Desigualdad de Penrose riemanniana

En la relatividad general matemática , la desigualdad de Penrose , conjeturada por primera vez por Sir Roger Penrose , estima la masa de un espaciotiempo en términos del área total de sus agujeros negros y es una generalización del teorema de la masa positiva . La desigualdad de Penrose riemanniana es un caso especial importante. Específicamente, si ( M , g ) es una 3-variedad riemanniana asintóticamente plana con curvatura escalar no negativa y masa ADM m , y A es el área de la superficie mínima más externa (posiblemente con múltiples componentes conexas ), entonces la desigualdad de Penrose riemanniana afirma: 

${\displaystyle m\geq {\sqrt {\frac {A}{16\pi }}}.}$

Esto es un hecho puramente geométrico, y corresponde al caso de una subvariedad tridimensional completa, de tipo espacial , totalmente geodésica de un espaciotiempo de (3 + 1) dimensiones. Dicha subvariedad se denomina a menudo conjunto de datos iniciales simétricos en el tiempo para un espaciotiempo. La condición de que ( M , g ) tenga curvatura escalar no negativa es equivalente a que el espaciotiempo obedezca la condición de energía dominante .   

Esta desigualdad fue demostrada por primera vez por Gerhard Huisken y Tom Ilmanen en 1997, en el caso donde A representa el área del componente mayor de la superficie mínima más externa. Su demostración se basó en el modelo de flujo de curvatura media inversa débilmente definido , que ellos mismos desarrollaron. En 1999, Hubert Bray presentó la primera demostración completa de la desigualdad anterior utilizando un flujo conforme de métricas. Ambos artículos se publicaron en 2001.

El argumento físico original que llevó a Penrose a conjeturar tal desigualdad invocaba el teorema del área de Hawking y la hipótesis de la censura cósmica .

Tanto las demostraciones de Bray como las de Huisken-Ilmanen de la desigualdad de Penrose riemanniana establecen que bajo las hipótesis, si

${\displaystyle m={\sqrt {\frac {A}{16\pi }}},}$

entonces la variedad en cuestión es isométrica a una sección del espaciotiempo de Schwarzschild fuera de su superficie mínima más externa, que es una esfera de radio de Schwarzschild .

De forma más general, Penrose conjeturó que una desigualdad como la anterior debería cumplirse para subvariedades espaciales de espaciotiempos que no necesariamente son simétricas respecto al tiempo. En este caso, la curvatura escalar no negativa se sustituye por la condición de energía dominante , y una posibilidad es reemplazar la condición de superficie mínima por una condición de horizonte aparente . Demostrar dicha desigualdad sigue siendo un problema abierto en la relatividad general, conocido como la conjetura de Penrose.

• En el episodio 6 de la temporada 8 de la comedia televisiva The Big Bang Theory , el Dr. Sheldon Cooper afirma estar en el proceso de resolver la Conjetura de Penrose mientras, al mismo tiempo, redacta su discurso de aceptación del Premio Nobel.

• Bray, H. (2001). "Demostración de la desigualdad de Penrose riemanniana utilizando el teorema de la masa positiva" . Journal of Differential Geometry . 59 (2): 177– 267. Bibcode : 2001JDGeo..59..177B . doi : 10.4310/jdg/1090349428 . MR 1908823 . 
• Bray, H.; Chruściel, P. (2003). "La desigualdad de Penrose". arXiv : gr-qc/0312047 .
• Huisken, G.; Ilmanen, T. (1997). "La desigualdad de Penrose riemanniana" . International Mathematics Research Notices . 1997 (20): 1045–1058 . doi : 10.1155/S1073792897000664 . ISSN 1073-7928 . MR 1486695 .  
• Huisken, G.; Ilmanen, T. (2001). "El flujo de curvatura media inversa y la desigualdad de Penrose riemanniana" . Journal of Differential Geometry . 59 (3): 353– 437. doi : 10.4310/jdg/1090349447 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5581-4 . MR 1916951 .