n -escama

El triángulo de Sierpinski es una n -lasca formada por sucesivas lascas de tres triángulos. Cada lasca se forma colocando triángulos escalados por 1/2 en cada esquina del triángulo que reemplazan. Su dimensión de Hausdorff es igual a${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(3)}{\log(2)}}}$≈ 1.585. El${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(3)}{\log(2)}}}$se obtiene porque cada iteración tiene 3 triángulos que se escalan por  1/2.

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  La sexta iteración del triángulo de Sierpinski.
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  El triángulo de Sierpinski creado por el juego del caos .

Si se construyera un cuadrágono de Sierpinski a partir de la definición dada, el factor de escala sería 1/2 y el fractal sería simplemente un cuadrado. Una alternativa más interesante, el fractal de Vicsek , raramente llamado cuadrilátero, está formado por sucesivas láminas de cinco cuadrados escaladas por 1/3. Cada lámina se forma colocando un cuadrado escalado en cada esquina y uno en el centro, o uno en cada lado del cuadrado y uno en el centro. Su dimensión de Hausdorff es igual a${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(5)}{\log(3)}}}$≈ 1,4650. El${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(5)}{\log(3)}}}$se obtiene porque cada iteración tiene 5 cuadrados que se escalan por 1/3. El límite del fractal de Vicsek es una curva de Koch cuadrática de tipo 1 .

Un pentaflaco, o pentágono de Sierpinski, está formado por sucesivas lascas de seis pentágonos regulares. ^{[ 3 ]} Cada lasca se forma colocando un pentágono en cada esquina y uno en el centro. Su dimensión de Hausdorff es igual a${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(6)}{\log(1+\varphi )}}}$≈ 1,8617, donde${\displaystyle \textstyle {\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}}$( proporción áurea ). El${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(6)}{\log(1+\varphi )}}}$se obtiene porque cada iteración tiene 6 pentágonos que se escalan por${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{1+\varphi }}}$El límite de un pentaflake es la curva de Koch de 72 grados.

También existe una variación del pentaflake que no tiene pentágono central. Su dimensión de Hausdorff es igual a${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(5)}{\log(1+\varphi )}}}$≈ 1,6723. Esta variación aún contiene infinitas curvas de Koch, pero son algo más visibles.

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  Tercera iteración, con pentágonos centrales.
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  Cuarta iteración, con pentágonos centrales.
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  Quinta iteración, con pentágonos centrales.

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  Segunda iteración, sin pentágonos centrales.
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  Tercera iteración, sin pentágonos centrales.
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  Cuarta iteración, sin pentágonos centrales
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  Quinta iteración, sin pentágonos centrales.

Los patrones concéntricos de teselas con forma de pentaescama pueden cubrir el plano, con el punto central cubierto por una tercera forma formada por segmentos de curva de Koch de 72 grados, también con simetría rotacional y reflectiva quíntuple.

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  Teselado Pentaflake. El punto central no está cubierto.
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  Teselado Pentaflake. Punto central cubierto.

Una hexaflaca se forma mediante sucesivas lascas de siete hexágonos regulares. ^{[ 4 ]} Cada lasca se forma colocando un hexágono escalado en cada esquina y uno en el centro. Cada iteración tiene 7 hexágonos que se escalan por 1/3. Por lo tanto, la hexaflaca tiene 7 ^{n −1} hexágonos en su n -ésima iteración, y su dimensión de Hausdorff es igual a${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(7)}{\log(3)}}}$≈ 1,7712. El límite de un hexaflake es la curva de Koch estándar de 60 grados y contiene infinitos copos de nieve de Koch . Además, la proyección del cubo de Cantor sobre el plano ortogonal a su diagonal principal es un hexaflake. El hexaflake se ha aplicado en el diseño de antenas ^{[ 4 ]} y fibras ópticas ^{[ 5 ]} .

Al igual que el pentaflake, también existe una variación del hexaflake, llamado hexágono de Sierpinski, que no tiene hexágono central. ^{[ 6 ]} Su dimensión de Hausdorff es igual a${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(6)}{\log(3)}}}$≈ 1,6309. Esta variación aún contiene infinitas curvas de Koch de 60 grados.

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  Hexaflake
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  Las primeras seis iteraciones del hexaflake.
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  Cuarta iteración del hexágono de Sierpinski.
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  Proyección ortogonal de un cubo de Cantor que muestra una hexaflaca.

También existen n -láminas de polígonos superiores, aunque son menos comunes y generalmente no tienen un polígono central. [Si se genera un polígono central, el factor de escala difiere para números pares e impares.]${\displaystyle n}$:${\displaystyle R=1-2r}$incluso${\displaystyle n}$y${\displaystyle \textstyle {R={\frac {1-r}{cos(\pi /n)}}-r}}$para impar${\displaystyle n}$A continuación se muestran algunos ejemplos: desde el copo de 7 hasta el de 12 copos. Aunque no sea obvio, estos copos poliédricos de mayor número aún contienen infinitas curvas de Koch, pero el ángulo de las curvas de Koch disminuye a medida que n aumenta. Sus dimensiones de Hausdorff son ligeramente más difíciles de calcular que las de los copos de n menor número porque su factor de escala es menos evidente. Sin embargo, la dimensión de Hausdorff siempre es menor que dos, pero nunca menor que uno. Un copo de n interesante es el copo infinito, porque a medida que aumenta el valor de n , la dimensión de Hausdorff de un copo de n se aproxima a 1, ^{[ 1 ] : 7}

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  Las primeras cuatro iteraciones del heptaflake o 7-flake.
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  Las primeras cuatro iteraciones del octoflake o 8-flake.
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  Las primeras cuatro iteraciones del eneaflaque o 9-flaque.
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  Las primeras cuatro versiones del decaflake o 10-flake.
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  Las primeras cuatro iteraciones del hendecaflake o 11-flake.
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  Las primeras cuatro iteraciones del dodecaflaque o 12-flaque.

Un tetraedro de Sierpinski está formado por láminas sucesivas de cuatro tetraedros regulares. Cada lámina se forma colocando un tetraedro escalado por 1/2 en cada esquina. Su dimensión de Hausdorff es igual a${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(4)}{\log(2)}}}$, que es exactamente igual a  2. En cada cara hay un triángulo de Sierpinski y dentro de él se encuentran infinitos.

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  La tercera iteración del tetraedro de Sierpinski.

Un hexaedro, o cubo, definido de la misma manera que el tetraedro de Sierpinski es simplemente un cubo ^{[ 10 ]} y no es interesante como fractal. Sin embargo, existen dos alternativas agradables. Una es la Esponja de Menger , donde cada cubo es reemplazado por un anillo tridimensional de cubos. Su dimensión de Hausdorff es${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(20)}{\log(3)}}}$≈ 2,7268.

Se puede producir otra escama hexaédrica de manera similar al fractal de Vicsek extendido a tres dimensiones. Cada cubo se divide en 27 cubos más pequeños y se conserva la cruz central, lo cual es lo opuesto a la esponja de Menger donde se elimina la cruz. Sin embargo, no es el complemento de la esponja de Menger. Su dimensión de Hausdorff es${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(7)}{\log(3)}}}$≈ 1,7712, porque una cruz de 7 cubos, cada uno escalado por 1/3, reemplaza a cada cubo.

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  La cuarta versión de la Esponja de Menger.
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  Tercera iteración del fractal de Vicsek 3D .

Una lámina de octaedro, u octaedro de Sierpinski, se forma mediante láminas sucesivas de seis octaedros regulares. Cada lámina se forma colocando un octaedro escalado por 1/2 en cada esquina. Su dimensión de Hausdorff es igual a${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(6)}{\log(2)}}}$≈ 2,5849. En cada cara hay un triángulo de Sierpinski y dentro de él se encuentran infinitos.

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  La tercera iteración de la lámina octaédrica.

Una lasca de dodecaedro, o dodecaedro de Sierpinski, se forma mediante lascas sucesivas de veinte dodecaedros regulares. Cada lasca se forma colocando un dodecaedro escalado por${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2+\varphi }}}$en cada esquina. Su dimensión Hausdorff es igual a${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(20)}{\log(2+\varphi )}}}$≈ 2,3296.

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  La segunda iteración del fragmento fractal dodecaédrico.

Una lasca de icosaedro, o icosaedro de Sierpinski, se forma mediante sucesivas lascas de doce icosaedros regulares. Cada lasca se forma colocando un icosaedro escalado por${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{1+\varphi }}}$en cada esquina. Su dimensión Hausdorff es igual a${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(12)}{\log(1+\varphi )}}}$≈ 2,5819.

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  La tercera iteración del copo fractal icosaédrico.