Dominio del riesgo

La dominancia del riesgo y la dominancia de la recompensa son dos refinamientos relacionados del concepto de equilibrio de Nash (EN) en la teoría de juegos , definidos por John Harsanyi y Reinhard Selten . Un equilibrio de Nash se considera dominante en recompensa si es Pareto superior a todos los demás equilibrios de Nash en el juego. ¹ Al enfrentarse a una elección entre equilibrios, todos los jugadores estarían de acuerdo en el equilibrio dominante en recompensa, ya que ofrece a cada jugador al menos la misma recompensa que los demás equilibrios de Nash. Por el contrario, un equilibrio de Nash se considera dominante en riesgo si tiene la mayor cuenca de atracción (es decir, es menos arriesgado). Esto implica que cuanta más incertidumbre tengan los jugadores sobre las acciones del otro jugador o jugadores, más probable será que elijan la estrategia correspondiente.

La matriz de pagos de la Figura 1 proporciona un ejemplo sencillo de un juego con dos jugadores y dos estrategias, que incluye dos equilibrios de Nash puros. El par de estrategias (Caza,  Caza) es dominante en términos de pago, ya que los pagos son mayores para ambos jugadores en comparación con el otro equilibrio de Nash puro (Recolectar, Recolectar). Por otro lado, (Recolectar,  Recolectar) domina en riesgo a (Caza,  Caza), puesto que si existe incertidumbre sobre la acción del otro jugador, recolectar proporcionará un pago esperado mayor. El juego de la Figura 1 es un conocido dilema de la teoría de juegos llamado caza del ciervo . La lógica subyacente es que la acción comunal (cazar) produce un mayor retorno si todos los jugadores combinan sus habilidades, pero si se desconoce si el otro jugador ayuda en la caza, recolectar podría resultar ser la mejor estrategia individual para el aprovisionamiento de alimentos, ya que no depende de la coordinación con el otro jugador. Además, recolectar solo es preferible a recolectar en competencia con otros. Al igual que el dilema del prisionero , ofrece una razón por la cual la acción colectiva podría fracasar en ausencia de compromisos creíbles .

El juego que se muestra en la Figura 2 es un juego de coordinación si se cumplen las siguientes desigualdades de pago para el jugador 1 (filas): A > B, D > C, y para el jugador 2 (columnas): a > b, d > c. Los pares de estrategias (H,  H) y (G,  G) son entonces los únicos equilibrios de Nash puros . Además, existe un equilibrio de Nash mixto donde el jugador 1 juega H con probabilidad p = (dc)/(ab-c+d) y G con probabilidad 1–p; el jugador 2 juega H con probabilidad q = (DC)/(AB-C+D) y G con probabilidad 1–q.

La recompensa del par de estrategias (H,  H) domina a (G,  G) si A  ≥  D, a  ≥  d, y al menos una de las dos es una desigualdad estricta: A  >  D o a  >  d.

El par de estrategias (G,  G) domina en riesgo a (H,  H) si el producto de las pérdidas por desviación es mayor para (G,  G) (Harsanyi y Selten, 1988, Lema 5.4.4). En otras palabras, si se cumple la siguiente desigualdad: (C – D)(c – d)≥(B – A)(b – a) . Si la desigualdad es estricta, entonces (G,  G) domina estrictamente en riesgo a (H,  H). ² (Es decir, los jugadores tienen más incentivos para desviarse).

Si el juego es simétrico, es decir, si A  =  a, B  =  b, etc., la desigualdad permite una interpretación simple: Suponemos que los jugadores no están seguros de qué estrategia elegirá el oponente y asignan probabilidades para cada estrategia. Si cada jugador asigna probabilidades de ½ a H y G cada uno, entonces  el riesgo (G, G) domina a (H,  H) si la recompensa esperada de jugar G supera la recompensa esperada de jugar H: ½ B + ½ D ≥ ½ A + ½ C , o simplemente B + D ≥ A + C .

Otra forma de calcular el equilibrio dominante en riesgo es calcular el factor de riesgo para todos los equilibrios y encontrar el equilibrio con el factor de riesgo más pequeño. Para calcular el factor de riesgo en nuestro juego de 2x2, considere la recompensa esperada para un jugador si juega H:${\displaystyle E[\pi _ {H}]=pA+(1-p)C}$(donde p es la probabilidad de que el otro jugador juegue H), y compárela con la recompensa esperada si juega G:${\displaystyle E[\pi _ {G}]=pB+(1-p)D}$. El valor de p que hace que estos dos valores esperados sean iguales es el factor de riesgo para el equilibrio (H,  H), con${\displaystyle 1-p}$El factor de riesgo para jugar (G,  G). También puedes calcular el factor de riesgo para jugar (G,  G) realizando el mismo cálculo, pero estableciendo p como la probabilidad de que el otro jugador juegue G. Una interpretación de p es que representa la probabilidad mínima de que el oponente deba jugar esa estrategia, de modo que la ganancia propia al copiar la estrategia del oponente sea mayor que si se jugara la otra estrategia.

Diversos enfoques evolutivos han establecido que, al jugarse en una población grande, los jugadores podrían no adoptar la estrategia de equilibrio dominante en términos de recompensa y, en cambio, terminar en un equilibrio dominado por la recompensa y el riesgo. Dos modelos evolutivos distintos respaldan la idea de que el equilibrio dominante en términos de riesgo es más probable. El primer modelo, basado en la dinámica de replicación , predice que una población tiene más probabilidades de adoptar el equilibrio dominante en términos de riesgo que el equilibrio dominante en términos de recompensa. El segundo modelo, basado en la revisión y mutación de la estrategia de mejor respuesta , predice que el estado dominante en términos de riesgo es el único equilibrio estocásticamente estable . Ambos modelos asumen que se juegan múltiples juegos de dos jugadores en una población de N jugadores. Los jugadores se emparejan aleatoriamente con oponentes, y cada jugador tiene la misma probabilidad de elegir a cualquiera de los otros N − 1 jugadores. Los jugadores comienzan con una estrategia pura, G o H, y la juegan contra su oponente. En la dinámica de replicación, el juego de población se repite en generaciones secuenciales donde las subpoblaciones cambian en función del éxito de sus estrategias elegidas. En respuesta óptima, los jugadores actualizan sus estrategias para mejorar las ganancias esperadas en las generaciones subsiguientes. Kandori, Mailath y Rob (1993) y Young (1993) reconocieron que si la regla para actualizar la estrategia permite la mutación ⁴ , y la probabilidad de mutación se desvanece, es decir, tiende asintóticamente a cero con el tiempo, la probabilidad de que se alcance el equilibrio dominante en riesgo tiende a uno, incluso si está dominado por la ganancia. ³ Sin embargo, si los jugadores utilizan reglas basadas en la imitación para actualizar sus estrategias, pueden surgir perfiles dominantes en ganancia a medida que las tasas de error tienden a cero (véase, por ejemplo, Robson y Vega-Redondo 1996 o Alós-Ferrer y Weidenholzer 2008).

• ^1 Un único equilibrio de Nash es trivialmente dominante en términos de recompensa y riesgo si es el único NE en el juego.
• ^2 Existen distinciones similares entre estrictas y débiles para la mayoría de las definiciones aquí presentes, pero no se indican explícitamente a menos que sea necesario.
• ^3 Harsanyi y Selten (1988) proponen que el equilibrio dominante de pago es la elección racional en el juego de la caza del ciervo, sin embargo Harsanyi (1995) retractó esta conclusión para tomar el dominio del riesgo como criterio de selección relevante.

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• Larry Samuelson : Juegos evolutivos y selección de equilibrio , MIT Press (1997) ISBN 0-262-19382-5
• H. Peyton Young: "La evolución de las convenciones", Econometrica , 61, pp.  57–84 (1993) Resumen
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• Alós-Ferrer, Carlos y Simon Weidenholzer. "Contagio y eficiencia". Revista de Teoría Económica 143, no. 1 (2008): 251-274.