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Articulo de referencia

poliedro toroidal

Se puede construir un toro poliédrico para aproximar la superficie de un toro, a partir de una red de caras cuadriláteras, como en este ejemplo de 6x4. En geometría , un poliedr...

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Se puede construir un toro poliédrico para aproximar la superficie de un toro, a partir de una red de caras cuadriláteras, como en este ejemplo de 6x4.

En geometría , un poliedro toroidal es un poliedro que también es un toroide (un toro con g agujeros ), con un género topológico ( g ) igual o superior a 1. Ejemplos notables incluyen los poliedros de Császár y Szilassi .

Variaciones en la definición

Los poliedros toroidales se definen como conjuntos de polígonos que se unen en sus aristas y vértices, formando una variedad . Es decir, cada arista debe ser compartida por exactamente dos polígonos, y en cada vértice las aristas y caras que se unen en él deben estar enlazadas en un único ciclo de aristas y caras alternadas, el enlace del vértice. Para los poliedros toroidales, esta variedad es una superficie orientable . [ 1 ] Algunos autores restringen la frase "poliedros toroidales" para referirse más específicamente a poliedros topológicamente equivalentes al toro  (género 1) . [ 2 ]

En este ámbito, es importante distinguir los poliedros toroidales incrustados , cuyas caras son polígonos planos en el espacio euclidiano tridimensional que no se cruzan entre sí, de los poliedros abstractos , superficies topológicas sin ninguna realización geométrica específica. [ 3 ] Entre estos dos extremos se encuentran los poliedros formados por polígonos geométricos o polígonos estrellados en el espacio euclidiano que sí pueden cruzarse entre sí.

En todos estos casos, la naturaleza toroidal de un poliedro se puede verificar por su orientabilidad y porque su característica de Euler es no positiva. La característica de Euler se generaliza a V − E + F = 2 − 2 g , donde g es su género topológico.

Poliedros de Császár y Szilassi

Dos de los poliedros toroidales incrustados más simples posibles son los poliedros de Császár y Szilassi.

El poliedro de Császár es un poliedro toroidal de siete vértices con 21 aristas y 14 caras triangulares. [ 4 ] Junto con el tetraedro , es el único poliedro conocido en el que cada segmento de línea que conecta dos vértices forma una arista. [ 5 ] Su dual, el poliedro de Szilassi , tiene siete caras hexagonales adyacentes entre sí, [ 6 ] lo que proporciona la mitad del teorema de existencia que establece que el número máximo de colores necesarios para una aplicación en un toro (de género uno) es siete. [ 7 ]

El poliedro de Császár tiene el menor número posible de vértices de cualquier poliedro toroidal incrustado, y el poliedro de Szilassi tiene el menor número posible de caras de cualquier poliedro toroidal incrustado.

deltaedro toroidal de Conway

deltaedro toroidal de Conway
deltaedro toroidal de Conway

En 1997, John H. Conway describió un deltaedro toroidal con 18 vértices y 36 caras. Algunas caras adyacentes son coplanares . Conway sugirió que debería ser el toroide deltaédrico con el menor número posible de caras. [ 8 ]

toroides de Stewart

Una categoría especial de poliedros toroidales se construye exclusivamente con caras de polígonos regulares , sin cruces, y con la restricción adicional de que las caras adyacentes no pueden estar en el mismo plano. Estos se denominan toroides de Stewart , [ 9 ] nombrados en honor a Bonnie Stewart , quien los estudió intensamente. [ 10 ] Son análogos a los sólidos de Johnson en el caso de poliedros convexos ; sin embargo, a diferencia de los sólidos de Johnson, existen infinitos toroides de Stewart. [ 11 ] También incluyen deltaedros toroidales , poliedros cuyas caras son todas triángulos equiláteros.

Una clase restringida de toroides de Stewart, también definidos por Stewart, son los poliedros toroidales cuasiconvexos . Estos son toroides de Stewart que incluyen todas las aristas de sus envolturas convexas . Para un poliedro de este tipo, cada cara de la envoltura convexa se encuentra sobre la superficie del toroide, o es un polígono cuyas aristas se encuentran todas sobre la superficie del toroide. [ 12 ]

Poliedros que se entrecruzan a sí mismos

Un poliedro formado por un sistema de polígonos que se cruzan corresponde a una variedad topológica abstracta formada por sus polígonos y su sistema de aristas y vértices compartidos, y el género del poliedro puede determinarse a partir de esta variedad abstracta. Algunos ejemplos son el octahemioctaedro de género 1, el pequeño cubeboctaedro de género 3 y el gran dodecaedro de género 4 .

poliedros de corona

Estefanoide pentagonal. Este estefanoide tiene simetría diedral pentagonal y tiene los mismos vértices que el prisma pentagonal uniforme .

Un poliedro corona o estefanoide es un poliedro toroidal que también es noble , siendo isogonal (vértices iguales) e isoédrico (caras iguales). Los poliedros corona se autointersecan y son topológicamente autoduales . [ 13 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Whiteley (1979) ; Stewart (1980) , pág. 15.
  2. ^ Webber, William T. (1997), "Poliedros idemvalentes monoédricos que son toroides", Geometriae Dedicata , 67 (1): 31– 44, doi : 10.1023/A:1004997029852 , MR 1468859 , S2CID 117884274  .
  3. ↑ Whiteley, Walter (1979), "Realizabilidad de poliedros" (PDF) , Topología estructural (1): 46–58 , 73, MR 0621628 .
  4. ↑ Császár, A. (1949), "Un poliedro sin diagonales", Acta Sci. Matemáticas. Szeged , 13 : 140-142​.
  5. ^ Ziegler, Günter M. (2008), "Superficies poliédricas de alto género", en Bobenko, AI; Schröder, P.; Sullivan, JM ; Ziegler, GM (eds.), Geometría diferencial discreta , Seminarios de Oberwolfach, vol. 38, Springer-Verlag, págs. 191–213 , arXiv : math.MG/0412093 , doi : 10.1007/978-3-7643-8621-4_10 , ISBN   978-3-7643-8620-7, S2CID 15911143 .
  6. ^ Szilassi, Lajos (1986), "Toroides regulares", Topología estructural , 13 : 69– 80, hdl : 2099/1038.
  7. ↑ Heawood, PJ ( 1890), "Teoremas de coloración de mapas", Quarterly Journal of Mathematics , Primera serie, 24 : 322–339
  8. ↑ Conway, John, "Polyhedra of positive genus" , grupo de Usenet geometry.researchVéanse los mensajes fechados el 23 de septiembre de 1997 a las 00:00 que anuncian el deltaedro toroidal, y el 25 de septiembre de 1997 a las 00:00 que describen su construcción. A diferencia de los toroides  de Stewart , tiene triángulos adyacentes coplanares, pero por lo demás se asemeja a un deltaedro toroidal con más caras descrito por Stewart (1980) , pág. 60.
  9. ↑ Webb, Robert (2000), "Stella: navegador poliédrico" , Symmetry: Culture and Science , 11 ( 1–4 ): 231–268 , MR 2001419 .
  10. ↑ Stewart, BM (1980), Aventuras entre los toroides: Un estudio de poliedros orientables con caras regulares (2.ª ed.), BM Stewart, ISBN  978-0-686-11936-4.
  11. ↑ Stewart (1980) , pág. 15.
  12. ↑ Stewart (1980) , "Cuasiconvexidad y cuasiconvexidad débil", págs. 76–79.
  13. ↑ Grünbaum, Branko (1994), "Polyhedra with Hollow Faces" , Polytopes: Abstract, Convex and Computational , NATO ASI Series C: Mathematical and Physical Series, vol. 440, Kluwer Academic Publishers, pp. 43–70 , doi : 10.1007/978-94-011-0924-6_3  Véase en particular la página  60 .
  • Weisstein, Eric W. "Poliestreno toroidal" . MathWorld .
  • Toroides de Stewart (sólidos toroidales con caras poligonales regulares)
  • Poliedros de Stewart
  • Poliedros toroidales
  • toroides de Stewart