Petrie dual

El polígono de Petrie del dodecaedro es un decágono sesgado . Visto desde el eje de simetría quíntuple del sólido, parece un decágono regular. Cada par de lados consecutivos pertenece a un pentágono (pero ningún triple).

En la teoría topológica de grafos , el dual de Petrie de un grafo incrustado (en una 2- variedad con todas las caras discos) es otro grafo incrustado que tiene como caras los polígonos de Petrie de la primera incrustación. ^{[ 1 ]}

El dual de Petrie también se llama petrial , y el dual de Petrie de un grafo incrustado${\displaystyle G}$puede ser denotado${\displaystyle G^{\pi }}$. ^{[ 2 ]} Se puede obtener a partir de un sistema de rotación con signo o una representación gráfica de cinta de la incrustación girando cada arista de la incrustación.

Al igual que el grafo dual habitual , repetir la operación dual de Petrie dos veces devuelve la incrustación de superficie original. A diferencia del grafo dual habitual (que es una incrustación de un grafo generalmente diferente en la misma superficie), el dual de Petrie es una incrustación del mismo grafo en una superficie generalmente diferente. ^{[ 1 ]}

La dualidad de superficie y la dualidad de Petrie son dos de las seis operaciones de Wilson y, juntas, generan el grupo de estas operaciones. ^{[ 3 ]}

Aplicar el dual de Petrie a un poliedro regular produce un mapa regular . ^{[ 2 ]} El número de caras h -gonales sesgadas es g /2 h , donde g es el orden del grupo y h es el número de Coxeter del grupo.

Por ejemplo, el dual de Petrie de un cubo (un grafo bipartito con ocho vértices y doce aristas, incrustado en una esfera con seis caras cuadradas) tiene cuatro ^{[ 4 ]} caras hexagonales, los ecuadores del cubo. Topológicamente, forma una incrustación del mismo grafo en un toro. ^{[ 1 ]}

Los mapas regulares obtenidos de esta manera son los siguientes.

• El tetraedro petrial , {3,3} ^π , tiene 4 vértices, 6 aristas y 3 caras cuadradas sesgadas. Con una característica de Euler , χ , de 1, es topológicamente idéntico al hemicubo , {4,3}/2.
• El cubo petrial , {4,3} ^π , tiene 8 vértices, 12 aristas y 4 hexágonos oblicuos, coloreados aquí de rojo, verde, azul y naranja. Con una característica de Euler de 0, también se puede ver en las cuatro caras hexagonales del teselado hexagonal como tipo {6,3} _(2,0) .
• El octaedro petrial , {3,4} ^π , tiene 6 vértices, 12 aristas y 4 caras hexagonales sesgadas. Tiene una característica de Euler de −2 y tiene una correspondencia con el teselado hexagonal hiperbólico de orden 4 , como tipo {6,4} ₃ .
• El dodecaedro petrial , {5,3} ^π , tiene 20 vértices, 30 aristas y 6 caras decagonales sesgadas, y una característica de Euler de −4, relacionada con el teselado hiperbólico como tipo {10,3} ₅ .
• El icosaedro petrial , {3,5} ^π , tiene 12 vértices, 30 aristas y 6 caras decagonales sesgadas, y una característica de Euler de −12, relacionada con el teselado hiperbólico como tipo {10,5} ₃ .

También existen 4 petriales de los poliedros de Kepler-Poinsot :

• El gran dodecaedro petrial , {5,5/2} ^π , tiene 12 vértices, 30 aristas y 10 caras hexagonales oblicuas con una característica de Euler , χ , de -8.
• El pequeño dodecaedro estrellado petrial , {5/2,5} ^π , tiene 12 vértices, 30 aristas y 10 caras hexagonales sesgadas con χ de -8.
• El gran icosaedro petrial , {3,5/2} ^π , tiene 12 vértices, 30 aristas y 6 caras de decagramas sesgados con χ de -12.
• El gran dodecaedro estrellado petrial , {5/2,3} ^π , tiene 20 vértices, 30 aristas y 6 caras de decagramas sesgados con χ de -4.