Ley de la raíz cuadrada de Penrose

En la teoría matemática de juegos , la ley de la raíz cuadrada de Penrose , formulada originalmente por Lionel Penrose , se refiere a la distribución del poder de voto en un cuerpo electoral compuesto por N miembros. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Establece que el poder de voto a  priori de cualquier votante, medido por el índice de Penrose-Banzhaf${\displaystyle \psi }$escamas como${\displaystyle 1/{\sqrt {N}}}$.

Este resultado se utilizó para diseñar el método de Penrose , que permite asignar los pesos de voto de los representantes en los órganos de toma de decisiones de forma proporcional a la raíz cuadrada de la población representada.

Para estimar el índice de votación de cualquier jugador , es necesario estimar el número de coaliciones ganadoras posibles en las que su voto sea decisivo. Supongamos, para simplificar, que el número de votantes es impar, N  =  2j + 1, y que el organismo vota según la regla de la mayoría estándar. Siguiendo a Penrose, se concluye que un votante determinado solo podrá influir efectivamente en el resultado de la votación si los votos se dividen a partes iguales: si j jugadores votan «Sí» y los j restantes votan «No», el último voto es decisivo.  

Suponiendo que todos los miembros del cuerpo votan de forma independiente (los votos no están correlacionados) y que la probabilidad de cada voto "Sí" es igual a p  =  1/2, se puede estimar la probabilidad de tal evento utilizando el ensayo de Bernoulli . La probabilidad de obtener j votos "Sí" de 2j votos es:

${\displaystyle P_{j}=\left({\frac {1}{2}}\right)^{2j}{\frac {\left(2j\right)!}{\left(j!\right)^{2}}}.}$

Para N grande podemos usar la aproximación de Stirling para el factorial j ! y obtener la probabilidad ${\displaystyle \psi }$que el voto de un votante determinado es decisivo

${\displaystyle \psi =P_{j}\sim 2^{-2j}{\frac {(2j/e)^{2j}{\sqrt {4\pi j}}}{[(j/e)^{j}{\sqrt {2\pi j}}]^{2}}}\ =\ {\frac {1}{\sqrt {\pi j}}}\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}{\frac {1}{\sqrt {N}}}.}$

Se obtiene la misma aproximación para un número par N.

Kirsch presentó una investigación matemática sobre la influencia de posibles correlaciones entre los votantes para la ley de la raíz cuadrada de Penrose. ^{[ 3 ]}

La ley de Penrose se aplica para construir sistemas de votación de dos niveles similares a los de Penrose, incluido el Compromiso Jagellónico diseñado para el Consejo de la Unión Europea .

• Compromiso Jagellón