tomografía de estados cuánticos invariante bajo permutaciones

La tomografía de estados cuánticos invariante a las permutaciones (tomografía de estados cuánticos PI) es un método para la determinación parcial del estado de un sistema cuántico compuesto por muchos subsistemas.

En general, el número de parámetros necesarios para describir el estado mecánico cuántico de un sistema que consta de${\displaystyle N}$Los subsistemas están aumentando exponencialmente con${\displaystyle N.}$Por ejemplo, para un${\displaystyle N}$- sistema de cúbits ,${\displaystyle 2^{(N+1)}-2}$Se necesitan parámetros reales para describir el vector de estado de un estado puro, o ${\displaystyle 2^{2N}-1}$Se necesitan parámetros reales para describir la matriz de densidad de un estado mixto . La tomografía de estados cuánticos es un método para determinar todos estos parámetros a partir de una serie de mediciones en muchos sistemas independientes e idénticos. Por lo tanto, en el caso de la tomografía de estados cuánticos completa , el número de mediciones necesarias aumenta exponencialmente con el número de partículas o cúbits.

Para sistemas grandes, la determinación del estado cuántico completo ya no es posible en la práctica, y uno está interesado en métodos que determinen solo un subconjunto de los parámetros necesarios para caracterizar el estado cuántico que aún contiene información importante sobre el estado. La tomografía cuántica invariante permutacional es uno de esos métodos. La tomografía cuántica PI solo mide${\displaystyle \varrho _{\rm {PI}},}$la parte invariante permutacional de la matriz de densidad. Para el procedimiento, basta con realizar mediciones locales en los subsistemas. Si el estado es cercano a ser invariante permutacionalmente, lo cual ocurre en muchas situaciones prácticas, entonces${\displaystyle \varrho _{\rm {PI}}}$está cerca de la matriz de densidad del sistema. Incluso si el estado no es invariante permutacionalmente,${\displaystyle \varrho _{\rm {PI}}}$aún puede utilizarse para la detección de entrelazamiento y el cálculo de valores esperados de operadores relevantes. Por lo tanto, el procedimiento no asume la invariancia permutacional del estado cuántico. El número de parámetros reales independientes de${\displaystyle \varrho _{\rm {PI}}}$para${\displaystyle N}$Los cúbits escalan como${\displaystyle \sim N^{3}.}$El número de configuraciones de medición local se escala como ${\displaystyle \sim N^{2}.}$Por lo tanto, la tomografía cuántica invariante permutacionalmente se considera manejable incluso para grandes${\displaystyle N}$En otras palabras, la tomografía cuántica invariante a las permutaciones se considera escalable .

El método puede utilizarse, por ejemplo, para la reconstrucción de las matrices de densidad de sistemas con más de 10 partículas, para sistemas fotónicos, para iones fríos atrapados o sistemas en átomos fríos .

La tomografía de estado PI reconstruye la parte invariante permutacional de la matriz de densidad, que se define como la mezcla igual de los estados cuánticos obtenidos después de permutar las partículas de todas las maneras posibles ^{[ 1 ].}

${\displaystyle \varrho _ {\rm {PI}}={\frac {1}{N!}}\sum _ {k}\Pi _ {k}\varrho \Pi _ {k}^{\dagger},}$

dónde${\displaystyle \Pi _{k}}$denota la k -ésima permutación. Por ejemplo, para${\displaystyle N=2}$Tenemos dos permutaciones.${\displaystyle \Pi _{1}}$deja el orden de las dos partículas sin cambios.${\displaystyle \Pi _{2}}$intercambia las dos partículas. En general, para${\displaystyle N}$partículas, tenemos${\displaystyle N!}$permutaciones.

Es fácil ver que${\displaystyle \varrho _{\rm {PI}}}$es la matriz de densidad que se obtiene si no se tiene en cuenta el orden de las partículas. Esto corresponde a un experimento en el que un subconjunto de${\displaystyle N}$Las partículas se seleccionan aleatoriamente de un conjunto mayor. El estado de este grupo más pequeño es, por supuesto, invariante ante permutaciones.

El número de grados de libertad de${\displaystyle \varrho _{\rm {PI}}}$escala polinómicamente con el número de partículas. Para un sistema de${\displaystyle N}$cúbits (espín-${\displaystyle 1/2}$partículas) el número de grados de libertad reales es ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\binom {N+3}{N}}-1={\frac {1}{6}}(N^{3}+6N^{2}+11N).}$

Para determinar estos grados de libertad, ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\binom {N+2}{N}}={\frac {(N+2)(N+1)}{2}}={\frac {1}{2}}(N^{2}+3N+2)}$

Se necesitan ajustes de medición locales . Aquí, los ajustes de medición locales significan que el operador${\displaystyle A_{j}}$debe medirse en cada partícula. Al repetir la medición y recopilar suficientes datos, se pueden determinar todas las correlaciones de dos puntos, tres puntos y de orden superior.

Hasta ahora hemos comentado que el número de mediciones aumenta polinómicamente con el número de cúbits .

Sin embargo, para utilizar el método en la práctica, todo el procedimiento tomográfico debe ser escalable. Por lo tanto, necesitamos almacenar el estado en la computadora de una manera escalable. Claramente, la forma directa de almacenar el${\displaystyle N}$-estado de cúbit en un${\displaystyle 2^{N}\times 2^{N}}$La matriz de densidad no es escalable. Sin embargo,${\displaystyle \varrho _{\rm {PI}}}$es una matriz diagonal por bloques debido a su invariancia permutacional y por lo tanto se puede almacenar de manera mucho más eficiente. ^{[ 3 ]}

Además, es bien sabido que, debido a fluctuaciones estadísticas y errores sistemáticos, la matriz de densidad obtenida a partir del estado medido mediante inversión lineal no es semidefinida positiva y presenta algunos autovalores negativos. Un paso importante en una tomografía típica es el ajuste de una matriz de densidad física, es decir, semidefinida positiva, a los datos tomográficos. Este paso suele representar un cuello de botella en el proceso general de la tomografía de estado completo. Sin embargo, la tomografía PI, como acabamos de comentar, permite almacenar la matriz de densidad de forma mucho más eficiente, lo que también permite un ajuste eficiente mediante optimización convexa , que además garantiza que la solución sea un óptimo global. ^{[ 3 ]}

La tomografía PI se utiliza comúnmente en experimentos que involucran estados invariantes permutacionalmente. Si la matriz de densidad${\displaystyle \varrho _{\rm {PI}}}$La obtenida por tomografía PI está entrelazada , entonces la matriz de densidad del sistema,${\displaystyle \varrho }$también está entrelazado. Por esta razón, los métodos habituales para la verificación del entrelazamiento, como los testigos de entrelazamiento o el criterio de Peres-Horodecki , pueden aplicarse a${\displaystyle \varrho _{\rm {PI}}}$Sorprendentemente, la detección de entrelazamiento llevada a cabo de esta manera no presupone que el propio sistema cuántico sea invariante ante permutaciones.

Además, el valor esperado de cualquier operador invariante permutacionalmente es el mismo para${\displaystyle \varrho }$y para${\displaystyle \varrho _{\rm {PI}}.}$Ejemplos muy relevantes de tales operadores son los proyectores a estados simétricos, como el estado de Greenberger-Horne-Zeilinger , el estado W y los estados de Dicke simétricos. Por lo tanto, podemos obtener la fidelidad con respecto a los estados cuánticos mencionados anteriormente como el valor esperado de los proyectores correspondientes en el estado.${\displaystyle \varrho _{\rm {PI}}.}$

La fidelidad cuántica de${\displaystyle \varrho _{\rm {PI}}}$y${\displaystyle \varrho }$puede ser acotado desde abajo como ^{[ 1 ]}

${\displaystyle F(\varrho ,\varrho _{\rm {PI}})\geq \langle P_{s}\rangle _{\varrho }^{2},}$

dónde${\displaystyle P_{s}}$es el proyector al subespacio simétrico. Para estados simétricos,${\displaystyle {\langle }P_{s}\rangle =1}$se cumple. De esta manera, podemos acotar inferiormente la diferencia conociendo solo${\displaystyle \varrho _{\rm {PI}}.}$

Existen otros enfoques para la tomografía que requieren menos mediciones que la tomografía de estado cuántico completa. Como hemos comentado, la tomografía PI suele ser más útil para estados cuánticos que son casi invariantes a la permutación. La detección comprimida es especialmente adecuada para estados de bajo rango. ^{[ 4 ]} La tomografía de estado de producto matricial es más adecuada para, por ejemplo, estados de clúster y estados fundamentales de modelos de espín. ^{[ 5 ]} La tomografía invariante a la permutación se puede combinar con la detección comprimida. En este caso, el número de configuraciones de medición local necesarias puede ser incluso menor que para la tomografía invariante a la permutación. ^{[ 2 ]}

La tomografía invariante permutacional se ha probado experimentalmente para un estado de Dicke simétrico de cuatro cúbits [ ^{1 ]} y también para un estado de Dicke simétrico de seis cúbits en fotones, y se ha comparado con la tomografía de estado completo y la detección comprimida ^{[ 2 ] .} Una simulación de la tomografía invariante permutacional muestra que la reconstrucción de una matriz de densidad semidefinida positiva de 20 cúbits a partir de datos medidos es posible en pocos minutos en un ordenador estándar ^{[ 3 ]} . También se ha probado el método híbrido que combina la tomografía invariante permutacional y la detección comprimida ^{[ 2 ] .}