Matrices de Pauli

Cada una de las matrices de Pauli ( hermíticas ) tiene dos valores propios :${\displaystyle \pm 1}$Los vectores propios normalizados correspondientes son

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{x+}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}},&\psi _{x-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\\\psi _{y+}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}},&\psi _{y-}&={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}},\\\psi _{z+}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},&\psi _{z-}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$

Cada componente de${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$puede recuperarse de la matriz (ver relación de completitud a continuación) $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\operatorname {tr} {\Bigl [}{\bigl (}\ {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\ {\bigr )}\ {\boldsymbol {\sigma }}\ {\Bigr ]}={\boldsymbol {a}}}$$ Esto constituye una inversa del mapa.${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\mapsto {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$, lo que pone de manifiesto que el mapa es una biyección.

La norma viene dada por el determinante (salvo un signo negativo). $${\displaystyle \det \!{\bigl (}\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ {\bigr )}\ =\ -{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}\ =\ -\left|\ {\vec {a}}\ \right|^{2}~.}$$ Luego, considerando la acción de conjugación de un${\displaystyle \ \mathrm {SU} (2)\ }$matriz${\displaystyle U}$en este espacio de matrices,

${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\$ :=\ U\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ U^{-1}\ ,}

encontramos${\displaystyle \ \det(U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})\ =\ \det({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})\ ,}$y eso${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$es hermitiano y sin rastro. Entonces tiene sentido definir${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ =\ {\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}\ ,}$dónde${\displaystyle \ {\vec {a}}'\ }$tiene la misma norma que${\displaystyle {\vec {a}},}$y por lo tanto interpretar${\displaystyle U}$como una rotación del espacio tridimensional. De hecho, resulta que la restricción especial en${\displaystyle U}$implica que la rotación conserva la orientación. Esto permite la definición de un mapa.${\displaystyle \ R:\mathrm {SU} (2)\to \mathrm {SO} (3)\ }$dado por

${\displaystyle \ U*{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ =\ {\vec {a}}'\cdot {\vec {\sigma }}\ =:\ (R(U)\ {\vec {a}})\cdot {\vec {\sigma }}\ ,}$

dónde${\displaystyle \ R(U)\ \in \ \mathrm {SO} (3)~.}$Este mapa es la realización concreta de la doble cubierta de${\displaystyle \ \mathrm {SO} (3)\ }$por${\displaystyle \ \mathrm {SU} (2)\ ,}$y por lo tanto demuestra que${\displaystyle \ \mathrm {SU} (2)\ \cong \ \mathrm {Spin} (3)~.}$Los componentes de${\displaystyle R(U)}$se puede recuperar utilizando el proceso de rastreo anterior:

${\displaystyle \ R(U)_{ij}={\frac {1}{2}}\ \operatorname {tr} \!\left(\ \sigma _{i}U\sigma _{j}U^{-1}\ \right)~.}$

El producto cruzado viene dado por el conmutador de matrices (salvo un factor de${\displaystyle \ 2\ i\ }$) $${\displaystyle \left[\ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }},\ {\vec {b}}\cdot {\vec {\sigma }}\ \right]=2\ i\ \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)\cdot {\vec {\sigma }}~.}$$ De hecho, la existencia de una norma se deduce del hecho de que${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{3}\ }$es un álgebra de Lie (ver forma de Killing ).

Este producto vectorial puede utilizarse para demostrar la propiedad de conservación de la orientación del mapa anterior.

Los valores propios de${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$son${\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|~.}$Esto se deduce inmediatamente de la ausencia de traza y del cálculo explícito del determinante.

De forma más abstracta, sin calcular el determinante, que requiere propiedades explícitas de las matrices de Pauli, esto se deduce de${\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2}-|{\vec {a}}|^{2}=0\ ,}$ya que esto se puede factorizar en${\displaystyle \ ({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}-|{\vec {a}}|)({\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}+|{\vec {a}}|)=0~.}$Un resultado estándar en álgebra lineal (una aplicación lineal que satisface una ecuación polinómica escrita en factores lineales distintos es diagonalizable ) significa que esto implica${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$es diagonalizable con posibles valores propios${\displaystyle \ \pm |{\vec {a}}|~.}$La ausencia de rastro de${\displaystyle \ {\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\ }$significa que tiene exactamente uno de cada valor propio.

Sus autovectores normalizados son $${\displaystyle \psi _{+}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}a_{3}+\left|{\vec {a}}\right|\\a_{1}+ia_{2}\end{bmatrix}}\$$ ;\qquad \psi _{-}={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {a}}|(a_{3}+|{\vec {a}}|)}}}{\begin{bmatrix}ia_{2}-a_{1}\\a_{3}+|{\vec {a}}|\end{bmatrix}}~.} Estas expresiones se vuelven singulares para${\displaystyle \ a_{3}\to -\left|\ {\vec {a}}\ \right|~.}$Pueden ser rescatados dejando${\displaystyle {\vec {a}}=\left|\ {\vec {a}}\ \right|\left(\epsilon ,\ 0,\ -\left(1-{\tfrac {\epsilon ^{2}}{2}}\right)\right)\ }$y tomando el límite${\displaystyle \ \epsilon \to 0\ ,}$lo que produce los autovectores correctos (0,1) y (1,0) de${\displaystyle \ \sigma _{z}~.}$

Alternativamente, se pueden utilizar coordenadas esféricas.${\displaystyle \ {\vec {a}}=a\ {\bigl (}\ \sin \vartheta \ \cos \varphi ,\ \sin \vartheta \ \sin \varphi ,\ \cos \vartheta \ {\bigr )}\ }$para obtener los autovectores${\displaystyle \ \psi _{+}=\left(\ \cos {\tfrac {\vartheta }{2}},\;\sin {\tfrac {\vartheta }{2}}\ e^{+i\varphi }\ \right)\ }$y${\displaystyle \ \psi _{-}=\left(\ -\sin {\tfrac {\vartheta }{2}}\ e^{-i\varphi },\;\cos {\tfrac {\vartheta }{2}}\ \right)~.}$

El 4-vector de Pauli, utilizado en la teoría de espinores, se escribe${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ }$con componentes

${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }={\bigl (}\ I,\ {\vec {\sigma }}\ {\bigr )}~.}$

Esto define un mapa desde${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{1,3}\ }$al espacio vectorial de matrices hermíticas,

${\displaystyle \ x_{\mu }\mapsto x_{\mu }\sigma ^{\mu }\ ,}$

que también codifica la métrica de Minkowski (con convención mayoritariamente negativa ) en su determinante:

${\displaystyle \ \det {\bigl (}\ x_{\mu }\sigma ^{\mu }\ {\bigr )}=\eta (x,x)~.}$

Este 4-vector también tiene una relación de completitud. Es conveniente definir un segundo 4-vector de Pauli.

${\displaystyle \ {\bar {\sigma }}^{\mu }={\bigl (}\ I,-{\vec {\sigma }}\ {\bigr )}~.}$

y permiten elevar y abatir utilizando el tensor métrico de Minkowski. La relación se puede escribir entonces $${\displaystyle \ x_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \!{\Bigl (}\ {\bar {\sigma }}_{\nu }{\bigl (}x_{\mu }\sigma ^{\mu }{\bigr )}\ {\Bigr )}~.}$$

De forma similar al caso del vector de Pauli de 3 elementos, podemos encontrar un grupo de matrices que actúa como isometrías en${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{1,3}\$ ;} en este caso el grupo de matrices es${\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ ,}$y esto muestra${\displaystyle \ \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ \cong \ \mathrm {Spin} (1,3)~.}$De forma similar a lo anterior, esto se puede realizar explícitamente para${\displaystyle \ S\in \mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )\ }$con componentes

${\displaystyle \ \Lambda (S)^{\mu }{}_{\nu }={\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} \!\left(\ {\bar {\sigma }}_{\nu }\ S\ \sigma ^{\mu }\ S^{\dagger }\ \right)~.}$

De hecho, la propiedad determinante se deriva abstractamente de las propiedades de traza de la${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }~.}$Para${\displaystyle \ 2\times 2\ }$En matrices, se cumple la siguiente identidad:

${\displaystyle \ \det(\ A+B\ )\ =\ \det(A)\ +\ \det(B)\ +\ \operatorname {tr} (A)\ \operatorname {tr} (B)\ -\ \operatorname {tr} (\ A\ B\ )~.}$

Es decir, los "términos cruzados" se pueden escribir como trazas. Cuando${\displaystyle \ A,B\ }$son elegidos para ser diferentes${\displaystyle \ \sigma ^{\mu }\ ,}$Los términos cruzados desaparecen. A continuación, mostrando ahora la suma explícitamente, ${\textstyle \det \left(\sum _{\mu }x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right)=\sum _{\mu }\det \left(x_{\mu }\sigma ^{\mu }\right).}$Dado que las matrices son${\displaystyle \ 2\times 2\ ,}$esto es igual a${\textstyle \ \sum _{\mu }x_{\mu }^{2}\det(\sigma ^{\mu })=\eta (x,x)~.}$

Los vectores de Pauli mapean elegantemente estas relaciones de conmutación y anticonmutación a los productos vectoriales correspondientes. Al agregar el conmutador al anticonmutador se obtiene

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\sigma _{j},\sigma _{k}\right]+\{\sigma _{j},\sigma _{k}\}&=(\sigma _{j}\sigma _{k}-\sigma _{k}\sigma _{j})+(\sigma _{j}\sigma _{k}+\sigma _{k}\sigma _{j})\\2i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+2\delta _{jk}I&=2\sigma _{j}\sigma _{k}\end{aligned}}}$

de modo que,

Contrayendo cada lado de la ecuación con componentes de dos vectores de 3 dimensiones a _p y b _q (que conmutan con las matrices de Pauli, es decir, a _p σ _q = σ _q a _p ) para cada matriz σ _q y componente vectorial a _p (y de igual manera con b _q ) se obtiene

${\displaystyle ~~{\begin{aligned}a_{j}b_{k}\sigma _{j}\sigma _{k}&=a_{j}b_{k}\left(i\varepsilon _{jk\ell }\,\sigma _{\ell }+\delta _{jk}I\right)\\a_{j}\sigma _{j}b_{k}\sigma _{k}&=i\varepsilon _{jk\ell }\,a_{j}b_{k}\sigma _{\ell }+a_{j}b_{k}\delta _{jk}I\end{aligned}}~.}$

Finalmente, al traducir la notación de índices para el producto escalar y el producto vectorial se obtiene:

Si i se identifica con el pseudoescalar σ _x σ _y σ _z entonces el lado derecho se convierte en${\displaystyle \ a\cdot b+a\wedge b\ ,}$que es también la definición del producto de dos vectores en álgebra geométrica .

Si definimos el operador de espín como J = ⁠ ħ / 2 ⁠ σ , entonces J satisface la relación de conmutación:$${\displaystyle \ \mathbf {J} \times \mathbf {J} =i\ \hbar \mathbf {J} \ }$$O, equivalentemente, el vector de Pauli satisface:$${\displaystyle \ {\frac {\vec {\sigma }}{2}}\times {\frac {\vec {\sigma }}{2}}=i\ {\frac {\vec {\sigma }}{2}}~.}$$

Las siguientes trazas se pueden obtener utilizando las relaciones de conmutación y anticonmutación.

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\right)&=0\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\,\sigma _{k}\right)&=2\delta _{jk}\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\,\sigma _{k}\,\sigma _{\ell }\right)&=2i\varepsilon _{jk\ell }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{j}\,\sigma _{k}\,\sigma _{\ell }\,\sigma _{m}\right)&=2\left(\delta _{jk}\,\delta _{\ell m}-\delta _{j\ell }\,\delta _{km}+\delta _{jm}\,\delta _{k\ell }\right)\end{aligned}}~.}$

Si la matriz ${\displaystyle \sigma _{0}=\mathbb {I} }$También se considera que estas relaciones se convierten en

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\right)&=2\delta _{0\alpha }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\right)&=2\delta _{\alpha \beta }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\right)&=2\sum _{(\alpha \beta \gamma )}\delta _{\alpha \beta }\delta _{0\gamma }-4\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }+2i\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\\\operatorname {tr} \left(\sigma _{\alpha }\sigma _{\beta }\sigma _{\gamma }\sigma _{\mu }\right)&=2\left(\delta _{\alpha \beta }\delta _{\gamma \mu }-\delta _{\alpha \gamma }\delta _{\beta \mu }+\delta _{\alpha \mu }\delta _{\beta \gamma }\right)+4\left(\delta _{\alpha \gamma }\delta _{0\beta }\delta _{0\mu }+\delta _{\beta \mu }\delta _{0\alpha }\delta _{0\gamma }\right)-8\delta _{0\alpha }\delta _{0\beta }\delta _{0\gamma }\delta _{0\mu }+2i\sum _{(\alpha \beta \gamma \mu )}\varepsilon _{0\alpha \beta \gamma }\delta _{0\mu }\end{aligned}}~.}$$

donde los índices griegos${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$y${\displaystyle \mu }$asumir valores de${\displaystyle \{0,x,y,z\}}$y la notación${\textstyle \sum _{(\alpha \ldots )}}$se utiliza para denotar la suma sobre la permutación cíclica de los índices incluidos.

Para

${\displaystyle {\vec {a}}=a\ {\hat {n}},\quad \left|\ {\hat {n}}\ \right|=1\ ,}$

Para potencias pares, se tiene 2 p , p = 0, 1, 2, 3, ...

${\displaystyle \ ({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}=I\ ,}$

lo cual se puede demostrar primero para el caso p = 1 utilizando las relaciones de anticonmutación. Por conveniencia, el caso p = 0 se considera I por convención.

Para potencias impares, 2q + 1 , q = 0, 1, 2, 3, ...

${\displaystyle \ \left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)^{2q+1}={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}~.}$

Potenciación de matrices y uso de la serie de Taylor para seno y coseno ,

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ia\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)}&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\left[a\left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\right]^{k}}{k!}}\\&=\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2p}}{(2p)!}}+i\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}(a{\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\&=I\sum _{p=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{p}a^{2p}}{(2p)!}}+i({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\sum _{q=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{q}a^{2q+1}}{(2q+1)!}}\\\end{aligned}}~.}$

En la última línea, la primera suma es el coseno, mientras que la segunda suma es el seno; por lo tanto, finalmente,

que es análoga a la fórmula de Euler , extendida a cuaterniones . En particular,

${\displaystyle e^{i\ a\ \sigma _{1}}={\begin{pmatrix}\cos a&i\ \sin a\\i\ \sin a&\cos a\end{pmatrix}}\ ,\quad e^{i\ a\ \sigma _{2}}={\begin{pmatrix}\cos a&\sin a\\-\sin a&\cos a\end{pmatrix}}\ ,\quad e^{i\ a\ \sigma _{3}}={\begin{pmatrix}e^{i\ a}&0\\0&e^{-i\ a}\end{pmatrix}}~.}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle \det \!\left[\ i\ a\ \left({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\ \right]=a^{2}\ ,}$

mientras que el determinante de la exponencial en sí es solo 1 , lo que la convierte en el elemento genérico del grupo SU(2) .

Una versión más abstracta de la fórmula (2) para una matriz general de 2 × 2 se puede encontrar en el artículo sobre exponenciales de matrices . Una versión general de (2) para una función analítica (en a y −a ) se obtiene mediante la aplicación de la fórmula de Sylvester , ^{[ 3 ].}

${\displaystyle \ f(\ a({\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }})\ )\ =\ I\ {\frac {\ f(+a)+f(-a)\ }{2}}\ +\ {\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}\ {\frac {\ f(+a)-f(-a)\ }{2}}~.}$

An alternative notation that is commonly used for the Pauli matrices is to write the vector index k in the superscript, and the matrix indices as subscripts, so that the element in row α and column β of the k-th Pauli matrix is σ ^k_αβ .

In this notation, the completeness relation for the Pauli matrices can be written

${\displaystyle {\vec {\sigma }}_{\alpha \beta }\cdot {\vec {\sigma }}_{\gamma \delta }\equiv \sum _{k=1}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\ \sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\ \delta _{\alpha \delta }\ \delta _{\beta \gamma }-\delta _{\alpha \beta }\ \delta _{\gamma \delta }~.}$

As noted above, it is common to denote the 2 × 2 unit matrix by σ₀ , so σ⁰_αβ = δ_αβ . The completeness relation can alternatively be expressed as $${\displaystyle \ \sum _{k=0}^{3}\sigma _{\alpha \beta }^{k}\ \sigma _{\gamma \delta }^{k}=2\ \delta _{\alpha \delta }\ \delta _{\beta \gamma }~.}$$

The fact that any Hermitian complex 2 × 2 matrices can be expressed in terms of the identity matrix and the Pauli matrices also leads to the Bloch sphere representation of 2 × 2 mixed states’ density matrix, (positive semidefinite 2 × 2 matrices with unit trace. This can be seen by first expressing an arbitrary Hermitian matrix as a real linear combination of {σ₀, σ₁, σ₂, σ₃} as above, and then imposing the positive-semidefinite and trace1 conditions.

For a pure state, in polar coordinates, $${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \end{pmatrix}},}$$ the idempotent density matrix $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {1} +{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&e^{-i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\\e^{+i\,\phi }\sin \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\cos \left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)&\sin ^{2}\left({\frac {\,\theta \,}{2}}\right)\end{pmatrix}}}$$

acts on the state eigenvector ${\displaystyle \ {\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {\ \theta \ }{2}}\right)&e^{+i\phi }\ \sin \left({\frac {\ \theta \ }{2}}\right)\end{pmatrix}}\ }$ with eigenvalue +1, hence it acts like a projection operator.

Sea P _jk la transposición (también conocida como permutación) entre dos espines σ _j y σ _k que viven en el espacio del producto tensorial .${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{2}}$⁠ ,

${\displaystyle P_{jk}\left|\sigma _{j}\sigma _{k}\right\rangle =\left|\sigma _{k}\sigma _{j}\right\rangle .}$

Este operador también puede escribirse de forma más explícita como el operador de intercambio de espín de Dirac ,

${\displaystyle \ P_{jk}={\frac {1}{2}}\ \left({\vec {\sigma }}_{j}\cdot {\vec {\sigma }}_{k}+1\right)~.}$

Sus autovalores son, por lo tanto, ^{[ d ]} 1 o −1. Por consiguiente, puede utilizarse como un término de interacción en un hamiltoniano, dividiendo los autovalores de energía de sus autoestados simétricos y antisimétricos.

El álgebra de Lie${\displaystyle \ {\mathfrak {su}}(2)\ }$es isomorfo al álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$, que corresponde al grupo de Lie SO(3) , el grupo de rotaciones en el espacio tridimensional. En otras palabras, se puede decir que los i σ _j son una realización (y, de hecho, la realización de menor dimensión) de rotaciones infinitesimales en el espacio tridimensional. Sin embargo, aunque${\displaystyle \ {\mathfrak {su}}(2)\ }$y${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$son isomorfos como álgebras de Lie, SU(2) y SO(3) no son isomorfos como grupos de Lie. SU(2) es en realidad una doble cubierta de SO(3) , lo que significa que hay un homomorfismo de grupos de dos a uno de SU(2) ↦ SO(3) , ver relación entre SO(3) y SU(2) .

El espacio lineal real generado por { I , iσ ₁ , i σ ₂ , i σ ₃ } es isomorfo al álgebra real de cuaterniones ,${\displaystyle \mathbb {H} }$, representado por el espacio generado por los vectores base${\displaystyle \ \left\{\;\mathbf {1} ,\ \mathbf {i} ,\ \mathbf {j} ,\ \mathbf {k} \;\right\}~.}$El isomorfismo de${\displaystyle \ \mathbb {H} \ }$Este conjunto viene dado por el siguiente mapa (nótese que los signos de las matrices de Pauli están invertidos): $${\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto -\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\,\sigma _{1},\quad \mathbf {j} \mapsto -\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\,\sigma _{2},\quad \mathbf {k} \mapsto -\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\,\sigma _{3}~.}$$

Alternativamente, el isomorfismo se puede lograr mediante un mapeo que utilice las matrices de Pauli en orden inverso, ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mathbf {1} \mapsto I,\quad \mathbf {i} \mapsto i\,\sigma _{3}\,,\quad \mathbf {j} \mapsto i\,\sigma _{2}\,,\quad \mathbf {k} \mapsto i\,\sigma _{1}~.}$

Como el conjunto de versores${\displaystyle U\subset \mathbb {H} }$forma un grupo isomorfo a SU(2) , U proporciona otra forma de describir SU(2) . El homomorfismo dos a uno de SU(2) a SO(3) puede expresarse en términos de las matrices de Pauli en esta formulación.

En mecánica clásica , las matrices de Pauli son útiles en el contexto de los parámetros de Cayley-Klein. ^{[ 6 ]} La matriz${\displaystyle P}$correspondiente a la posición${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$de un punto en el espacio se define en términos de la matriz vectorial de Pauli anterior,

${\displaystyle P={\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}=x\,\sigma _{x}+y\,\sigma _{y}+z\,\sigma _{z}.}$

En consecuencia, la matriz de transformación${\displaystyle Q_{\theta }}$para rotaciones alrededor del${\displaystyle x}$-eje a través de un ángulo${\displaystyle \theta }$puede escribirse en términos de matrices de Pauli y la matriz identidad como ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \ Q_{\theta }=\mathbb {I} \,\cos {\frac {\theta }{2}}+i\ \sigma _{x}\sin {\frac {\theta }{2}}.}$

Se obtienen expresiones similares para las rotaciones vectoriales de Pauli generales, como se detalla anteriormente.

En mecánica cuántica , cada matriz de Pauli está relacionada con un operador de momento angular que corresponde a una observable que describe el espín de una partícula de espín 1/2 , en cada una de las tres direcciones espaciales. Como consecuencia inmediata de la descomposición de Cartan mencionada anteriormente, ${\displaystyle i\sigma _{j}}$son los generadores de una representación proyectiva ( representación de espín ) del grupo de rotación SO(3) que actúa sobre partículas no relativistas con espín 1/2 . Los estados de las partículas se representan como espinores de dos componentes . De la misma manera, las matrices de Pauli están relacionadas con el operador de isospín .

Una propiedad interesante de las partículas de espín 1/2 es que deben ser rotadas un ángulo de${\displaystyle 4\pi }$para volver a su configuración original. Esto se debe a la correspondencia dos a uno entre SU(2) y SO(3) mencionada anteriormente, y al hecho de que, aunque se visualiza el espín hacia arriba/abajo como el polo norte-sur en la esfera 2${\displaystyle S^{2}}$En realidad, están representados por vectores ortogonales en el espacio de Hilbert complejo bidimensional .

Para una partícula de espín 1/2 , el operador de espín viene dado por${\displaystyle {\textbf {J}}={\frac {\hslash }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}}$, la representación fundamental de SU(2) . Al tomar repetidamente productos de Kronecker de esta representación consigo misma, se pueden construir todas las representaciones irreducibles superiores. Es decir, los operadores de espín resultantes para sistemas de espín superiores en tres dimensiones espaciales, para j arbitrariamente grande , se pueden calcular utilizando este operador de espín y operadores de escalera . Se pueden encontrar en el grupo de rotación SO(3) §  Una nota sobre álgebras de Lie . La fórmula análoga a la generalización anterior de la fórmula de Euler para matrices de Pauli, el elemento de grupo en términos de matrices de espín, es manejable, pero menos simple. ^{[ 7 ]}

También útil en la mecánica cuántica de sistemas de múltiples partículas, el grupo general de Pauli.${\displaystyle G_{n}}$se define como compuesto por todos${\displaystyle n}$Productos tensoriales de orden -múltiplo de matrices de Pauli.

En mecánica cuántica relativista , los espinores en cuatro dimensiones son matrices de 4 × 1 (o 1 × 4 ) . Por lo tanto, las matrices de Pauli o las matrices Sigma que operan sobre estos espinores deben ser matrices de 4 × 4. Se definen en términos de matrices de Pauli de 2 × 2 como

${\displaystyle {\mathsf {\Sigma }}_{k}={\begin{pmatrix}{\mathsf {\sigma }}_{k}&0\\0&{\mathsf {\sigma }}_{k}\end{pmatrix}}~.}$

De esta definición se deduce que la${\displaystyle \ {\mathsf {\Sigma }}_{k}\ }$Las matrices tienen las mismas propiedades algebraicas que las matrices σ _k .

Sin embargo, el momento angular relativista no es un vector tridimensional, sino un tensor de cuatro ejes de segundo orden . Por lo tanto ,${\displaystyle \ {\mathsf {\Sigma }}_{k}\ }$debe ser reemplazado por Σ _μν , el generador de transformaciones de Lorentz en espinores . Debido a la antisimetría del momento angular, los Σ _μν también son antisimétricos. Por lo tanto, solo hay seis matrices independientes.

Los tres primeros son los${\displaystyle \ \Sigma _{k\ell }\equiv \epsilon _{jk\ell }{\mathsf {\Sigma }}_{j}~.}$Los tres restantes,${\displaystyle \ -i\ \Sigma _{0k}\equiv {\mathsf {\alpha }}_{k}\ ,}$donde las matrices α _k de Dirac se definen como

${\displaystyle \ {\mathsf {\alpha }}_{k}={\begin{pmatrix}0&{\mathsf {\sigma }}_{k}\\{\mathsf {\sigma }}_{k}&0\end{pmatrix}}~.}$

Las matrices de espín relativistas Σ _μν se escriben en forma compacta en términos del conmutador de matrices gamma como

${\displaystyle \ \Sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2}}{\bigl [}\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }{\bigr ]}~.}$

In quantum information, single-qubitquantum gates are 2 × 2 unitary matrices. The Pauli matrices are some of the most important single-qubit operations. In that context, the Cartan decomposition given above is called the "Z–Y decomposition of a single-qubit gate". Choosing a different Cartan pair gives a similar "X–Y decomposition of a single-qubit gate ".