Fractal de Vicsek

En matemáticas, el fractal de Vicsek , también conocido como copo de nieve de Vicsek o fractal de caja , ^{[ 1 ] [ 2 ]} es un fractal que surge de una construcción similar a la de la alfombra de Sierpiński , propuesta por Tamás Vicsek . Tiene aplicaciones, entre ellas como antenas compactas , particularmente en teléfonos celulares.

El fractal de caja también se refiere a varios fractales iterados creados mediante una cuadrícula cuadrada o rectangular con varias cajas eliminadas o ausentes. En cada iteración, las cajas presentes y/o ausentes tienen la imagen anterior reducida y dibujada en su interior. El triángulo de Sierpinski puede aproximarse mediante un fractal de caja de 2 × 2 con una esquina eliminada. La alfombra de Sierpinski es un fractal de caja de 3 × 3 con el cuadrado central eliminado.

El cuadrado básico se descompone en nueve cuadrados más pequeños en la cuadrícula de 3x3. Se conservan los cuatro cuadrados de las esquinas y el cuadrado central, y se eliminan los demás. El proceso se repite recursivamente para cada uno de los cinco subcuadrados restantes. El fractal de Vicsek es el conjunto obtenido en el límite de este procedimiento. La dimensión de Hausdorff de este fractal es${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(5)}{\log(3)}}}$≈ 1,46497.

Una construcción alternativa (que se muestra a continuación en la imagen de la izquierda) consiste en eliminar los cuatro cuadrados de las esquinas y dejar el cuadrado central y los cuadrados situados encima, debajo, a la izquierda y a la derecha de este. Ambas construcciones producen curvas límite idénticas, pero una está rotada 45 grados con respecto a la otra.

• 
  Autosimilitudes I — eliminación de cuadrados de esquina.
• 
  Autosimilitudes II : conservación de los cuadrados de las esquinas.

El fractal de Vicsek tiene la sorprendente propiedad de tener un área cero pero un perímetro infinito , debido a su dimensión no entera. En cada iteración, se eliminan cuatro cuadrados por cada cinco que se conservan, lo que significa que en la iteración n el área es${\displaystyle \textstyle {({\frac {5}{9}})^{n}}}$(suponiendo un cuadrado inicial de lado 1). Cuando n se aproxima al infinito, el área se aproxima a cero. Sin embargo, el perímetro es${\displaystyle \textstyle {4({\frac {5}{3}})^{n}}}$, porque cada lado se divide en tres partes y el central se reemplaza con tres lados, lo que produce un aumento de tres a cinco. El perímetro tiende a infinito a medida que n aumenta.

El límite del fractal de Vicsek es la curva de Koch cuadrática de tipo 1 .

Existe un análogo tridimensional del fractal de Vicsek. Se construye subdividiendo cada cubo en 27 cubos más pequeños y eliminando todos excepto la "cruz central", el cubo central y los seis cubos que tocan el centro de cada cara. Su dimensión de Hausdorff es${\displaystyle \textstyle {\frac {\log(7)}{\log(3)}}}$≈ 1,7712.

De forma similar al fractal bidimensional de Vicsek, esta figura tiene volumen cero. Cada iteración conserva 7 cubos por cada 27, lo que resulta en un volumen de${\displaystyle \textstyle {({\frac {7}{27}})^{n}}}$en la iteración n , que tiende a cero a medida que n tiende a infinito.

Existe un número infinito de secciones transversales que dan como resultado el fractal de Vicsek bidimensional.

• Dimensión de conteo de cajas
• Cruz cruz
• Lista de fractales por dimensión de Hausdorff
• Alfombra de Sierpinski
• Triángulo de Sierpinski
• n -escama

• "Fractal de caja" . Sitio web de Wolfram Alpha . Consultado el 21 de febrero de 2019 .