Péndulo

El péndulo de gravedad simple ^{[ 4 ]} es un modelo matemático idealizado de un péndulo. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} Consiste en un peso (o masa ) en el extremo de una cuerda sin masa suspendida de un pivote , sin fricción . Al recibir un impulso inicial, oscilará de un lado a otro con amplitud constante . Los péndulos reales están sujetos a fricción y resistencia del aire , por lo que la amplitud de sus oscilaciones disminuye.

Péndulo

Animación de un péndulo que muestra las fuerzas que actúan sobre la masa: la tensión T en la varilla y la fuerza gravitatoria mg .

Animación de un péndulo que muestra los vectores de velocidad y aceleración.

El período de un péndulo se alarga a medida que aumenta la amplitud θ ₀ (ancho de oscilación).

El período de oscilación de un péndulo simple de gravedad depende de su longitud , de la intensidad local de la gravedad y, en menor medida, del ángulo máximo _que el péndulo oscila con respecto a la vertical, θ₀ , denominado amplitud . ^{[ 8 ]} Es independiente de la masa de la masa. Si la amplitud se limita a oscilaciones pequeñas, ^{[ Nota 1 ]} el período T de un péndulo simple, el tiempo que tarda en completar un ciclo, es: ^{[ 9 ]}

dónde${\displaystyle L}$es la longitud del péndulo y${\displaystyle g}$es la aceleración local de la gravedad .

Para oscilaciones pequeñas, el período de oscilación es aproximadamente el mismo para oscilaciones de diferente tamaño; es decir, el período es independiente de la amplitud . Esta propiedad, llamada isocronismo , es la razón por la que los péndulos son tan útiles para medir el tiempo. ^{[ 10 ]} Las oscilaciones sucesivas del péndulo, incluso si cambian de amplitud, tardan la misma cantidad de tiempo.

Para amplitudes mayores , el período aumenta gradualmente con la amplitud, por lo que es más largo que el dado por la ecuación (1). Por ejemplo, con una amplitud de θ ₀ = 0,4 radianes (23°), es un 1% mayor que el dado por (1). El período aumenta asintóticamente (hasta el infinito) cuando θ ₀ se aproxima a π radianes (180°), porque el valor θ ₀ = π es un punto de equilibrio inestable para el péndulo. El período real de un péndulo de gravedad simple ideal se puede escribir de varias formas diferentes (véase péndulo (mecánica) ), un ejemplo es la serie infinita : ^{[ 11 ] [ 12 ]}$${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left[\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\left(2n\right)!}{2^{2n}\left(n!\right)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)}$$ dónde${\displaystyle \theta _{0}}$está en radianes.

La diferencia entre este período real y el período para pequeñas oscilaciones (1) mencionado anteriormente se denomina error circular . En el caso de un típico reloj de pie cuyo péndulo tiene una oscilación de 6° y, por lo tanto, una amplitud de 3° (0,05  radianes), la diferencia entre el período real y la aproximación de ángulo pequeño (1) asciende a unos 15 segundos por día.

Para oscilaciones pequeñas, el péndulo se aproxima a un oscilador armónico , y su movimiento en función del tiempo, t , es aproximadamente un movimiento armónico simple : ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\frac {2\pi }{T}}\,t+\varphi \right)}$$ dónde${\displaystyle \varphi }$es un valor constante, que depende de las condiciones iniciales .

Para péndulos reales, el período varía ligeramente con factores como la flotabilidad y la resistencia viscosa del aire, la masa de la cuerda o varilla, el tamaño y la forma de la masa y cómo está unida a la cuerda, y la flexibilidad y el estiramiento de la cuerda. ^{[ 11 ] [ 13 ]} En aplicaciones de precisión, puede ser necesario aplicar correcciones a la ecuación (1) para obtener el período con exactitud.

Un péndulo amortiguado y accionado es un sistema caótico . ^{[ 14 ] [ 15 ]}

Cualquier cuerpo rígido oscilante que puede girar libremente alrededor de un eje horizontal fijo se denomina péndulo compuesto o péndulo físico . Un péndulo compuesto tiene el mismo período que un péndulo de gravedad simple de longitud${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }}$, denominada longitud equivalente o radio de oscilación , es igual a la distancia desde el pivote hasta un punto llamado centro de oscilación . ^{[ 16 ]} Este punto se encuentra debajo del centro de masa del péndulo, a una distancia que depende de la distribución de masa del mismo. Si la mayor parte de la masa se concentra en una masa relativamente pequeña en comparación con la longitud del péndulo, el centro de oscilación se encuentra cerca del centro de masa. ^{[ 17 ]}

El radio de oscilación o longitud equivalente${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }}$Se puede demostrar que cualquier péndulo físico es $${\displaystyle \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {I_ {O}}{mr_{\mathrm {CM} }}}}$$

dónde${\displaystyle I_{O}}$es el momento de inercia del péndulo respecto al punto de pivote.${\displaystyle O}$,${\displaystyle m}$es la masa total del péndulo, y${\displaystyle r_{\mathrm {CM} }}$es la distancia entre el punto de pivote y el centro de masa . Sustituyendo esta expresión en (1) anterior, el período${\displaystyle T}$de un péndulo compuesto viene dado por $${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\mathrm {CM} }}}}}$$ para oscilaciones suficientemente pequeñas. ^{[ 18 ]}

Por ejemplo, una varilla rígida uniforme de longitud${\displaystyle \ell }$pivota sobre un extremo y tiene momento de inercia.${\textstyle I_{O}={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}$El centro de masa se encuentra en el centro de la varilla, por lo tanto${\textstyle r_{\mathrm {CM} }={\frac {1}{2}}\ell }$Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior se obtiene${\textstyle T=2\pi {\sqrt {\frac {{\frac {2}{3}}\ell }{g}}}}$Esto demuestra que un péndulo de varilla rígida tiene el mismo período que un péndulo simple de dos tercios de su longitud.

Christiaan Huygens demostró en 1673 que el punto de pivote y el centro de oscilación son intercambiables. ^{[ 19 ]} Esto significa que si se invierte un péndulo y se hace oscilar desde un pivote situado en su centro de oscilación anterior, tendrá el mismo período que antes y el nuevo centro de oscilación estará en el antiguo punto de pivote. En 1817, Henry Kater utilizó esta idea para crear un tipo de péndulo reversible, ahora conocido como péndulo de Kater , para mejorar las mediciones de la aceleración debida a la gravedad.

En física y matemáticas , en el área de sistemas dinámicos , un péndulo doble , también conocido como péndulo caótico, es un péndulo con otro péndulo unido a su extremo, formando un sistema físico simple que exhibe un comportamiento dinámico rico con una fuerte sensibilidad a las condiciones iniciales . ^{[ 20 ]} El movimiento de un péndulo doble está regido por un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas y es caótico .

El científico italiano Galileo Galilei fue el primero en estudiar las propiedades de los péndulos, comenzando alrededor de 1602. ^{[ 32 ]} El primer interés registrado en los péndulos hecho por Galileo fue alrededor de 1588 en sus notas publicadas póstumamente tituladas Sobre el movimiento , ^{[ 33 ] [ 34 ]} en las que notó que los objetos más pesados ​​continuarían oscilando durante una cantidad de tiempo mayor que los objetos más ligeros. El informe existente más antiguo de su investigación experimental está contenido en una carta a Guido Ubaldo dal Monte, de Padua, fechada el 29 de noviembre de 1602. ^{[ 35 ]} Su biógrafo y estudiante, Vincenzo Viviani , afirmó que su interés había sido despertado alrededor de 1582 por el movimiento oscilante de una lámpara de araña en la Catedral de Pisa . ^{[ 36 ] [ 37 ]} Galileo descubrió la propiedad crucial que hace que los péndulos sean útiles como cronómetros, llamada isocronismo; El período del péndulo es aproximadamente independiente de la amplitud o anchura de la oscilación. ^{[ 38 ]} También descubrió que el período es independiente de la masa de la masa y proporcional a la raíz cuadrada de la longitud del péndulo. Empleó por primera vez péndulos de oscilación libre en aplicaciones de cronometraje simples. Santorio Santori inventó en 1602 un dispositivo que medía el pulso de un paciente por la longitud de un péndulo; el pulsilogium . ^{[ 39 ]} En 1641 Galileo dictó a su hijo Vincenzo un diseño para un mecanismo para mantener un péndulo oscilando, que ha sido descrito como el primer reloj de péndulo; ^{[ 38 ]} Vincenzo comenzó la construcción, pero no la había completado cuando murió en 1649. ^{[ 40 ]}

El primer reloj de péndulo

En 1656, el científico holandés Christiaan Huygens construyó el primer reloj de péndulo . ^{[ 41 ]} Esto representó una gran mejora con respecto a los relojes mecánicos existentes; su precisión mejoró de una desviación de aproximadamente 15 minutos al día a aproximadamente 15 segundos al día. ^{[ 42 ]} Los péndulos se extendieron por Europa a medida que los relojes existentes se adaptaban para usarlos. ^{[ 43 ]}

El científico inglés Robert Hooke estudió el péndulo cónico alrededor de 1666, que consiste en un péndulo que puede oscilar libremente en dos dimensiones, con la masa girando en un círculo o una elipse. ^{[ 44 ]} Utilizó los movimientos de este dispositivo como modelo para analizar los movimientos orbitales de los planetas . ^{[ 45 ]} Hooke sugirió a Isaac Newton en 1679 que los componentes del movimiento orbital consistían en un movimiento inercial en dirección tangente más un movimiento atractivo en dirección radial. Esto influyó en la formulación de Newton de la ley de gravitación universal . ^{[ 46 ] [ 47 ]} Robert Hooke también fue responsable de sugerir ya en 1666 que el péndulo podría usarse para medir la fuerza de gravedad. ^{[ 44 ]}

Durante su expedición a Cayena , Guayana Francesa, en 1671, Jean Richer descubrió que un reloj de péndulo se retrasaba 2 + 1/2 minutos por día en Cayena que en París. De esto dedujo que la fuerza de gravedad era menor en Cayena. ^{[ 48 ] [ 49 ]} En 1687, Isaac Newton, en Principia Mathematica, demostró que esto se debía a que la Tierra no era una esfera perfecta, sino ligeramente achatada (aplanada en los polos) por el efecto de la fuerza centrífuga debida a su rotación, lo que provocaba que la gravedad aumentara con la latitud . ^{[ 50 ]} Se empezaron a llevar péndulos portátiles en viajes a tierras lejanas, como gravímetros de precisión para medir la aceleración de la gravedad en diferentes puntos de la Tierra, lo que finalmente dio lugar a modelos precisos de la forma de la Tierra . ^{[ 51 ]}

En 1673, 17 años después de inventar el reloj de péndulo, Christiaan Huygens publicó su teoría del péndulo, Horologium Oscillatorium sive de motu pendulorum . ^{[ 52 ] [ 53 ]} Marin Mersenne y René Descartes habían descubierto alrededor de 1636 que el péndulo no era del todo isócrono; su período aumentaba un poco con su amplitud. ^{[ 54 ]} Huygens analizó este problema determinando qué curva debe seguir un objeto para descender por gravedad al mismo punto en el mismo intervalo de tiempo, independientemente del punto de partida; la llamada curva tautocrónica . Mediante un método complicado que fue un uso temprano del cálculo , demostró que esta curva era una cicloide , en lugar del arco circular de un péndulo, ^{[ 55 ]} confirmando que el péndulo no era isócrono y que la observación de isocronismo de Galileo era precisa solo para pequeñas oscilaciones. ^{[ 56 ]} Huygens también resolvió el problema de cómo calcular el período de un péndulo de forma arbitraria (llamado péndulo compuesto ), descubriendo el centro de oscilación y su intercambiabilidad con el punto de pivote. ^{[ 57 ]}

El mecanismo de reloj existente, el escape de áncora , hacía que los péndulos oscilaran en arcos muy amplios de unos 100°. ^{[ 58 ]} Huygens demostró que esto era una fuente de imprecisión, ya que provocaba que el período variara con los cambios de amplitud causados ​​por pequeñas variaciones inevitables en la fuerza motriz del reloj. ^{[ 59 ]} Para que su período fuera isócrono, Huygens montó guías metálicas en forma de cicloide junto a los pivotes de sus relojes, que restringían el cordón de suspensión y obligaban al péndulo a seguir un arco cicloide (véase péndulo cicloide ). ^{[ 60 ]} Esta solución no resultó tan práctica como simplemente limitar la oscilación del péndulo a pequeños ángulos de unos pocos grados. La constatación de que solo las oscilaciones pequeñas eran isócronas motivó el desarrollo del escape de áncora alrededor de 1670, que redujo la oscilación del péndulo en los relojes a 4°–6°. ^{[ 58 ] [ 61 ]} Este se convirtió en el escape estándar utilizado en los relojes de péndulo.

Durante los siglos XVIII y XIX, el papel del reloj de péndulo como el cronómetro más preciso impulsó numerosas investigaciones prácticas para mejorar los péndulos. Se descubrió que una fuente importante de error era la dilatación y contracción de la varilla del péndulo con los cambios de temperatura ambiente, lo que modificaba el período de oscilación. ^{[ 8 ] [ 62 ]} Esto se solucionó con la invención de los péndulos con compensación de temperatura, el péndulo de mercurio en 1721 ^{[ 63 ]} y el péndulo de rejilla en 1726, reduciendo los errores en los relojes de péndulo de precisión a unos pocos segundos por semana. ^{[ 60 ]}

La precisión de las mediciones de gravedad realizadas con péndulos estaba limitada por la dificultad de encontrar la ubicación de su centro de oscilación . Huygens descubrió en 1673 que un péndulo tiene el mismo período cuando se cuelga de su centro de oscilación que cuando se cuelga de su pivote, ^{[ 19 ]} y la distancia entre los dos puntos era igual a la longitud de un péndulo de gravedad simple del mismo período. ^{[ 16 ]} En 1818, el capitán británico Henry Kater inventó el péndulo reversible de Kater ^{[ 64 ]} que utilizaba este principio, lo que permitió realizar mediciones de gravedad muy precisas. Durante el siglo siguiente, el péndulo reversible fue el método estándar para medir la aceleración gravitatoria absoluta.

En 1851, Jean Bernard Léon Foucault demostró que el plano de oscilación de un péndulo, como un giroscopio , tiende a permanecer constante independientemente del movimiento del pivote, y que esto podía utilizarse para demostrar la rotación de la Tierra . Suspendió un péndulo que oscilaba libremente en dos dimensiones (posteriormente llamado péndulo de Foucault ) de la cúpula del Panteón de París. La longitud de la cuerda era de 67 m (220 pies) . Una vez puesto en movimiento el péndulo, se observó que el plano de oscilación precesaba o giraba 360° en el sentido de las agujas del reloj en aproximadamente 32 horas. ^{[ 65 ]} Esta fue la primera demostración de la rotación de la Tierra que no dependía de observaciones celestes, ^{[ 66 ]} y se desató una «manía por el péndulo», ya que los péndulos de Foucault se exhibieron en muchas ciudades y atrajeron a grandes multitudes. ^{[ 67 ] [ 68 ]}  

Hacia 1900, se empezaron a utilizar materiales de baja dilatación térmica para las varillas de los péndulos en los relojes de máxima precisión y otros instrumentos, primero el invar , una aleación de acero al níquel, y más tarde el cuarzo fundido , lo que simplificó enormemente la compensación de temperatura. ^{[ 69 ]} Los péndulos de precisión se alojaban en tanques de baja presión, que mantenían la presión del aire constante para evitar cambios en el período debido a variaciones en la flotabilidad del péndulo causadas por cambios en la presión atmosférica . ^{[ 69 ]} Los mejores relojes de péndulo alcanzaban una precisión de alrededor de un segundo por año. ^{[ 70 ] [ 71 ]}

La precisión de medición del tiempo del péndulo fue superada por el oscilador de cristal de cuarzo , inventado en 1921, y los relojes de cuarzo , inventados en 1927, reemplazaron a los relojes de péndulo como los mejores cronómetros del mundo. ^{[ 2 ]} Los relojes de péndulo se utilizaron como patrones de tiempo hasta la Segunda Guerra Mundial, aunque el Servicio de Tiempo Francés continuó utilizándolos en su conjunto oficial de patrones de tiempo hasta 1954. ^{[ 72 ]} Los gravímetros de péndulo fueron reemplazados por gravímetros de "caída libre" en la década de 1950, ^{[ 73 ]} pero los instrumentos de péndulo continuaron utilizándose hasta la década de 1970.

Péndulo y escape de áncora de un reloj de pie

Animación del escape de áncora , uno de los escapes más utilizados en los relojes de péndulo.

Los péndulos en los relojes (ver ejemplo a la derecha) suelen estar hechos de un peso o balancín (b) suspendido por una varilla de madera o metal (a) . ^{[ 8 ] [ 76 ]} Para reducir la resistencia del aire (que representa la mayor parte de la pérdida de energía en los relojes de precisión) ^{[ 77 ]} el balancín es tradicionalmente un disco liso con una sección transversal en forma de lente, aunque en los relojes antiguos a menudo tenía tallas o decoraciones específicas del tipo de reloj. En los relojes de calidad, el balancín se hace tan pesado como la suspensión puede soportar y el movimiento puede accionar, ya que esto mejora la regulación del reloj (ver Precisión más abajo). Un peso común para los balancines de los segundos es de 15 libras (6,8 kg) . ^{[ 78 ]} En lugar de colgar de un pivote , los péndulos de los relojes suelen estar sostenidos por un resorte corto y recto (d) de cinta metálica flexible. Esto evita la fricción y el "juego" causados ​​por un pivote, y la ligera fuerza de flexión del resorte simplemente se suma a la fuerza restauradora del péndulo . Los relojes de máxima precisión tienen pivotes con forma de cuchillas que descansan sobre placas de ágata. Los impulsos para mantener el péndulo oscilando los proporciona un brazo que cuelga detrás del péndulo, llamado muleta ( e) , que termina en una horquilla ( f) cuyas puntas sujetan la varilla del péndulo. La muleta es empujada hacia adelante y hacia atrás por el escape del reloj ( g,h) . 

Cada vez que el péndulo pasa por su posición central, libera un diente de la rueda de escape (g) . La fuerza del muelle principal del reloj o de una masa motriz que cuelga de una polea, transmitida a través del tren de engranajes , hace girar la rueda, y un diente presiona contra una de las paletas (h) , impulsando brevemente el péndulo. Las ruedas del reloj, engranadas con la rueda de escape, avanzan una distancia fija con cada oscilación del péndulo, haciendo avanzar las manecillas a un ritmo constante.

El péndulo siempre tiene un mecanismo para ajustar el período, generalmente mediante una tuerca de ajuste (c) debajo de la masa oscilante que la mueve hacia arriba o hacia abajo en la varilla. ^{[ 8 ] [ 79 ]} Mover la masa oscilante hacia arriba disminuye la longitud del péndulo, lo que hace que oscile más rápido y el reloj adelante el tiempo. Algunos relojes de precisión tienen un pequeño peso de ajuste auxiliar en un eje roscado en la masa oscilante, para permitir un ajuste más fino. Algunos relojes de torre y relojes de precisión utilizan una bandeja fijada cerca del punto medio de la varilla del péndulo, a la que se pueden agregar o quitar pequeños pesos. Esto desplaza efectivamente el centro de oscilación y permite ajustar la frecuencia sin detener el reloj. ^{[ 80 ] [ 81 ]}

El péndulo debe estar suspendido de un soporte rígido. ^{[ 8 ] [ 82 ]} Durante su funcionamiento, cualquier elasticidad permitirá pequeños movimientos de oscilación imperceptibles del soporte, lo que alterará el período del reloj y provocará errores. Los relojes de péndulo deben fijarse firmemente a una pared resistente.

La longitud de péndulo más común en los relojes de calidad, que siempre se usa en los relojes de pie , es el péndulo de segundos , de aproximadamente 1 metro (39 pulgadas) de largo. En los relojes de sobremesa , se usan péndulos de medio segundo, de 25 cm (9,8 pulgadas) de largo, o más cortos. Solo algunos relojes de torre grandes usan péndulos más largos, el péndulo de 1,5 segundos, de 2,25 m (7,4 pies) de largo, o en ocasiones el péndulo de dos segundos, de 4 m (13 pies) ^{[ 8 ] [ 83 ]} que se usa en el Big Ben . ^{[ 84 ]}      

La mayor fuente de error en los primeros péndulos eran los ligeros cambios en la longitud debido a la expansión y contracción térmica de la varilla del péndulo con los cambios en la temperatura ambiente. ^{[ 85 ]} Esto se descubrió cuando la gente notó que los relojes de péndulo se retrasaban en verano, hasta un minuto por semana ^{[ 62 ] [ 86 ]} (uno de los primeros fue Godefroy Wendelin , como informó Huygens en 1658). ^{[ 87 ]} La expansión térmica de las varillas de los péndulos fue estudiada por primera vez por Jean Picard en 1669. ^{[ 88 ] [ 89 ]} Un péndulo con una varilla de acero se expandirá aproximadamente 11,3 partes por millón (ppm) con cada grado Celsius de aumento, lo que hace que pierda aproximadamente 0,27 segundos por día por cada grado Celsius de aumento de temperatura, o 9 segundos por día para un cambio de 33 °C (59 °F) . Las varillas de madera se dilatan menos, perdiendo solo unos 6 segundos al día por cada cambio de 33 °C (59 °F) , razón por la cual los relojes de calidad solían tener varillas de péndulo de madera. La madera debía barnizarse para evitar la entrada de vapor de agua, ya que los cambios de humedad también afectaban su longitud.    

péndulo de parrilla

El péndulo compensado más utilizado fue el péndulo de rejilla , inventado en 1726 por John Harrison . ^{[ 8 ] [ 86 ] [ 90 ]} Este consiste en varillas alternas de dos metales diferentes, uno con menor expansión térmica ( CTE ), acero , y otro con mayor expansión térmica, zinc o latón . Las varillas están conectadas por un marco, como se muestra en el dibujo de la derecha, de modo que un aumento en la longitud de las varillas de zinc empuja la masa hacia arriba, acortando el péndulo. Con un aumento de temperatura, las varillas de acero de baja expansión hacen que el péndulo se alargue, mientras que las varillas de zinc de alta expansión lo acortan. Al fabricar las varillas con las longitudes correctas, la mayor expansión del zinc cancela la expansión de las varillas de acero que tienen una longitud combinada mayor, y el péndulo mantiene la misma longitud con la temperatura.

Los péndulos de rejilla de acero y zinc se fabrican con 5 varillas, pero la dilatación térmica del latón es más similar a la del acero, por lo que los péndulos de rejilla de latón y acero suelen requerir 9 varillas. Los péndulos de rejilla se ajustan a los cambios de temperatura más rápidamente que los péndulos de mercurio, pero los científicos descubrieron que la fricción de las varillas al deslizarse en sus orificios en el marco provocaba que los péndulos de rejilla se ajustaran en una serie de pequeños saltos. ^{[ 90 ]} En los relojes de alta precisión, esto causaba que la marcha del reloj cambiara repentinamente con cada salto. Posteriormente se descubrió que el zinc es susceptible a la fluencia . Por estas razones, los péndulos de mercurio se utilizaban en los relojes de mayor precisión, mientras que los péndulos de rejilla se utilizaban en los relojes reguladores de calidad.

Los péndulos con rejilla llegaron a asociarse tanto con la buena calidad que, hasta el día de hoy, muchos péndulos de relojes comunes tienen rejillas decorativas "falsas" que en realidad no tienen ninguna función de compensación de temperatura.

El efecto del aire circundante sobre un péndulo en movimiento es complejo y requiere de la mecánica de fluidos para calcularlo con precisión, pero para la mayoría de los propósitos su influencia en el período se puede explicar mediante tres efectos: ^{[ 69 ] [ 94 ]}

• Según el principio de Arquímedes, el peso efectivo del péndulo disminuye debido a la flotabilidad del aire que desplaza, mientras que la masa ( inercia ) permanece constante, lo que reduce la aceleración del péndulo durante su oscilación y aumenta su período. Esto depende de la presión del aire y de la densidad del péndulo, pero no de su forma.
• El péndulo arrastra consigo una cantidad de aire al oscilar, y la masa de este aire aumenta su inercia, reduciendo así la aceleración y aumentando el período. Esto depende tanto de su densidad como de su forma.
• La resistencia del aire, debido a su viscosidad , reduce la velocidad del péndulo. Esto tiene un efecto insignificante en el periodo, pero disipa energía, disminuyendo la amplitud. Esto reduce el factor Q del péndulo , lo que exige una mayor fuerza motriz del mecanismo del reloj para mantenerlo en movimiento, provocando una mayor perturbación en el periodo.

Los aumentos en la presión barométrica incrementan ligeramente el período de un péndulo debido a los dos primeros efectos, en aproximadamente 0,11 segundos por día por kilopascal (0,37 segundos por día por pulgada de mercurio ; 0,015 segundos por día por torr ) . ^{[ 69 ]} Los investigadores que utilizaban péndulos para medir la aceleración de la gravedad debían corregir el período según la presión atmosférica a la altitud de medición, calculando el período equivalente de un péndulo oscilando en el vacío. Friedrich Tiede operó por primera vez un reloj de péndulo en un tanque de presión constante en 1865 en el Observatorio de Berlín , ^{[ 95 ] [ 96 ]} y para 1900 los relojes de mayor precisión se montaban en tanques que se mantenían a presión constante para eliminar los cambios en la presión atmosférica. Alternativamente, en algunos casos, un pequeño mecanismo barométrico aneroide acoplado al péndulo compensaba este efecto.

Los péndulos se ven afectados por los cambios en la aceleración gravitatoria, que varía hasta un 0,5 % en diferentes lugares de la Tierra, por lo que los relojes de péndulo de precisión deben recalibrarse después de un traslado. Incluso mover un reloj de péndulo a la cima de un edificio alto puede provocar que pierda una precisión considerable debido a la disminución de la gravedad.

La medida de la resistencia de un oscilador armónico a las perturbaciones en su período de oscilación es un parámetro adimensional llamado factor Q , igual a la frecuencia de resonancia dividida por el ancho de resonancia . ^{[ 98 ] [ 99 ]} Cuanto mayor sea Q , menor será el ancho de resonancia y más constante será la frecuencia o el período del oscilador para una perturbación dada. ^{[ 100 ]} El recíproco de Q es aproximadamente proporcional a la precisión límite que puede alcanzar un oscilador armónico como patrón de tiempo. ^{[ 101 ]}

El factor Q está relacionado con el tiempo que tardan las oscilaciones de un oscilador en desvanecerse. El factor Q de un péndulo se puede medir contando el número de oscilaciones que tarda la amplitud del movimiento del péndulo en disminuir a 1/ e = 36,8% de su movimiento inicial, y multiplicando por π .

En un reloj, el péndulo debe recibir impulsos del mecanismo para mantenerse oscilando y compensar la energía que pierde por fricción. Estos impulsos, aplicados por un mecanismo llamado escape , son la principal fuente de perturbación en el movimiento del péndulo. El factor Q es igual a 2π veces la energía almacenada en el péndulo, dividida por la energía perdida por fricción durante cada período de oscilación, que es igual a la energía añadida por el escape en cada período. Se observa que cuanto menor sea la fracción de la energía del péndulo que se pierde por fricción, menor será la energía que se necesita añadir, menor será la perturbación del escape, más independiente será el péndulo del mecanismo del reloj y más constante será su período. El factor Q de un péndulo viene dado por: $${\displaystyle Q={\frac {M\omega }{\Gamma }}}$$ donde M es la masa del péndulo, ω = 2 π / T es la frecuencia angular de oscilación del péndulo y Γ es la fuerza de amortiguación por fricción sobre el péndulo por unidad de velocidad.

ω está determinado por el período del péndulo, y M está limitado por la capacidad de carga y la rigidez de la suspensión. Por lo tanto, el factor Q de los péndulos de reloj aumenta al minimizar las pérdidas por fricción (Γ). Los péndulos de precisión se suspenden sobre pivotes de baja fricción que consisten en bordes triangulares en forma de cuchilla que descansan sobre placas de ágata. Alrededor del 99 % de la pérdida de energía en un péndulo oscilante libre se debe a la fricción del aire, por lo que montar un péndulo en un tanque de vacío puede aumentar el factor Q y, por lo tanto, la precisión, en un factor de 100. ^{[ 102 ]}

El factor Q de los péndulos varía desde varios miles en un reloj común hasta varios cientos de miles para péndulos reguladores de precisión que oscilan en el vacío. ^{[ 103 ]} Un reloj de péndulo doméstico de calidad podría tener un Q de 10 000 y una precisión de 10 segundos por mes. El reloj de péndulo producido comercialmente más preciso fue el reloj de péndulo libre Shortt-Synchronome , inventado en 1921. ^{[ 2 ] [ 70 ] [ 104 ] [ 105 ] [ 106 ]} Su péndulo maestro de Invar que oscilaba en un tanque de vacío tenía un Q de 110 000 ^{[ 103 ]} y una tasa de error de alrededor de un segundo por año. ^{[ 70 ]}

Su Q de 10³ ^– 10⁵ ^es una de las razones por las que los péndulos son cronometradores más precisos que los volantes de los relojes, con un Q de alrededor de 100–300, pero menos precisos que los cristales de cuarzo de los relojes de cuarzo , con un Q de ^10⁵ – ^10⁶ . ^{[ 2 ] [ 103 ]}

Los péndulos (a diferencia, por ejemplo, de los cristales de cuarzo) tienen un factor Q lo suficientemente bajo como para que la perturbación causada por los impulsos que los mantienen en movimiento sea generalmente el factor limitante de su precisión horaria. Por lo tanto, el diseño del escape , el mecanismo que proporciona estos impulsos, influye considerablemente en la precisión de un péndulo de reloj. Si los impulsos que el escape da al péndulo en cada oscilación fueran exactamente idénticos, la respuesta del péndulo sería idéntica y su período sería constante. Sin embargo, esto no es posible; las inevitables fluctuaciones aleatorias en la fuerza debidas a la fricción de las paletas del reloj, las variaciones en la lubricación y los cambios en el par motor proporcionado por la fuente de alimentación del reloj a medida que se agota, hacen que la fuerza del impulso aplicado por el escape varíe.

Si estas variaciones en la fuerza del escape provocan cambios en la amplitud del péndulo, esto causará ligeras variaciones correspondientes en el período, ya que (como se explicó anteriormente) un péndulo con una amplitud finita no es completamente isócrono. Por lo tanto, el objetivo del diseño tradicional de escapes es aplicar la fuerza con el perfil adecuado y en el punto correcto del ciclo del péndulo, de modo que las variaciones de fuerza no afecten la amplitud del péndulo. Esto se denomina escape isócrono .

Los relojeros sabían desde hacía siglos que el efecto perturbador de la fuerza motriz del escape sobre el período de un péndulo es mínimo si se aplica como un impulso breve cuando el péndulo pasa por su posición de equilibrio inferior . ^{[ 2 ]} Si el impulso se produce antes de que el péndulo llegue al fondo, durante el descenso, acortará su período natural, por lo que un aumento de la fuerza motriz lo disminuirá. Si el impulso se produce después de que el péndulo llegue al fondo, durante el ascenso, lo alargará, por lo que un aumento de la fuerza motriz lo incrementará. En 1826, el astrónomo británico George Airy lo demostró; concretamente, demostró que si un péndulo es impulsado por un impulso simétrico respecto a su posición de equilibrio inferior, su período no se verá afectado por los cambios en la fuerza motriz. ^{[ 107 ]} Los escapes más precisos, como el de áncora muerta , cumplen aproximadamente esta condición. ^{[ 108 ]}

El péndulo de segundos , un péndulo con un período de dos segundos, de modo que cada oscilación dura un segundo, se utilizaba ampliamente para medir la gravedad, ya que su período se podía medir fácilmente comparándolo con relojes reguladores de precisión , que también contaban con péndulos de segundos. A finales del siglo XVII, la longitud del péndulo de segundos se convirtió en la medida estándar de la magnitud de la aceleración gravitatoria en un lugar determinado. Hacia 1700, su longitud se había medido con precisión submilimétrica en varias ciudades de Europa. Para un péndulo de segundos, g es proporcional a su longitud. $${\displaystyle g\propto L.}$$

• 1620 : El científico británico Francis Bacon fue uno de los primeros en proponer el uso de un péndulo para medir la gravedad, sugiriendo llevar uno a una montaña para ver si la gravedad varía con la altitud. ^{[ 110 ]}
• 1644 : Incluso antes de la invención del reloj de péndulo, el sacerdote francés Marin Mersenne determinó por primera vez que la longitud del péndulo de los segundos era de 990 mm (39,1 pulgadas ) , comparando la oscilación de un péndulo con el tiempo que tardaba un peso en caer una distancia determinada. También fue el primero en descubrir la relación entre el período y la amplitud de la oscilación. 
• 1669 : Jean Picard determinó la longitud del péndulo de segundos en París, utilizando una bola de cobre de 1 pulgada (25 mm) suspendida por una fibra de aloe, obteniendo 39,09 pulgadas (993 mm) . ^{[ 111 ]} También realizó los primeros experimentos sobre la expansión y contracción térmica de varillas de péndulo con la temperatura.  
• 1672 : La primera observación de que la gravedad variaba en diferentes puntos de la Tierra la hizo Jean Richer , quien llevó un reloj de péndulo a Cayena , Guayana Francesa , y descubrió que perdía 2 + 1 1/2 minutos por día; su péndulo de segundos tuvo que acortarse 1 + 1/4 líneas (2,6 mm ) más corto que en París, para mantener la hora correcta. ^{[ 112 ] [ 113 ]} En 1687, Isaac Newton en Principia Mathematica demostró que esto se debía a que la Tierra tenía una forma ligeramente achatada (aplanada en los polos) causada por la fuerza centrífuga de su rotación. En latitudes más altas, la superficie estaba más cerca del centro de la Tierra, por lo que la gravedad aumentaba con la latitud. ^{[ 113 ]} A partir de entonces, se comenzaron a llevar péndulos a tierras lejanas para medir la gravedad, y se compilaron tablas de la longitud del péndulo de segundos en diferentes lugares de la Tierra. En 1743, Alexis Claude Clairaut creó el primer modelo hidrostático de la Tierra, el teorema de Clairaut , ^{[ 111 ]} que permitió calcular la elipticidad de la Tierra a partir de mediciones de gravedad. Posteriormente, se desarrollaron modelos cada vez más precisos de la forma de la Tierra. 
• 1687 : Newton experimentó con péndulos (descritos en Principia ) y descubrió que los péndulos de igual longitud con masas de diferentes materiales tenían el mismo período, demostrando que la fuerza gravitatoria sobre diferentes sustancias era exactamente proporcional a su masa (inercia). Este principio, llamado principio de equivalencia , confirmado con mayor precisión en experimentos posteriores, se convirtió en la base sobre la que Albert Einstein fundamentó su teoría general de la relatividad .

• 1737 : El matemático francés Pierre Bouguer realizó una serie de observaciones con péndulos en la cordillera de los Andes , Perú. ^{[ 114 ]} Utilizó una masa de cobre para péndulo con forma de cono de doble punta, suspendida por un hilo; la masa podía invertirse para eliminar los efectos de la densidad no uniforme. Calculó la longitud hasta el centro de oscilación del hilo y la masa combinados, en lugar de usar el centro de la masa. Corrigió la dilatación térmica de la varilla de medición y la presión barométrica, obteniendo así sus resultados para un péndulo oscilando en el vacío. Bouguer hizo oscilar el mismo péndulo a tres altitudes diferentes, desde el nivel del mar hasta la cima del altiplano peruano . La gravedad debería disminuir con el inverso del cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. Bouguer descubrió que disminuía más lentamente y atribuyó correctamente la gravedad "adicional" al campo gravitatorio de la enorme meseta peruana. A partir de la densidad de las muestras de roca, calculó una estimación del efecto del altiplano sobre el péndulo y, comparándola con la gravedad de la Tierra, pudo realizar la primera estimación aproximada de la densidad de la Tierra .
• 1747 : Daniel Bernoulli demostró cómo corregir el alargamiento del período debido a un ángulo de oscilación finito θ₀ utilizando la corrección de primer orden _θ₀² / ^{16 , lo que da como} _resultado el período de un péndulo con una oscilación extremadamente pequeña. ^{[ 114 ]}
• 1792 : Para definir un estándar de longitud de péndulo para su uso con el nuevo sistema métrico , en 1792 Jean-Charles de Borda y Jean-Dominique Cassini realizaron una medición precisa del péndulo de segundos en París. Utilizaron una bola de platino de 1 ½ pulgadas (14 mm ) suspendida por un alambre de hierro de 12 pies (3,7 m) . Su principal innovación fue una técnica llamada " método de coincidencias ", que permitía comparar el período de los péndulos con gran precisión. (Bouguer también había utilizado este método). Se cronometró el intervalo de tiempo Δt entre los instantes recurrentes en que los dos péndulos oscilaban en sincronismo. A partir de esto _, se pudo calcular la diferencia entre los períodos de los péndulos, T1 y T2 _.  $${\displaystyle {\frac {1}{\Delta t}}={\frac {1}{T_{1}}}-{\frac {1}{T_{2}}}}$$
• 1821 : Francesco Carlini realizó observaciones con péndulo en la cima del Monte Cenis, Italia, a partir de las cuales, utilizando métodos similares a los de Bouguer, calculó la densidad de la Tierra. ^{[ 115 ]} Comparó sus mediciones con una estimación de la gravedad en su ubicación, suponiendo que la montaña no estuviera allí, calculada a partir de mediciones previas con péndulo cercanas a nivel del mar. Sus mediciones mostraron una gravedad "excesiva", que atribuyó al efecto de la montaña. Modelando la montaña como un segmento de una esfera de 11 millas (18 km) de diámetro y 1 milla (1,6 km) de altura, a partir de muestras de roca calculó su campo gravitatorio y estimó la densidad de la Tierra en 4,39 veces la del agua. Recálculos posteriores realizados por otros dieron valores de 4,77 y 4,95, lo que ilustra las incertidumbres de estos métodos geográficos.  

La precisión de las primeras mediciones de gravedad mencionadas anteriormente estaba limitada por la dificultad de medir la longitud del péndulo, L. L era la longitud de un péndulo de gravedad simple idealizado (descrito en la parte superior), cuya masa se concentra en un punto al final de la cuerda. En 1673, Huygens demostró que el período de un péndulo de barra rígida (llamado péndulo compuesto ) era igual al período de un péndulo simple con una longitud igual a la distancia entre el punto de pivote y un punto llamado centro de oscilación , ubicado debajo del centro de gravedad , que depende de la distribución de masa a lo largo del péndulo. Sin embargo, no existía una forma precisa de determinar el centro de oscilación en un péndulo real. El descubrimiento de Huygens se conoce a veces como la ley de Huygens del péndulo (cicloidal) . ^{[ 116 ]}

Para sortear este problema, los primeros investigadores mencionados anteriormente aproximaron el péndulo simple ideal lo mejor posible utilizando una esfera metálica suspendida por un hilo o cuerda ligera. Si el hilo era lo suficientemente ligero, el centro de oscilación se situaba cerca del centro de gravedad de la esfera, en su centro geométrico. Este tipo de péndulo de "esfera e hilo" no era muy preciso, ya que no oscilaba como un cuerpo rígido y la elasticidad del hilo provocaba que su longitud variara ligeramente durante la oscilación.

Sin embargo, Huygens también había demostrado que en cualquier péndulo, el punto de pivote y el centro de oscilación eran intercambiables. ^{[ 19 ]} Es decir, si un péndulo se volteaba y se colgaba de su centro de oscilación, tendría el mismo período que en la posición anterior, y el antiguo punto de pivote sería el nuevo centro de oscilación.

El físico británico y capitán del ejército Henry Kater se dio cuenta en 1817 de que el principio de Huygens podía utilizarse para hallar la longitud de un péndulo simple con el mismo período que un péndulo real. ^{[ 64 ]} Si se construía un péndulo con un segundo punto de pivote ajustable cerca de la parte inferior para poder colgarlo boca abajo, y se ajustaba el segundo pivote hasta que los períodos cuando se colgaba de ambos pivotes fueran iguales, el segundo pivote estaría en el centro de oscilación, y la distancia entre los dos pivotes sería la longitud L de un péndulo simple con el mismo período.

Kater construyó un péndulo reversible ( véase el dibujo ) que consistía en una barra de latón con dos pivotes opuestos formados por cortas cuchillas triangulares (a) cerca de cada extremo. Podía oscilar desde cualquiera de los pivotes, con las cuchillas apoyadas sobre placas de ágata. En lugar de hacer ajustable un solo pivote, los colocó a un metro de distancia y ajustó los periodos con un peso móvil en la varilla del péndulo (b,c) . Para su funcionamiento, el péndulo se cuelga frente a un reloj de precisión y se mide su periodo; luego se gira y se vuelve a medir. El peso se ajusta con el tornillo de ajuste hasta que los periodos sean iguales. Al sustituir este periodo y la distancia entre los pivotes en la ecuación (1), se obtiene la aceleración gravitatoria g con gran precisión.

Kater cronometró la oscilación de su péndulo utilizando el " método de coincidencias " y midió la distancia entre los dos pivotes con un micrómetro. Después de aplicar correcciones para la amplitud finita de la oscilación, la flotabilidad de la masa, la presión barométrica y la altitud, y la temperatura, obtuvo un valor de 39,13929  pulgadas para el péndulo de segundos en Londres, en el vacío, a nivel del mar, a 62  °F. La mayor variación con respecto a la media de sus 12 observaciones fue de 0,00028 in. ^{[ 117 ]} lo que representa una precisión de medición de gravedad de 7×10 ⁻⁶ (7 mGal o 70 μm/s ² ). La medición de Kater se utilizó como patrón oficial de longitud de Gran Bretaña (véase más abajo ) desde 1824 hasta 1855.

Los péndulos reversibles (conocidos técnicamente como péndulos "convertibles") que emplean el principio de Kater se utilizaron para mediciones absolutas de gravedad hasta la década de 1930.

La mayor precisión que posibilitó el péndulo de Kater contribuyó a que la gravimetría se convirtiera en una parte fundamental de la geodesia . Dado que era necesaria la ubicación exacta (latitud y longitud) de la "estación" donde se realizaba la medición de la gravedad, estas mediciones se incorporaron a la topografía , y se utilizaron péndulos en los grandes levantamientos geodésicos del siglo XVIII, en particular en el Gran Levantamiento Trigonométrico de la India.

• Péndulos invariables: Kater introdujo la idea de mediciones de gravedad relativas para complementar las mediciones absolutas realizadas con un péndulo de Kater. ^{[ 118 ]} Comparar la gravedad en dos puntos diferentes era un proceso más sencillo que medirla de forma absoluta mediante el método de Kater. Bastaba con cronometrar el período de un péndulo ordinario (de un solo pivote) en el primer punto, luego transportarlo al otro punto y cronometrar su período allí. Dado que la longitud del péndulo era constante, a partir de (1) la razón de las aceleraciones gravitatorias era igual al inverso de la razón de los períodos al cuadrado, y no se requerían mediciones de longitud precisas. Así, una vez que la gravedad se había medido de forma absoluta en una estación central, mediante el método de Kater u otro método preciso, la gravedad en otros puntos podía determinarse haciendo oscilar péndulos en la estación central y luego llevándolos a la otra ubicación y cronometrando su oscilación allí. Kater fabricó un conjunto de péndulos "invariables", con un único pivote de filo de cuchillo, que fueron llevados a muchos países después de haber sido probados por primera vez en una estación central en el Observatorio de Kew , en el Reino Unido.
• Experimentos de Airy en la mina de carbón : A partir de 1826, utilizando métodos similares a los de Bouguer, el astrónomo británico George Airy intentó determinar la densidad de la Tierra mediante mediciones de gravedad con péndulos en la parte superior e inferior de una mina de carbón. ^{[ 119 ] [ 120 ]} La fuerza gravitatoria bajo la superficie de la Tierra disminuye en lugar de aumentar con la profundidad, porque según la ley de Gauss la masa de la capa esférica de la corteza sobre el punto subsuperficial no contribuye a la gravedad. El experimento de 1826 fue abortado por la inundación de la mina, pero en 1854 realizó un experimento mejorado en la mina de carbón de Harton, utilizando péndulos de segundos que oscilaban sobre placas de ágata, cronometrados por cronómetros de precisión sincronizados por un circuito eléctrico. Descubrió que el péndulo inferior era 2,24 segundos más lento por día. Esto significaba que la aceleración gravitatoria en el fondo de la mina, a 1250  pies bajo la superficie, era 1/14 000 menor de lo que debería haber sido según la ley del inverso del cuadrado; es decir, la atracción de la capa esférica era 1/14 000 de la atracción de la Tierra. A partir de muestras de roca superficial, estimó la masa de la capa esférica de la corteza y, a partir de esto, estimó que la densidad de la Tierra era 6,565 veces la del agua. Von Sterneck intentó repetir el experimento en 1882, pero obtuvo resultados inconsistentes.

• Péndulo de Repsold-Bessel: Era laborioso y propenso a errores hacer oscilar repetidamente el péndulo de Kater y ajustar los pesos hasta que los periodos fueran iguales. Friedrich Bessel demostró en 1835 que esto era innecesario. ^{[ 121 ]} Siempre que los periodos fueran similares, la gravedad podía calcularse a partir de los dos periodos y el centro de gravedad del péndulo. ^{[ 122 ]} Por lo tanto, el péndulo reversible no necesitaba ser ajustable; podía ser simplemente una barra con dos pivotes. Bessel también demostró que si el péndulo era simétrico respecto a su centro, pero con un peso interno en un extremo, los errores debidos a la resistencia del aire se cancelarían. Además, otro error debido al diámetro finito de los filos de las cuchillas podía cancelarse si se intercambiaban entre mediciones. Bessel no construyó un péndulo de este tipo, pero en 1864 Adolf Repsold, bajo contrato con la Comisión Geodésica Suiza, construyó un péndulo similar. El péndulo de Repsold medía unos 56  cm de largo y tenía un período de aproximadamente 3/4 de segundo. Fue ampliamente utilizado por agencias geodésicas europeas y, junto con el péndulo de Kater , en el Servicio Geodésico de la India. Charles Pierce y C. Defforges diseñaron péndulos similares.

• Gravímetros de Von Sterneck y Mendenhall: En 1887, el científico austrohúngaro Robert von Sterneck desarrolló un pequeño péndulo gravímetro montado en un tanque de vacío con temperatura controlada para eliminar los efectos de la temperatura y la presión atmosférica. Utilizaba un péndulo de medio segundo, con un período cercano a un segundo y unos 25  cm de longitud. El péndulo era irreversible, por lo que el instrumento se utilizaba para mediciones de gravedad relativa, pero su pequeño tamaño lo hacía pequeño y portátil. El período del péndulo se determinaba reflejando la imagen de una chispa eléctrica creada por un cronómetro de precisión en un espejo montado en la parte superior de la varilla del péndulo. El instrumento de Von Sterneck, y un instrumento similar desarrollado por Thomas C. Mendenhall del Servicio Geodésico y Costero de los Estados Unidos en 1890, ^{[ 123 ]} se utilizaron ampliamente para levantamientos topográficos hasta la década de 1920.

El péndulo de Mendenhall era en realidad un cronómetro más preciso que los relojes de mayor precisión de la época, y como el "mejor reloj del mundo" fue utilizado por Albert A. Michelson en sus mediciones de la velocidad de la luz en el monte Wilson, California, en 1924. ^{[ 123 ]}

• Gravímetros de péndulo doble: A partir de 1875, la creciente precisión de las mediciones de péndulo reveló otra fuente de error en los instrumentos existentes: el movimiento del péndulo causaba una ligera oscilación del trípode utilizado para sostener los péndulos portátiles, introduciendo un error. En 1875, Charles S. Peirce calculó que las mediciones de la longitud del péndulo de segundos realizadas con el instrumento Repsold requerían una corrección de 0,2  mm debido a este error. ^{[ 124 ]} En 1880, C. Defforges utilizó un interferómetro de Michelson para medir la oscilación del soporte dinámicamente, y se añadieron interferómetros al aparato estándar de Mendenhall para calcular las correcciones de oscilación. ^{[ 125 ]} Un método para prevenir este error fue sugerido por primera vez en 1877 por Hervé Faye y defendido por Peirce, Cellérier y Furtwangler: montar dos péndulos idénticos en el mismo soporte, oscilando con la misma amplitud, desfasados ​​180°. El movimiento opuesto de los péndulos anularía cualquier fuerza lateral sobre el soporte. La idea fue rechazada debido a su complejidad, pero a principios del siglo XX, el dispositivo de Von Sterneck y otros instrumentos fueron modificados para hacer oscilar varios péndulos simultáneamente.

• Gravímetro Gulf : Uno de los últimos y más precisos gravímetros de péndulo fue el aparato desarrollado en 1929 por Gulf Research and Development Co. ^{[ 126 ] [ 127 ]} Utilizaba dos péndulos de cuarzo fundido , cada uno de 270 mm (10,7 pulgadas ) de longitud con un período de 0,89 segundos, que oscilaban sobre pivotes de filo de cuchilla de Pyrex, desfasados ​​180°. Estaban montados en una cámara de vacío sellada permanentemente con temperatura y humedad controladas. Las cargas electrostáticas parásitas en los péndulos de cuarzo debían descargarse exponiéndolos a una sal radiactiva antes de su uso. El período se detectaba reflejando un haz de luz desde un espejo en la parte superior del péndulo, registrado por un registrador gráfico y comparado con un oscilador de cristal de precisión calibrado con la señal horaria de radio WWV . Este instrumento tenía una precisión de (0,3–0,5)×10 ⁻⁷ (30–50 microgals o 3–5 nm/s ² ). ^{[ 126 ]} Se utilizó hasta la década de 1960.  

Los gravímetros de péndulo relativos fueron reemplazados por el gravímetro de resorte de longitud cero de LaCoste, más simple, inventado en 1934 por Lucien LaCoste . ^{[ 123 ]} Los gravímetros de péndulo absolutos (reversibles) fueron reemplazados en la década de 1950 por gravímetros de caída libre, en los que se deja caer un peso en un tanque de vacío y su aceleración se mide mediante un interferómetro óptico . ^{[ 73 ]}

Uno de los primeros en sugerir definir la longitud con un péndulo fue el científico flamenco Isaac Beeckman ^{[ 130 ]} quien en 1631 recomendó hacer del péndulo de segundos "la medida invariable para todas las personas en todo momento y en todo lugar". ^{[ 131 ]} Marin Mersenne , quien midió por primera vez el péndulo de segundos en 1644, también lo sugirió. La primera propuesta oficial para un estándar de péndulo fue hecha por la Real Sociedad Británica en 1660, defendida por Christiaan Huygens y Ole Rømer , basándose en el trabajo de Mersenne, ^{[ 132 ]} y Huygens en Horologium Oscillatorium propuso un "pie horario" definido como 1/3 del péndulo de segundos. Christopher Wren fue otro de los primeros partidarios. La idea de un estándar de longitud de péndulo debió haber sido familiar para la gente ya en 1663, porque Samuel Butler la satiriza en Hudibras : ^{[ 133 ]}

En el banco los manejaré así

Que la vibración de este péndulo

Hará que todas las yardas de los sastres sean de una sola.

Opinión unánime

En 1671, Jean Picard propuso un «pie universal» definido por el péndulo en su influyente Mesure de la Terre . ^{[ 134 ]} Alrededor de 1670, Gabriel Mouton sugirió definir la toise ya sea por un péndulo de segundos o por un minuto de grado terrestre. En 1675, el polímata italiano Tito Livio Burratini presentó un plan para un sistema completo de unidades basado en el péndulo. En Francia, en 1747, el geógrafo Charles Marie de la Condamine propuso definir la longitud por un péndulo de segundos en el ecuador; ya que en esta ubicación el movimiento de un péndulo no se vería distorsionado por la rotación de la Tierra. James Steuart (1780) y George Skene Keith también fueron partidarios.

A finales del siglo XVIII, cuando muchas naciones estaban reformando sus sistemas de peso y medida , el péndulo de segundos era la opción principal para una nueva definición de longitud, defendida por científicos prominentes en varias naciones importantes. En 1790, el entonces secretario de Estado de los Estados Unidos, Thomas Jefferson, propuso al Congreso un sistema métrico estadounidense decimalizado integral basado en el péndulo de segundos a 38° de latitud norte, la latitud media de los Estados Unidos. ^{[ 135 ]} Esta propuesta no fue tomada en cuenta. En Gran Bretaña, el principal defensor del péndulo fue el político John Riggs Miller . ^{[ 136 ]} Cuando sus esfuerzos por promover un sistema métrico conjunto británico-francés-estadounidense fracasaron en 1790, propuso un sistema británico basado en la longitud del péndulo de segundos en Londres. Este estándar fue adoptado en 1824 (abajo).

En los debates previos a la adopción del sistema métrico por Francia en 1791, la principal candidata para definir la nueva unidad de longitud, el metro , era el péndulo de segundos a 45° de latitud norte. Esta opción fue defendida por un grupo liderado por el político francés Talleyrand y el matemático Antoine Nicolas Caritat de Condorcet . Esta fue una de las tres opciones finales consideradas por el comité de la Academia Francesa de Ciencias . Sin embargo, el 19 de marzo de 1791, el comité optó por basar el metro en la longitud del meridiano que pasa por París. Se rechazó la definición basada en el péndulo debido a su variabilidad en diferentes lugares y porque definía la longitud en función de una unidad de tiempo. (No obstante, desde 1983 el metro se define oficialmente en términos de la duración del segundo y la velocidad de la luz). Otra posible razón es que la Academia Francesa, de tendencia radical, no quería basar su nuevo sistema en el segundo, una unidad tradicional y no decimal del Antiguo Régimen .

Aunque no se definió mediante el péndulo, la longitud final elegida para el metro, 10⁻⁷ ^del arco meridiano polo-ecuador , era muy cercana a la longitud del péndulo de segundos (0,9937 m), con una diferencia de tan solo el 0,63 %. Si bien en su momento no se dio ninguna razón para esta elección en particular, probablemente se debió a la necesidad de facilitar el uso del péndulo de segundos como patrón secundario, tal como se proponía en el documento oficial. Por lo tanto, la unidad estándar de longitud del mundo moderno está sin duda estrechamente vinculada históricamente al péndulo de segundos.

Gran Bretaña y Dinamarca parecen ser las únicas naciones que (durante un breve tiempo) basaron sus unidades de longitud en el péndulo. En 1821, la pulgada danesa se definió como 1/38 de la longitud del péndulo de segundos solares medio a 45° de latitud en el meridiano de Skagen , a nivel del mar, en el vacío. ^{[ 137 ] [ 138 ]} El Parlamento británico aprobó la Ley Imperial de Pesos y Medidas en 1824, una reforma del sistema estándar británico que declaraba que si el prototipo de yarda estándar era destruido, se recuperaría definiendo la pulgada de manera que la longitud del péndulo de segundos solares en Londres, a nivel del mar , en el vacío, a 62  °F fuera de 39,1393  pulgadas. ^{[ 139 ]} Esto también se convirtió en el estándar estadounidense, ya que en ese momento Estados Unidos utilizaba medidas británicas. Sin embargo, cuando el prototipo de yarda se perdió en el incendio del Parlamento de 1834 , resultó imposible recrearlo con precisión a partir de la definición del péndulo, y en 1855 Gran Bretaña derogó el estándar del péndulo y volvió a los estándares de prototipo.

Creado por Magnetic Signal Company (MSC), y con varias otras compañías siguiendo sus pasos, un tipo de señal que utiliza un péndulo para funcionar, llamado wigwag , o menos conocido como Magnetic Flagman, fue una clase de señal ferroviaria común en el pasado, pero solo quedan unos pocos en funcionamiento en todo el mundo, particularmente en California.

En los primeros sismómetros se utilizaba un péndulo cuya varilla no era vertical, sino casi horizontal, para medir los temblores de tierra. La masa del péndulo permanecía inmóvil cuando se movía su soporte, y la diferencia entre ambos movimientos se registraba en un gráfico de tambor.

Como explicó por primera vez Maximilian Schuler en un artículo de 1923, un péndulo cuyo período coincide exactamente con el período orbital de un satélite hipotético que orbita justo por encima de la superficie terrestre (unos 84 minutos) tenderá a permanecer apuntando al centro de la Tierra cuando su soporte se desplace repentinamente. Este principio, denominado ajuste Schuler , se utiliza en los sistemas de guiado inercial de barcos y aeronaves que operan en la superficie terrestre. No se utiliza un péndulo físico, sino que el sistema de control que mantiene estable la plataforma inercial que contiene los giroscopios se modifica para que el dispositivo actúe como si estuviera unido a un péndulo, manteniendo la plataforma siempre orientada hacia abajo mientras el vehículo se desplaza sobre la superficie curva de la Tierra.

En 1665, Huygens hizo una curiosa observación sobre los relojes de péndulo. Había colocado dos relojes en su repisa de la chimenea y notó que habían adquirido un movimiento opuesto. Es decir, sus péndulos oscilaban al unísono, pero en direcciones opuestas; desfasados ​​180° . Independientemente de cómo se pusieran en marcha los dos relojes, descubrió que finalmente volvían a este estado, realizando así la primera observación registrada de un oscilador acoplado . ^{[ 140 ]}

La causa de este comportamiento fue que los dos péndulos se afectaban mutuamente mediante ligeros movimientos de la repisa de soporte. Este proceso se denomina en física sincronización o bloqueo de modos y se observa en otros osciladores acoplados. Los péndulos sincronizados se han utilizado en relojes y fueron ampliamente utilizados en gravímetros a principios del siglo XX. Si bien Huygens solo observó sincronización fuera de fase, investigaciones recientes han demostrado la existencia de sincronización en fase, así como estados de "muerte" en los que uno o ambos relojes se detienen. ^{[ 141 ] [ 142 ]}

El movimiento pendular también aparece en ceremonias religiosas. El incensario oscilante , también conocido como turíbulo , es un ejemplo de péndulo. ^{[ 143 ]} Los péndulos también se ven en muchas reuniones en el este de México , donde marcan el cambio de mareas el día en que las mareas están en su punto más alto. Los péndulos también pueden usarse para la radiestesia .

Los péndulos se utilizan ampliamente en la enseñanza de las ciencias como ejemplo de oscilador armónico , para enseñar dinámica y movimiento oscilatorio . Un uso es demostrar la ley de conservación de la energía . ^{[ 144 ] [ 145 ]} Un objeto pesado como una bola de bolos ^{[ 146 ]} o una bola de demolición ^{[ 144 ]} se ata a una cuerda. El peso se mueve a unas pocas pulgadas de la cara de un voluntario, luego se suelta y se deja que oscile y regrese. En la mayoría de los casos, el peso invierte la dirección y luego regresa a (casi) la misma posición que el lugar de liberación original, es decir , a una pequeña distancia de la cara del voluntario, por lo que el voluntario no sufre daño. En ocasiones, el voluntario se lesiona si no se queda quieto ^{[ 147 ]} o si el péndulo se suelta inicialmente con un empujón (de modo que cuando regresa sobrepasa la posición de liberación). Otra demostración es la onda del péndulo .

Se afirma que el péndulo fue utilizado como instrumento de tortura y ejecución por la Inquisición española ^{[ 148 ]} en el siglo XVIII. La alegación se encuentra en el libro de 1826 La historia de la Inquisición de España , del sacerdote, historiador y activista liberal español Juan Antonio Llorente . ^{[ 149 ]} Un péndulo oscilante, cuyo filo es una hoja de cuchillo, desciende lentamente hacia un prisionero atado hasta cortarle el cuerpo. ^{[ 150 ]} Este método de tortura se popularizó gracias al cuento de 1842 « El pozo y el péndulo », del autor estadounidense Edgar Allan Poe . ^{[ 151 ]}

La mayoría de las fuentes bien informadas se muestran escépticas de que esta tortura se haya utilizado alguna vez. ^{[ 152 ] [ 153 ] [ 154 ]} La única evidencia de su uso es un párrafo en el prefacio de la Historia de Llorente de 1826 , ^{[ 149 ]} que relata un relato de segunda mano de un solo prisionero liberado de la mazmorra de la Inquisición en Madrid en 1820, quien supuestamente describió el método de tortura del péndulo. Las fuentes modernas señalan que, debido a la advertencia de Jesús contra el derramamiento de sangre, a los inquisidores solo se les permitía usar métodos de tortura que no derramaran sangre, y el método del péndulo habría violado esta restricción. Una teoría es que Llorente malinterpretó el relato que escuchó; el prisionero en realidad se refería a otra tortura común de la Inquisición, la strappado (garrucha), en la que al prisionero se le atan las manos a la espalda y se le levanta del suelo con una cuerda atada a las manos. ^{[ 154 ]} Este método también era conocido como el "péndulo". El popular relato de terror de Poe, y el conocimiento público de los otros métodos brutales de la Inquisición, han mantenido vivo el mito de este elaborado método de tortura.