Mano temblorosa, equilibrio perfecto

En teoría de juegos , el equilibrio perfecto de mano temblorosa , o simplemente equilibrio perfecto , es un tipo de refinamiento de un equilibrio de Nash que fue propuesto por primera vez por Reinhard Selten . ^{[ 1 ]} Un equilibrio perfecto de mano temblorosa es un equilibrio que toma en cuenta la posibilidad de juego fuera del equilibrio al suponer que los jugadores, a través de un "desliz de la mano" o temblor, pueden elegir estrategias no intencionadas , aunque con una probabilidad insignificante .

Primero definamos un juego perturbado . Un juego perturbado es una copia de un juego base, con la restricción de que solo se permiten estrategias totalmente mixtas . Una estrategia totalmente mixta es una estrategia mixta en un${\displaystyle n}$- Juego estratégico multijugador donde cada estrategia pura se juega con probabilidad positiva. Estas son las "manos temblorosas" de los jugadores; a veces juegan una estrategia diferente a la que tenían previsto jugar. Luego, defina un perfil de estrategia mixta.${\displaystyle \sigma =(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n})}$como si la mano temblorosa fuera perfecta si hay una secuencia de perfiles de estrategia de juegos perturbados${\displaystyle \{\sigma ^{k}\}_{k=1,2,\ldots }}$que converge a${\displaystyle \sigma }$de tal manera que para cada${\displaystyle k}$y cada jugador${\displaystyle 1\leq i\leq n}$la estrategia${\displaystyle \sigma _{i}}$es la mejor respuesta a${\displaystyle \sigma _{-i}^{k}}$.

Nota: Todos los equilibrios de Nash completamente mezclados son perfectos.

Nota 2: La extensión de estrategia mixta de cualquier juego finito en forma normal tiene al menos un equilibrio perfecto. ^{[ 1 ]}

El juego representado en la siguiente matriz de forma normal tiene dos equilibrios de Nash de estrategias puras , a saber:${\displaystyle \langle {\text{Up}},{\text{Left}}\rangle }$y${\displaystyle \langle {\text{Down}},{\text{Right}}\rangle }$. Sin embargo, solo${\displaystyle \langle {\text{U}},{\text{L}}\rangle }$es perfecto con manos temblorosas.

Supongamos que el jugador 1 (el jugador de la fila) está jugando una estrategia mixta.${\displaystyle (1-\varepsilon ,\varepsilon )}$, para ${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$.

La recompensa esperada del jugador 2 por jugar L es:

${\displaystyle 1(1-\varepsilon )+2\varepsilon =1+\varepsilon }$

La ganancia esperada del jugador 2 al jugar la estrategia R es:

${\displaystyle 0(1-\varepsilon )+2\varepsilon =2\varepsilon }$

Para valores pequeños de${\displaystyle \varepsilon }$El jugador 2 maximiza su ganancia esperada asignando un peso mínimo a R y un peso máximo a L. Por simetría, el jugador 1 debería asignar un peso mínimo a D y un peso máximo a U si el jugador 2 está jugando la estrategia mixta.${\displaystyle (1-\varepsilon ,\varepsilon )}$. Por eso${\displaystyle \langle {\text{U}},{\text{L}}\rangle }$es perfecto con manos temblorosas.

Sin embargo, un análisis similar falla para el perfil de la estrategia.${\displaystyle \langle {\text{D}},{\text{R}}\rangle }$.

Supongamos que el jugador 2 está jugando una estrategia mixta.${\displaystyle (\varepsilon ,1-\varepsilon )}$La ganancia esperada del jugador 1 al jugar U es:

${\displaystyle 1\varepsilon +2(1-\varepsilon )=2-\varepsilon }$

La recompensa esperada del jugador 1 por jugar D es:

${\displaystyle 0\varepsilon +2(1-\varepsilon )=2-2\varepsilon }$

Para todos los valores positivos de${\displaystyle \varepsilon }$El jugador 1 maximiza su ganancia esperada al asignar un peso mínimo a D y un peso máximo a U. Por lo tanto,${\displaystyle \langle {\text{D}},{\text{R}}\rangle }$no es perfecto en manos temblorosas porque el jugador 2 (y, por simetría, el jugador 1) maximiza su ganancia esperada desviándose con mayor frecuencia hacia L si hay una pequeña probabilidad de error en el comportamiento del jugador 1.

Para juegos de 2×2, el conjunto de equilibrios perfectos de mano temblorosa coincide con el conjunto de equilibrios que consisten en dos estrategias no dominadas. En el ejemplo anterior, vemos que el equilibrio < Abajo,Derecha > es imperfecto, ya que Izquierda (débilmente) domina a Derecha para el Jugador 2 y Arriba (débilmente) domina a Abajo para el Jugador 1. ^{[ 2 ]}

Hay dos maneras posibles de extender la definición de perfección de mano temblorosa a juegos de forma extensa .

• Se puede interpretar la forma extensiva como una mera descripción concisa de un juego en forma normal y aplicar los conceptos descritos anteriormente a este juego. En los juegos perturbados resultantes, cada estrategia del juego en forma extensiva debe jugarse con probabilidad distinta de cero. Esto conduce a la noción de un equilibrio perfecto de mano temblorosa en forma normal .
• Alternativamente, cabe recordar que los temblores deben interpretarse como errores de modelado cometidos por los jugadores con una probabilidad insignificante durante el juego. Dicho error probablemente consistiría en que un jugador realizara un movimiento distinto al previsto en algún momento de la partida. Difícilmente consistiría en que el jugador eligiera una estrategia diferente a la prevista, es decir, un plan erróneo para jugar toda la partida. Para capturar esto, se puede definir el juego perturbado exigiendo que cada movimiento en cada conjunto de información se realice con una probabilidad distinta de cero. Los límites de los equilibrios de dichos juegos perturbados, cuando las probabilidades de temblor tienden a cero, se denominan equilibrios perfectos de mano temblorosa en forma extensiva .

Las nociones de equilibrios perfectos de mano temblorosa en forma normal y en forma extensiva son incomparables; es decir, un equilibrio de un juego en forma extensiva puede ser perfecto de mano temblorosa en forma normal, pero no en forma extensiva, y viceversa. Como ejemplo extremo, Jean-François Mertens ha dado un ejemplo de un juego de dos jugadores en forma extensiva donde no es admisible ningún equilibrio perfecto de mano temblorosa en forma extensiva; es decir, los conjuntos de equilibrios perfectos de mano temblorosa en forma extensiva y en forma normal para este juego son disjuntos.

Un equilibrio perfecto de mano temblorosa en forma extensiva es también un equilibrio secuencial . Un equilibrio perfecto de mano temblorosa en forma normal de un juego en forma extensiva puede ser secuencial, pero no necesariamente. De hecho, un equilibrio perfecto de mano temblorosa en forma normal ni siquiera tiene que ser perfecto en subjuegos .

Myerson (1978) ^{[ 3 ]} señaló que la perfección es sensible a la adición de una estrategia estrictamente dominada, y en su lugar propuso otro refinamiento, conocido como equilibrio propio .

• Osborne, Martin J.; Rubinstein, Ariel (1994). Un curso de teoría de juegos . MIT Press. págs. 246–254 . ISBN  9780262650403.