Ley de Paschen

La ley de Paschen es una ecuación que proporciona la tensión de ruptura —la tensión necesaria para iniciar una descarga o arco eléctrico— entre dos electrodos en un gas en función de la presión y la longitud del espacio entre ellos. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} Recibe su nombre de Friedrich Paschen , quien la descubrió empíricamente en 1889. ^{[ 4 ]}

Paschen estudió la tensión de ruptura de varios gases entre placas metálicas paralelas a medida que variaban la presión del gas y la distancia entre ellas:

Con una longitud de separación constante, el voltaje necesario para que se produjera un arco eléctrico a través de la separación disminuía a medida que se reducía la presión y luego aumentaba gradualmente, superando su valor original.
Con una presión constante, el voltaje necesario para generar un arco eléctrico disminuía a medida que se reducía la distancia entre los electrodos, pero solo hasta cierto punto. Al reducirse aún más la distancia, el voltaje necesario para generar un arco eléctrico comenzaba a aumentar y volvía a superar su valor original.

Para un gas dado, el voltaje es función únicamente del producto de la presión y la longitud del espacio. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} La curva que encontró de voltaje en función del producto presión-longitud del espacio (derecha) se llama curva de Paschen . Encontró una ecuación que se ajusta a estas curvas, que ahora se llama ley de Paschen. ^{[ 3 ]}

A presiones y longitudes de separación más elevadas, la tensión de ruptura es aproximadamente proporcional al producto de la presión y la longitud de separación, y a veces se utiliza el término ley de Paschen para referirse a esta relación más simple. ^{[ 5 ]} Sin embargo, esto solo es aproximadamente cierto, en un rango limitado de la curva.

Curva de Paschen

Los primeros experimentadores del vacío descubrieron un comportamiento bastante sorprendente. En ocasiones, el arco eléctrico se producía siguiendo una trayectoria irregular y alargada, en lugar de a la distancia mínima entre los electrodos. Por ejemplo, en el aire, a una presión de una atmósfera , la distancia para la tensión de ruptura mínima es de aproximadamente 7,5 μm. La tensión necesaria para generar un arco a esta distancia es de 327 V, lo cual es insuficiente para encender arcos en espacios más amplios o más estrechos. Para un espacio de 3,5 μm, la tensión requerida es de 533 V, casi el doble. Si se aplicaran 500 V, no sería suficiente para generar un arco a una distancia de 2,85 μm, pero sí a una distancia de 7,5 μm.

Paschen descubrió que el voltaje de ruptura se describía mediante la ecuación ^{[ 1 ].}

V_{\text{B}}={\frac {Bpd}{\ln(Apd)-\ln \left[\ln \left(1+{\frac {1}{\gamma _{\text{se}}}}\right)\right]}}

dónde $V_{\text{B}}$ es el voltaje de ruptura en voltios , $p$ es la presión en pascales , $d$ es la distancia de separación en metros , $\gamma _{\text{se}}$ es el coeficiente de emisión de electrones secundarios (el número de electrones secundarios producidos por ion positivo incidente), $A$ es la ionización de saturación en el gas a una temperatura particular $E/p$ ( campo eléctrico /presión) y $B$ está relacionado con las energías de excitación e ionización.

Las constantes $A$ y $B$ interpolar el primer coeficiente de Townsend $\alpha =Ape^{-Bp/E}$ Se determinan experimentalmente y se ha comprobado que son aproximadamente constantes en un rango restringido de $E/p$ para cualquier gas dado. Por ejemplo, aire con un $E/p$ en el rango de 450 a 7500 V/(kPa·cm), $A$ = 112,50 (kPa·cm) ⁻¹ y $B$ = 2737,50 V/(kPa·cm). ^{[ 6 ]}

La gráfica de esta ecuación es la curva de Paschen. Al diferenciarla con respecto a $pd$ y al igualar la derivada a cero, se puede encontrar el voltaje mínimo. Esto produce

pd={\frac {e\cdot \ln \left(1+{\frac {1}{{\mathit {\gamma }}_{se}}}\right)}{A}}

y predice la aparición de un voltaje de ruptura mínimo para $pd$ = 7,5×10 ⁻⁶ m·atm. Esto equivale a 327 V en el aire a presión atmosférica estándar a una distancia de 7,5 μm.

La composición del gas determina tanto la tensión mínima del arco como la distancia a la que se produce. Para el argón , la tensión mínima del arco es de 137 V a una distancia mayor de 12 μm. Para el dióxido de azufre , la tensión mínima del arco es de 457 V a tan solo 4,4 μm.

largos intervalos

Para el aire en condiciones estándar de temperatura y presión (STP), el voltaje necesario para producir un arco en un espacio de 1 metro es de aproximadamente 3,4 MV. ^{[ 7 ]} Por lo tanto, la intensidad del campo eléctrico para este espacio es de 3,4 MV/m.

El campo eléctrico necesario para generar un arco eléctrico a través del espacio de voltaje mínimo es mucho mayor que el necesario para generar un arco eléctrico en un espacio de un metro. En espacios grandes (o grandes pd), se sabe que la Ley de Paschen no se cumple. El Criterio de Meek para la ruptura dieléctrica se utiliza generalmente para espacios grandes. ^{[ 8 ]} Este criterio tiene en cuenta la no uniformidad del campo eléctrico y la formación de serpentinas debido a la acumulación de carga dentro del espacio, que puede ocurrir a largas distancias. Para un espacio de 7,5 μm, el voltaje del arco es de 327 V, lo que equivale a 43 MV/m. Esto es aproximadamente 14 veces mayor que la intensidad del campo para un espacio de 1,5 metros. Este fenómeno está bien verificado experimentalmente y se conoce como el mínimo de Paschen.

La ecuación pierde precisión para espacios menores a unos 10 μm en el aire a una atmósfera ^{[ 9 ]} y predice incorrectamente un voltaje de arco infinito para un espacio de aproximadamente 2,7 μm. El voltaje de ruptura también puede diferir de la predicción de la curva de Paschen para espacios de electrodos muy pequeños, cuando la emisión de campo desde la superficie del cátodo se vuelve importante.

Mecanismo físico

El camino libre medio de una molécula en un gas es la distancia promedio entre sus colisiones con otras moléculas. Este es inversamente proporcional a la presión del gas, dada una temperatura constante. En el aire en condiciones estándar de temperatura y presión (STP), el camino libre medio de las moléculas es de aproximadamente 96 nm. Dado que los electrones son mucho más pequeños, su distancia promedio entre colisiones con moléculas es aproximadamente 5,6 veces mayor, o alrededor de 0,5 μm. Esto representa una fracción sustancial de la separación de 7,5 μm entre los electrodos para un voltaje de arco mínimo. Si el electrón se encuentra en un campo eléctrico de 43 MV/m, se acelerará y adquirirá 21,5 eV de energía en 0,5 μm de recorrido en la dirección del campo. La primera energía de ionización necesaria para desprender un electrón de una molécula de nitrógeno es de aproximadamente 15,6 eV. El electrón acelerado adquirirá energía más que suficiente para ionizar una molécula de nitrógeno. Este electrón liberado, a su vez, se acelerará, lo que dará lugar a otra colisión. Una reacción en cadena conduce entonces a una ruptura por avalancha , y se produce un arco a partir de la cascada de electrones liberados. ^[¹⁰^]

Se producirán más colisiones en la trayectoria del electrón entre los electrodos en un gas a mayor presión. Cuando el producto presión-espacio $pd$ Cuando el campo eléctrico es alto, un electrón chocará con muchas moléculas de gas diferentes mientras viaja del cátodo al ánodo. Cada colisión altera la dirección del electrón, por lo que este no siempre es acelerado por el campo eléctrico ; a veces viaja de regreso hacia el cátodo y es desacelerado por el campo.

Las colisiones reducen la energía del electrón y dificultan su ionización de una molécula. Las pérdidas de energía debidas a un mayor número de colisiones requieren voltajes más altos para que los electrones acumulen la energía suficiente para ionizar muchas moléculas de gas, lo cual es necesario para producir una ruptura en avalancha .

En el lado izquierdo del mínimo de Pascua, el $pd$ El producto es pequeño. El recorrido libre medio de los electrones puede ser largo en comparación con la distancia entre los electrodos. En este caso, los electrones podrían ganar mucha energía, pero sufrirían menos colisiones ionizantes. Por lo tanto, se requiere un voltaje mayor para asegurar la ionización de suficientes moléculas de gas como para iniciar una avalancha.

Derivación

Lo esencial

Para calcular la tensión de ruptura, se supone un campo eléctrico homogéneo. Este es el caso en una configuración de condensador de placas paralelas . Los electrodos pueden tener la distancia $d$ . El cátodo está ubicado en el punto $x=0$ .

Para obtener ionización por impacto , la energía del electrón $E_{e}$ debe volverse mayor que la energía de ionización $E_{\text{I}}$ de los átomos de gas entre las placas. Por longitud de trayectoria $x$ una serie de $\alpha$ Se producirán ionizaciones. $\alpha$ Se conoce como el primer coeficiente de Townsend, ya que fue introducido por Townsend. ^{[ 11 ]} El aumento de la corriente de electrones $\Gamma _{e}$ , puede describirse para la configuración supuesta como

(Por lo tanto, el número de electrones libres en el ánodo es igual al número de electrones libres en el cátodo que se multiplicaron por la ionización por impacto. Cuanto mayor sea el número de electrones libres en el ánodo, mayor será el número de electrones libres en el cátodo que se multiplicaron por la ionización por impacto. $d$ y/o $\alpha$ Cuantos más electrones libres se creen, mayor será la cantidad de electrones libres.

El número de electrones creados es

Si se ignoran las posibles ionizaciones múltiples del mismo átomo, el número de iones creados es el mismo que el número de electrones creados:

$\Gamma _{i}$ es la corriente iónica. Para que la descarga continúe, deben crearse electrones libres en la superficie del cátodo. Esto es posible porque los iones que golpean el cátodo liberan electrones secundarios en el impacto. (Para voltajes aplicados muy altos, también puede ocurrir la emisión de electrones de campo ). Sin emisión de campo, podemos escribir

dónde $\gamma$ es el número medio de electrones secundarios generados por ion. Esto también se conoce como el segundo coeficiente de Townsend. Suponiendo que $\Gamma _{i}(d)=0$ , se obtiene la relación entre los coeficientes de Townsend sustituyendo ( 4 ) en ( 3 ) y transformando:

ionización por impacto

¿Cuál es la cantidad de? $\alpha$ El número de ionizaciones depende de la probabilidad de que un electrón choque con una molécula de gas. Esta probabilidad $P$ es la relación del área de la sección transversal de una colisión entre un electrón y un ion $\sigma$ en relación con la superficie total $A$ que está disponible para que el electrón vuele a través de ella:

Como se expresa en la segunda parte de la ecuación, también es posible expresar la probabilidad como una relación de la trayectoria recorrida por el electrón. $x$ al camino libre medio $\lambda$ (distancia a la que se produce otra colisión).

Visualización de la sección transversal $\sigma$ : Si el centro de la partícula b penetra el círculo azul, se produce una colisión con la partícula a . Por lo tanto, el área del círculo es la sección transversal y su radio $r$ es la suma de los radios de las partículas.

{\displaystyle \sigma } — Visualización de la sección transversal $\sigma$ : Si el centro de la partícula b penetra el círculo azul, se produce una colisión con la partícula a . Por lo tanto, el área del círculo es la sección transversal y su radio $r$ es la suma de los radios de las partículas.

$N$ es el número de moléculas que pueden ser alcanzadas por electrones. Se puede calcular utilizando la ecuación de estado del gas ideal.

(

p

: presión,

V

: volumen,

k_{B}

: constante de Boltzmann ,

T

: temperatura)

El boceto adjunto ilustra que $\sigma =\pi (r_{a}+r_{b})^{2}$ Dado que el radio de un electrón puede despreciarse en comparación con el radio de un ion $r_{I}$ se simplifica a $\sigma =\pi r_{I}^{2}$ . Usando esta relación, sustituyendo ( 7 ) en ( 6 ) y transformando en $\lambda$ uno consigue

donde el factor $L$ Se introdujo únicamente para ofrecer una mejor visión general.

La alteración de la corriente de electrones que aún no han colisionado en cada punto de la trayectoria. $x$ puede expresarse como

Esta ecuación diferencial se puede resolver fácilmente:

La probabilidad de que $\lambda >x$ (que aún no se había producido una colisión en ese punto $x$ ) es

Según su definición $\alpha$ es el número de ionizaciones por longitud de trayectoria y, por lo tanto, la relación entre la probabilidad de que no haya habido colisión en el camino libre medio de los iones y el camino libre medio de los electrones:

Se consideró por la presente que la energía $E$ La distancia que una partícula cargada puede recorrer en una colisión depende de la intensidad del campo eléctrico. ${\mathcal {E}}$ y el cargo $Q$ :

Voltaje de ruptura

Para el condensador de placas paralelas tenemos ${\mathcal {E}}={\frac {U}{d}}$ , dónde $U$ es el voltaje aplicado. Como se asumió una ionización única $Q$ es la carga elemental $e$ Ahora podemos sustituir ( 13 ) y ( 8 ) en ( 12 ) y obtener

Poniendo esto en (5) y transformándolo en $U$ Obtenemos la ley de Paschen para la tensión de ruptura. $U_{\mathrm {breakdown} }$ que fue investigado por primera vez por Paschen en ^{[ 4 ]} y cuya fórmula fue derivada por primera vez por Townsend en ^{[ 12 ].}

con

{\textstyle L={\frac {\pi r_{I}^{2}}{k_{B}T}}}

ignición de plasma

La ignición de plasma en la definición de Townsend ( descarga de Townsend ) es una descarga autosostenida, independiente de una fuente externa de electrones libres. Esto significa que los electrones del cátodo pueden llegar al ánodo en la distancia $d$ y ionizan al menos un átomo en su camino. Entonces, según la definición de $\alpha$ Esta relación debe cumplirse:

Si $\alpha d=1$ se utiliza en lugar de ( 5 ) se obtiene para la tensión de ruptura

Conclusiones, validez

La ley de Paschen exige que:

Ya hay electrones libres en el cátodo ( $\Gamma _{e}(x=0)\neq 0$ ) que pueden acelerarse para provocar la ionización por impacto. Estos llamados electrones semilla pueden crearse mediante la ionización producida por la radiactividad natural o los rayos cósmicos.
La generación de electrones libres adicionales solo se logra mediante ionización por impacto. Por lo tanto, la ley de Paschen no es válida si existen fuentes externas de electrones. Estas pueden ser, por ejemplo, una fuente de luz que genere electrones secundarios mediante el efecto fotoeléctrico . Esto debe tenerse en cuenta en los experimentos.
Cada átomo ionizado produce un único electrón libre. Sin embargo, en la práctica siempre se producen múltiples ionizaciones.
Los iones que impactan crean electrones libres en la superficie del cátodo. El problema es que la cantidad de electrones así creados depende en gran medida del material del cátodo, su superficie ( rugosidad , impurezas) y las condiciones ambientales (temperatura, humedad , etc.). La determinación experimental y reproducible del factor $\gamma$ es, por lo tanto, casi imposible.
El campo eléctrico es homogéneo.

Efectos con diferentes gases

Los distintos gases presentan diferentes recorridos libres medios para moléculas y electrones. Esto se debe a que las distintas moléculas tienen secciones transversales de ionización, es decir, diámetros efectivos diferentes. Los gases nobles, como el helio y el argón, son monoatómicos , lo que dificulta su ionización y, por consiguiente, tienden a tener diámetros efectivos menores. Esto les confiere mayores recorridos libres medios.

Los potenciales de ionización difieren entre las moléculas, al igual que la velocidad con la que recapturan electrones tras ser expulsados de su órbita. Estos tres efectos modifican el número de colisiones necesarias para provocar un crecimiento exponencial de electrones libres. Dichos electrones libres son esenciales para la formación de un arco eléctrico.

Véase también

rigidez dieléctrica

Referencias

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Enlaces externos

Límites de ruptura eléctrica para MEMS. Archivado el 27/09/2011 en Wayback Machine.
Manual del experimentador de alto voltaje archivado el 16/10/2011 en Wayback Machine.
Calculadora de la ley de Paschen
Tensión de ruptura frente a presión. En el archivo de internet, 16/04/2023.
Ruptura eléctrica de gases a baja presión
Descargas eléctricas
Dependencia de la presión de la estructura del plasma en la ruptura dieléctrica de gas por microondas a 110 GHz.

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