}.}$

Es decir, elige un par de números según las reglas del triángulo de Pascal, pero duplica el de la izquierda antes de sumarlos. El resultado es:

${\displaystyle {\begin{matrix}{\text{ 1}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 2}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 4}}\quad {\text{ 4}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 6}}\quad {\text{ 12}}\quad {\text{ 8}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 8}}\quad {\text{ 24}}\quad {\text{ 32}}\quad {\text{ 16}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 10}}\quad {\text{ 40}}\quad {\text{ 80}}\quad {\text{ 80}}\quad {\text{ 32}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 12}}\quad {\text{ 60}}\quad 160\quad 240\quad 192\quad {\text{ 64}}\\{\text{ 1}}\quad {\text{ 14}}\quad {\text{ 84}}\quad 280\quad 560\quad 672\quad 448\quad 128\end{matrix}}}$

La otra forma de producir este triángulo es comenzar con el triángulo de Pascal y multiplicar cada entrada por 2k ^, donde k es la posición en la fila del número dado. Por ejemplo, el segundo valor en la fila 4 del triángulo de Pascal es 6 (la pendiente de 1s corresponde a la entrada cero en cada fila). Para obtener el valor que reside en la posición correspondiente en el triángulo análogo, multiplicamos 6 por 2 ^{número de posición} = 6 × 2 ² = 6 × 4 = 24. Ahora que se ha construido el triángulo análogo, el número de elementos de cualquier dimensión que componen un cubo de dimensión arbitraria (llamado hipercubo ) se puede leer de la tabla de una manera análoga al triángulo de Pascal. Por ejemplo, un cubo bidimensional (un cuadrado) tiene uno como elementos bidimensionales, cuatro como lados y cuatro como vértices. Esto coincide con la segunda fila de la tabla (1, 4, 4). Un cubo tiene un cubo, seis caras, doce aristas y ocho vértices, lo que corresponde a la siguiente fila del triángulo análogo (1, 6, 12, 8). Este patrón se repite indefinidamente.

Para comprender por qué existe este patrón, primero hay que tener en cuenta que la construcción de un n -cubo a partir de un ( n -1) -cubo se realiza simplemente duplicando la figura original y desplazándola una distancia (para un n -cubo regular, la longitud de la arista) ortogonal al espacio de la figura original, y luego conectando cada vértice de la nueva figura con su vértice correspondiente de la original. Este proceso de duplicación inicial explica por qué, para enumerar los elementos dimensionales de un n -cubo, se debe duplicar el primero de un par de números en una fila de este análogo del triángulo de Pascal antes de sumar para obtener el número que se muestra a continuación. La duplicación inicial, por lo tanto, proporciona el número de elementos "originales" que se encontrarán en el siguiente n- cubo de mayor dimensión y, como antes, los nuevos elementos se construyen sobre aquellos de una dimensión menos (aristas sobre vértices, caras sobre aristas, etc.). Nuevamente, el último número de una fila representa el número de nuevos vértices que se agregarán para generar el siguiente n -cubo de mayor dimensión.

En este triángulo, la suma de los elementos de la fila m es igual a 3 ^m . Nuevamente, para usar los elementos de la fila 4 como ejemplo: 1 + 8 + 24 + 32 + 16 = 81 , que es igual a${\displaystyle 3^{4}=81}$.

Como se indicó anteriormente, los coeficientes de ( x  +  1) ⁿ son la n-ésima fila del triángulo. Ahora, los coeficientes de ( x  −  1) ⁿ son los mismos, excepto que el signo alterna entre +1 y −1. Después de una normalización adecuada, el mismo patrón de números aparece en la transformada de Fourier de sin( x ) ^{n +1} / x . Más precisamente: si n es par, se toma la parte real de la transformada, y si n es impar, se toma la parte imaginaria . Entonces el resultado es una función escalón , cuyos valores (debidamente normalizados) vienen dados por la n -ésima fila del triángulo con signos alternos. ^{[ 28 ]} Por ejemplo, los valores de la función escalón que resulta de:

${\displaystyle {\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{5}}{x}}\right]\right)}$

componer la cuarta fila del triángulo, con signos alternos. Esta es una generalización del siguiente resultado básico (frecuentemente utilizado en ingeniería eléctrica ):

${\displaystyle {\mathfrak {Re}}\left({\text{Fourier}}\left[{\frac {\sin(x)^{1}}{x}}\right]\right)}$

es la función de vagón . ^{[ 29 ]} La fila correspondiente del triángulo es la fila 0, que consta únicamente del número  1.

Si n es congruente con 2 o con 3 mod 4, entonces los signos comienzan con  −1. De hecho, la secuencia de los primeros términos (normalizados) corresponde a las potencias de i , que giran alrededor de la intersección de los ejes con el círculo unitario en el plano complejo:$${\displaystyle +i,-1,-i,+1,+i,\ldots }$$

El triángulo de Pascal puede extenderse hacia arriba, por encima del 1 en el vértice, conservando la propiedad aditiva, pero hay más de una forma de hacerlo. ^{[ 30 ]}

El triángulo de Pascal tiene generalizaciones de dimensiones superiores . La versión tridimensional se conoce como pirámide de Pascal o tetraedro de Pascal , mientras que las versiones generales se conocen como símplices de Pascal .

Cuando la función factorial se define como${\displaystyle z!=\Gamma (z+1)}$, el triángulo de Pascal se puede extender más allá de los números enteros a${\displaystyle \mathbb {C} }$, desde${\displaystyle \Gamma (z+1)}$es meromorfo a todo el plano complejo . ^{[ 31 ]}

Isaac Newton observó una vez que las primeras cinco filas del triángulo de Pascal, cuando se leen como los dígitos de un número entero, son las potencias correspondientes de once. Afirmó sin pruebas que las filas subsiguientes también generan potencias de once. ^{[ 32 ]} En 1964, Robert L. Morton presentó el argumento más generalizado de que cada fila${\displaystyle n}$se puede leer como una raíz${\displaystyle a}$numeral, donde${\displaystyle \lim _{n\to \infty }11_{a}^{n}}$es la fila terminal hipotética, o límite , del triángulo, y las filas son sus productos parciales. ^{[ 33 ]} Demostró las entradas de la fila${\displaystyle n}$, cuando se interpreta directamente como un numeral posicional, corresponden a la expansión binomial de${\displaystyle (a+1)^{n}=11_{a}^{n}}$Desde entonces se han desarrollado pruebas más rigurosas. ^{[ 34 ] [ 35 ]} Para comprender mejor el principio que subyace a esta interpretación, aquí hay algunas cosas que recordar sobre los binomios:

• Una raíz${\displaystyle a}$numeral en notación posicional (por ejemplo${\displaystyle 14641_{a}}$) es un polinomio univariado en la variable${\displaystyle a}$, donde el grado de la variable de la${\displaystyle i}$término (comenzando con${\displaystyle i=0}$) es${\displaystyle i}$. Por ejemplo,${\displaystyle 14641_{a}=1\cdot a^{4}+4\cdot a^{3}+6\cdot a^{2}+4\cdot a^{1}+1\cdot a^{0}}$.
• Una fila corresponde a la expansión binomial de${\displaystyle (a+b)^{n}}$. La variable${\displaystyle b}$puede eliminarse de la expansión mediante la configuración${\displaystyle b=1}$. La expansión ahora tipifica la forma expandida de una raíz${\displaystyle a}$numeral, ^{[ 36 ] [ 37 ]} como se demostró anteriormente . Por lo tanto, cuando las entradas de la fila se concatenan y se leen en base${\displaystyle a}$forman el equivalente numérico de${\displaystyle (a+1)^{n}=11_{a}^{n}}$. Si${\displaystyle c=a+1}$para${\displaystyle c<0}$, entonces el teorema se cumple para${\displaystyle a{\bmod {2}}c}$, con${\displaystyle a}$congruente con${\displaystyle \{c-1,-(c+1)\}}$y con valores impares de${\displaystyle n}$produciendo productos de fila negativos. ^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]}

Al establecer la base de la fila (la variable${\displaystyle a}$) igual a uno y diez, fila${\displaystyle n}$se convierte en el producto${\displaystyle 11_{1}^{n}=2^{n}}$y${\displaystyle 11_{10}^{n}=11^{n}}$, respectivamente. Para ilustrarlo, consideremos${\displaystyle a=n}$, lo que produce el producto fila${\displaystyle \textstyle n^{n}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=11_{n}^{n}}$. La representación numérica de${\displaystyle 11_{n}^{n}}$se forma concatenando las entradas de la fila${\displaystyle n}$La duodécima fila indica el producto:

${\displaystyle 11_{12}^{12}=1:10:56:164:353:560:650:560:353:164:56:10:1_{12}=27433a9699701_{12}}$

con dígitos compuestos (delimitados por ":") en base doce. Los dígitos de${\displaystyle k=n-1}$a través de${\displaystyle k=1}$son compuestos porque estas entradas de fila dan como resultado valores mayores o iguales a doce. Para normalizar ^{[ 41 ]} el numeral, simplemente se toma el prefijo de la primera entrada compuesta, es decir, se elimina el prefijo del coeficiente.${\displaystyle \textstyle {n \choose n-1}}$desde su dígito más a la izquierda hasta, pero excluyendo, su dígito más a la derecha, y usar aritmética de base doce para sumar el prefijo eliminado con la entrada inmediatamente a su izquierda, luego repetir este proceso, procediendo hacia la izquierda, hasta llegar a la entrada más a la izquierda. En este ejemplo particular, la cadena normalizada termina con${\displaystyle 01}$a pesar de${\displaystyle n}$El dígito de más a la izquierda es${\displaystyle 2}$para${\displaystyle n>2}$, que se obtiene llevando el${\displaystyle 1}$de${\displaystyle 10_{n}}$en la entrada${\displaystyle k=1}$. De ello se deduce que la longitud del valor normalizado de${\displaystyle 11_{n}^{n}}$es igual a la longitud de la fila,${\displaystyle n+1}$. La parte integral de${\displaystyle 1.1_{n}^{n}}$contiene exactamente un dígito porque${\displaystyle n}$(el número de lugares a la izquierda que se ha movido el punto decimal) es uno menos que la longitud de la fila. A continuación se muestra el valor normalizado de${\displaystyle 1.1_{1234}^{1234}}$Los dígitos compuestos permanecen en el valor porque son base${\displaystyle 1234}$residuos representados en base diez:

${\displaystyle 1.1_{1234}^{1234}=2.885:2:35:977:696:\overbrace {\ldots } ^{\text{1227 digits}}:0:1_{1234}=2.717181235\ldots _{10}}$