Ruta (topología)

En matemáticas , un camino en un espacio topológico${\displaystyle X}$es una función continua de un intervalo cerrado en${\displaystyle X.}$

Los caminos desempeñan un papel importante en los campos de la topología y el análisis matemático . Por ejemplo, un espacio topológico para el cual existe un camino que conecta dos puntos cualesquiera se denomina espacio conexo por caminos . Cualquier espacio puede dividirse en componentes conexas por caminos . El conjunto de componentes conexas por caminos de un espacio${\displaystyle X}$a menudo se denota${\displaystyle \pi _{0}(X).}$

También se pueden definir caminos y bucles en espacios con punto central , que son importantes en la teoría de la homotopía . Si${\displaystyle X}$es un espacio topológico con punto base${\displaystyle x_{0},}$luego un camino en${\displaystyle X}$es uno cuyo punto inicial es${\displaystyle x_{0}}$. Asimismo, un bucle en${\displaystyle X}$es uno que tiene su sede en${\displaystyle x_{0}}$.

Una curva en un espacio topológico${\displaystyle X}$es una función continua${\displaystyle f:J\to X}$de un intervalo no vacío y no degenerado${\displaystyle J\subseteq \mathbb {R} .}$ Un camino en${\displaystyle X}$es una curva${\displaystyle f:[a,b]\to X}$cuyo dominio${\displaystyle [a,b]}$es un intervalo compacto no degenerado (que significa${\displaystyle a<b}$son números reales ), donde${\displaystyle f(a)}$se denomina punto inicial del camino y${\displaystyle f(b)}$se le llama su punto terminal . Un camino desde${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$es un camino cuyo punto inicial es${\displaystyle x}$y cuyo punto final es${\displaystyle y.}$ Cada intervalo compacto no degenerado${\displaystyle [a,b]}$es homeomorfo a${\displaystyle [0,1],}$Por eso, a veces, especialmente en la teoría de la homotopía, se define un camino como una función continua.${\displaystyle f:[0,1]\to X}$del intervalo unitario cerrado${\displaystyle I:=[0,1]}$en${\displaystyle X.}$

Un arco o C ⁰ -arco en${\displaystyle X}$es un camino en${\displaystyle X}$Eso también es una incrustación topológica .

Es importante destacar que un camino no es solo un subconjunto de${\displaystyle X}$que "parece" una curva , también incluye una parametrización . Por ejemplo, los mapas${\displaystyle f(x)=x}$y${\displaystyle g(x)=x^{2}}$representan dos trayectorias diferentes de 0 a 1 en la recta real.

Un bucle en un espacio${\displaystyle X}$con sede en${\displaystyle x\in X}$es un camino desde${\displaystyle x}$a${\displaystyle x.}$Un bucle puede considerarse igualmente bien como un mapa.${\displaystyle f:[0,1]\to X}$con${\displaystyle f(0)=f(1)}$o como un mapa continuo desde el círculo unitario${\displaystyle S^{1}}$a${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:S^{1}\to X.}$

Esto se debe a que${\displaystyle S^{1}}$es el espacio cociente de${\displaystyle I=[0,1]}$cuando${\displaystyle 0}$se identifica con${\displaystyle 1.}$El conjunto de todos los bucles en${\displaystyle X}$forma un espacio llamado espacio de bucle de${\displaystyle X.}$

Los caminos y los bucles son temas centrales de estudio en la rama de la topología algebraica llamada teoría de la homotopía . Una homotopía de caminos precisa la noción de deformar continuamente un camino manteniendo fijos sus extremos.

Específicamente, una homotopía de caminos, o homotopía de caminos , en${\displaystyle X}$es una familia de caminos${\displaystyle f_{t}:[0,1]\to X}$indexado por${\displaystyle I=[0,1]}$de tal manera que

• ${\displaystyle f_{t}(0)=x_{0}}$y${\displaystyle f_{t}(1)=x_{1}}$están fijos.
• el mapa${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}$dado por${\displaystyle F(s,t)=f_{t}(s)}$es continuo.

Los caminos${\displaystyle f_{0}}$y${\displaystyle f_{1}}$Se dice que los elementos conectados por una homotopía son homotópicos (o, más precisamente , homotópicos de caminos , para distinguir entre la relación definida en todas las funciones continuas entre espacios fijos). Asimismo, se puede definir una homotopía de bucles manteniendo fijo el punto base.

La relación de ser homotópico es una relación de equivalencia en caminos en un espacio topológico. La clase de equivalencia de un camino${\displaystyle f}$bajo esta relación se denomina clase de homotopía de${\displaystyle f,}$a menudo denota${\displaystyle [f].}$

Se pueden componer caminos en un espacio topológico de la siguiente manera. Supongamos que${\displaystyle f}$es un camino desde${\displaystyle x}$a${\displaystyle y}$y${\displaystyle g}$es un camino desde${\displaystyle y}$a${\displaystyle z}$El camino${\displaystyle fg}$se define como el camino obtenido al recorrer primero${\displaystyle f}$y luego atravesar${\displaystyle g}$:

${\displaystyle fg(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1.\end{cases}}}$

Claramente, la composición de rutas solo se define cuando el punto final de${\displaystyle f}$coincide con el punto inicial de${\displaystyle g.}$Si se consideran todos los bucles basados ​​en un punto${\displaystyle x_{0},}$entonces la composición de rutas es una operación binaria .

La composición de caminos, cuando se define, no es asociativa debido a la diferencia en la parametrización. Sin embargo, es asociativa hasta la homotopía de caminos. Es decir,${\displaystyle [(fg)h]=[f(gh)].}$La composición de caminos define una estructura de grupo en el conjunto de clases de homotopía de bucles basada en un punto.${\displaystyle x_{0}}$en${\displaystyle X.}$El grupo resultante se denomina grupo fundamental de${\displaystyle X}$con sede en${\displaystyle x_{0},}$generalmente denotado${\displaystyle \pi _{1}\left(X,x_{0}\right).}$

En situaciones que requieren asociatividad de composición de caminos "al pie de la letra", un camino en${\displaystyle X}$en cambio, puede definirse como un mapa continuo de un intervalo${\displaystyle [0,a]}$a${\displaystyle X}$para cualquier real${\displaystyle a\geq 0.}$(Dicho camino se llama camino de Moore ).${\displaystyle f}$de este tipo tiene una longitud${\displaystyle |f|}$definido como${\displaystyle a.}$ La composición de la ruta se define entonces como antes, con la siguiente modificación:

${\displaystyle fg(s)={\begin{cases}f(s)&0\leq s\leq |f|\\g(s-|f|)&|f|\leq s\leq |f|+|g|\end{cases}}}$

Mientras que con la definición anterior,${\displaystyle f,}$${\displaystyle g}$, y${\displaystyle fg}$todos tienen longitud${\displaystyle 1}$(la longitud del dominio del mapa), esta definición hace${\displaystyle |fg|=|f|+|g|.}$Lo que hizo que la asociatividad fallara para la definición anterior es que, aunque${\displaystyle (fg)h}$y${\displaystyle f(gh)}$tienen la misma longitud, es decir${\displaystyle 1,}$el punto medio de${\displaystyle (fg)h}$ocurrió entre${\displaystyle g}$y${\displaystyle h,}$mientras que el punto medio de${\displaystyle f(gh)}$ocurrió entre${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$Con esta definición modificada${\displaystyle (fg)h}$y${\displaystyle f(gh)}$tienen la misma longitud, es decir${\displaystyle |f|+|g|+|h|,}$y el mismo punto medio, encontrado en${\displaystyle \left(|f|+|g|+|h|\right)/2}$en ambos${\displaystyle (fg)h}$y${\displaystyle f(gh)}$; en términos más generales, tienen la misma parametrización en todas partes.

Existe una imagen categórica de caminos que a veces resulta útil. Cualquier espacio topológico${\displaystyle X}$da lugar a una categoría donde los objetos son los puntos de${\displaystyle X}$y los morfismos son las clases de homotopía de caminos. Dado que cualquier morfismo en esta categoría es un isomorfismo , esta categoría es un grupoide llamado grupoide fundamental de${\displaystyle X.}$Los bucles en esta categoría son los endomorfismos (todos los cuales son en realidad automorfismos ). El grupo de automorfismos de un punto${\displaystyle x_{0}}$en${\displaystyle X}$es simplemente el grupo fundamental con sede en${\displaystyle x_{0}}$. De manera más general, se puede definir el grupoide fundamental en cualquier subconjunto${\displaystyle A}$de${\displaystyle X,}$utilizando clases de homotopía de caminos que unen puntos de${\displaystyle A.}$Esto resulta conveniente para el teorema de Van Kampen .

• Curva §  Topología
• Espacio conectado localmente por caminos : propiedad de los espacios topológicos. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redirección. 
• Espacio de trayectorias (desambiguación)
• Espacio conectado por ruta : espacio topológico conectado. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redirección. 

• Ronald Brown , Topología y grupoides, Booksurge PLC, (2006).
• J. Peter May , Un curso conciso de topología algebraica, University of Chicago Press, (1999).
• James Munkres , Topología 2ª ed., Prentice Hall, (2000).