Hexecontaedro pentagonal

En geometría , el hexecontaedro pentagonal es un sólido de Catalan , dual del dodecaedro truncado . Posee dos formas distintas, que son imágenes especulares (o enantiomorfas ) entre sí. Tiene 92 vértices que abarcan 60 caras pentagonales. Es el sólido de Catalan con mayor número de vértices. Entre los sólidos de Catalan y Arquímedes , ocupa el segundo lugar en número de vértices, después del icosidodecaedro truncado , que tiene 120 vértices.

Las caras son pentágonos irregulares con dos lados largos y tres lados cortos.${\displaystyle \xi \approx 0.943\,151\,259\,24}$sea ​​la raíz real del polinomio${\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\phi ^{2}}$. Entonces la proporción${\displaystyle l}$La longitud de los bordes viene dada por:$${\displaystyle l={\frac {1+\xi }{2-\xi ^{2}}}\aprox 1.749\,852\,566\,74.}$$Las caras tienen cuatro ángulos obtusos iguales y un ángulo agudo (entre los dos lados largos). Los ángulos obtusos son iguales.${\displaystyle \arccos(-\xi /2)\approx 118.136\,622\,758\,62^{\circ }}$y el agudo es igual a${\displaystyle \arccos(-\phi ^{2}\xi /2+\phi )\approx 67.453\,508\,965\,51^{\circ }}$. El ángulo diedro es igual a${\displaystyle \arccos(-\xi /(2-\xi ))\approx 153.2^{\circ }}$.

Nótese que los centros de las caras del dodecaedro truncado no pueden servir directamente como vértices del hexecontaedro pentagonal: los centros de los cuatro triángulos se encuentran en un mismo plano, pero el centro del pentágono no; es necesario desplazarlo radialmente para que sea coplanar con los centros de los triángulos. Por consiguiente, los vértices del hexecontaedro pentagonal no se encuentran todos en la misma esfera y, por definición, no es un zonohedro .

Para hallar el volumen y el área de la superficie de un hexecontaedro pentagonal, denotemos el lado más corto de una de las caras pentagonales como${\displaystyle b}$y establecer una constante ^{[ 1 ]}$${\displaystyle t={\frac {{\sqrt[{3}]{44+12\phi (9+{\sqrt {81\phi -15}})}}+{\sqrt[{3}]{44+12\phi (9-{\sqrt {81\phi -15}})}}-4}{12}}\approx 0.472.}$$Entonces el área de superficie (${\displaystyle A}$) es:$${\displaystyle A={\frac {30b^{2}\cdot (2+3t)\cdot {\sqrt {1-t^{2}}}}{1-2t^{2}}}\approx 162.698b^{2}.}$$Y el volumen (${\displaystyle V}$) es:$${\displaystyle V={\frac {5b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2})\cdot {\sqrt {1-2t}}}}\approx 189.789b^{3}.}$$Utilizando estos datos, se puede calcular la medida de esfericidad de esta figura:$${\displaystyle \Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V)^{\frac {2}{3}}}{A}}\approx 0.982}$$

El hexecontaedro pentagonal se puede construir a partir de un dodecaedro truncado sin tomar su dual. Se añaden pirámides pentagonales a las 12 caras pentagonales del dodecaedro truncado y pirámides triangulares a las 20 caras triangulares que no comparten arista con un pentágono. Las alturas de las pirámides se ajustan para que sean coplanares con las otras 60 caras triangulares del dodecaedro truncado. El resultado es el hexecontaedro pentagonal. ^{[ 2 ]}

Un método de construcción alternativo utiliza cuaterniones y la simetría icosaédrica de las órbitas del grupo de Weyl.${\displaystyle O(\Lambda )=W(H_{3})/C_{2}\approx A_{5}=I}$del orden 60. ^{[ 3 ]} Esto se muestra en la figura de la derecha.

Específicamente, con cuaterniones del grupo icosaédrico binario.${\displaystyle (p,q)\in I_{h}}$, dónde${\displaystyle q={\bar {p}}}$es el conjugado de${\displaystyle p}$y${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$y${\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}$, entonces, al igual que el grupo Coxeter${\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }$es el grupo de simetría de la celda 600 y la celda 120 de orden 14400, tenemos

${\displaystyle W(H_{3})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace =A_{5}\times C_{2}=I_{h}}$

del orden 120.${\displaystyle I}$se define como las permutaciones pares de${\displaystyle I_{h}}$de tal manera que${\displaystyle [I,{\bar {I}}]:r}$da las 60 coordenadas del dodecaedro quiral retorcido snub, donde

${\displaystyle r\approx -0.389662e_{1}+0.267979e_{2}-0.881108e_{3}}$

es una permutación del primer conjunto de 12 en los enumerados anteriormente . La coordenada exacta para ${\displaystyle r}$se obtiene tomando la solución a${\displaystyle x^{3}-x^{2}-x-\phi =0}$, con${\displaystyle x\approx 1.94315}$y aplicándolo a la normalización de

${\displaystyle r=(-1+x^{2}(-1-2/\phi -x\phi )e_{1}+(3-x^{2}+3x\phi )e_{2}+((x^{3}-1/\phi )\phi ^{3})e_{3}.}$

Las variaciones isoédricas se pueden construir con caras pentagonales de 3 longitudes de arista.

Esta variación mostrada se puede construir agregando pirámides a 12 caras pentagonales y 20 caras triangulares de un dodecaedro truncado, de manera que las nuevas caras triangulares sean coparalelas a otros triángulos y se puedan fusionar con las caras pentagonales.

El hexecontaedro pentagonal tiene tres posiciones de simetría: dos en los vértices y una en el centro de una arista.

Este poliedro está relacionado topológicamente como parte de una secuencia de poliedros y teselaciones de pentágonos con configuraciones de caras (V3.3.3.3. n ). (La secuencia progresa en teselaciones del plano hiperbólico para cualquier n .) Estas figuras transitivas de caras tienen simetría rotacional (n32) .

• hexecontaedro pentagonal truncado
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• Williams, Robert (1979). Los fundamentos geométricos de la estructura natural: Un libro de referencia sobre diseño . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.

(Sección 3-9)

• Wenninger, Magnus (1983), Modelos duales , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511569371 , ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208 (Los trece poliedros convexos semirregulares y sus duales, página 29, hexecontaedro pentagonal)
• Las simetrías de las cosas 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , ISBN 978-1-56881-220-5(Capítulo 21, Nomenclatura de los poliedros y teselaciones arquimedianos y catalanes, página 287, hexecontaedro pentagonal)

• Weisstein, Eric W. , " Hexecontaedro pentagonal " (" sólido catalán ") en MathWorld .
• Hexecontraedro pentagonal : modelo interactivo de poliedro