Perímetro

Un perímetro es la longitud de un límite cerrado que abarca, rodea o delimita una figura bidimensional o una línea unidimensional . El perímetro de un círculo o una elipse se denomina circunferencia .

El cálculo del perímetro tiene diversas aplicaciones prácticas. Un perímetro calculado es la longitud de la cerca necesaria para rodear un patio o jardín. El perímetro de una rueda o círculo (su circunferencia) describe la distancia que recorre en una revolución . De manera similar, la cantidad de cuerda enrollada en una bobina está relacionada con el perímetro de esta; si la longitud de la cuerda fuera exacta, sería igual al perímetro.

El perímetro es la distancia alrededor de una figura. Los perímetros para figuras más generales se pueden calcular, como cualquier camino , con${\textstyle \int _{0}^{L}\mathrm {d} s}$, dónde${\displaystyle L}$es la longitud del camino y${\displaystyle ds}$es un elemento de línea infinitesimal. Ambos deben ser reemplazados por formas algebraicas para poder ser calculados en la práctica. Si el perímetro se da como una curva plana cerrada y suave por partes${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}} con

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}}$

luego su longitud${\displaystyle L}$se puede calcular de la siguiente manera:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}\,\mathrm {d} t}$

Una noción generalizada de perímetro, que incluye hipersuperficies que delimitan volúmenes en${\displaystyle n}$- Los espacios euclidianos dimensionales se describen mediante la teoría de conjuntos de Caccioppoli .

Los polígonos son fundamentales para determinar perímetros, no solo porque son las figuras más simples, sino también porque los perímetros de muchas figuras se calculan aproximándolas con secuencias de polígonos que tienden a dichas figuras. El primer matemático conocido que utilizó este tipo de razonamiento fue Arquímedes , quien aproximó el perímetro de un círculo rodeándolo con polígonos regulares . ^{[ 1 ]}

El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados (aristas) . En particular, el perímetro de un rectángulo de ancho${\displaystyle w}$y longitud${\displaystyle \ell }$igual${\displaystyle 2w+2\ell .}$

Un polígono equilátero es aquel cuyos lados tienen la misma longitud (por ejemplo, un rombo es un polígono equilátero de cuatro lados). Para calcular el perímetro de un polígono equilátero, se debe multiplicar la longitud común de sus lados por el número de lados.

Un polígono regular se puede caracterizar por el número de sus lados y por su radio circunscrito , es decir, la distancia constante entre su centro y cada uno de sus vértices . La longitud de sus lados se puede calcular mediante trigonometría . Si R es el radio de un polígono regular y n es el número de sus lados, entonces su perímetro es

${\displaystyle 2nR\sin \left({\frac {180^{\circ }}{n}}\right).}$

Un divisor de un triángulo es un ceviano (un segmento que va desde un vértice hasta el lado opuesto) que divide el perímetro en dos partes iguales; esta longitud común se denomina semiperímetro del triángulo. Los tres divisores de un triángulo se intersecan entre sí en el punto de Nagel.

Un segmento divisor de un triángulo es un segmento que va desde el punto medio de un lado del triángulo hasta el lado opuesto, de manera que el perímetro se divide en dos partes iguales. Los tres segmentos divisores de un triángulo se intersecan entre sí en el centro de Spieker del triángulo .

El perímetro de un círculo , a menudo llamado circunferencia, es proporcional a su diámetro y a su radio . Es decir, existe un número constante pi , π (la p griega para perímetro), tal que si P es el perímetro del círculo y D su diámetro, entonces,

${\displaystyle P=\pi \cdot {D}.\!}$

En términos del radio r del círculo, esta fórmula se convierte en:

${\displaystyle P=2\pi \cdot r.}$

Para calcular el perímetro de un círculo, basta con conocer su radio o diámetro y el número π . El problema radica en que π no es racional (no puede expresarse como el cociente de dos enteros ) ni algebraico (no es raíz de un polinomio con coeficientes racionales). Por lo tanto, obtener una aproximación precisa de π es fundamental para el cálculo. El cálculo de los dígitos de π es relevante en diversos campos, como el análisis matemático , la algoritmia y la informática .

Cuanto más se corta esta forma, menor es el área y mayor el perímetro. La envoltura convexa permanece inalterada.

El perímetro de fortificación de Neuf-Brisach es complejo. El camino más corto a su alrededor sigue su envolvente convexa .

El perímetro y el área son dos medidas principales de figuras geométricas. Es común confundirlas, así como creer que cuanto mayor sea una, mayor debe ser la otra. De hecho, es una observación común que una ampliación (o reducción) de una figura hace que su área crezca (o disminuya) al igual que su perímetro. Por ejemplo, si se dibuja un campo en un mapa a escala 1/10 000 , el perímetro real del campo se puede calcular multiplicando el perímetro del dibujo por 10 000. El área real es 10 000 ² veces el área de la figura en el mapa. Sin embargo, no existe relación entre el área y el perímetro de una figura ordinaria. Por ejemplo, el perímetro de un rectángulo de 0,001 de ancho y 1000 de largo es ligeramente superior a 2000, mientras que el perímetro de un rectángulo de 0,5 de ancho y 2 de largo es 5. Ambas áreas son iguales a 1.

Proclo (siglo V) informó que los campesinos griegos dividían los campos de manera "justa" basándose en sus perímetros. ^{[ 2 ]} Sin embargo, la producción de un campo es proporcional a su área, no a su perímetro, por lo que muchos campesinos ingenuos pudieron haber recibido campos con perímetros largos pero áreas pequeñas (y, por lo tanto, pocas cosechas).

Si se quita una pieza de una figura, su área disminuye, pero su perímetro puede no permanecer igual. La envoltura convexa de una figura puede visualizarse como la forma que adquiere una goma elástica al estirarla. ^{[ 3 ]} En la imagen animada de la izquierda, todas las figuras tienen la misma envoltura convexa: el primer hexágono grande .

El problema isoperimétrico consiste en determinar la figura con la mayor área entre aquellas que tienen un perímetro dado. La solución es intuitiva: es el círculo . En particular, esto puede usarse para explicar por qué las gotas de grasa sobre la superficie de un caldo son circulares.

Este problema puede parecer sencillo, pero su demostración matemática requiere teoremas complejos. El problema isoperimétrico a veces se simplifica restringiendo el tipo de figuras a utilizar. En particular, se trata de encontrar el cuadrilátero , el triángulo u otra figura con la mayor área entre aquellas de la misma forma y con un perímetro dado. La solución al problema isoperimétrico del cuadrilátero es el cuadrado , y la solución al problema del triángulo es el triángulo equilátero . En general, el polígono con n lados que tiene la mayor área y un perímetro dado es el polígono regular , que se aproxima más a un círculo que cualquier polígono irregular con el mismo número de lados.

La palabra proviene del griego περίμετρος perimetros , de περί peri "alrededor" y μέτρον metron "medida".

• Weisstein, Eric W. "Perímetro" . MathWorld .