La conjetura de Catalan

La conjetura de Catalan (o teorema de Mihăilescu ) es un teorema de la teoría de números que fue conjeturado por el matemático Eugène Charles Catalan en 1842 y demostrado en 2002 por Preda Mihăilescu en la Universidad de Paderborn . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Los enteros 2 ³ y 3 ² son dos potencias perfectas (es decir, potencias con exponente mayor que uno) de números naturales cuyos valores (8 y 9, respectivamente) son consecutivos. El teorema establece que este es el único caso de dos potencias perfectas consecutivas. Es decir, que

La historia del problema se remonta al menos a Gersonides , quien demostró un caso especial de la conjetura en 1343 donde ( x , y ) se restringió a (2, 3) o (3, 2). El primer avance significativo después de que Catalan hiciera su conjetura se produjo en 1850 cuando Victor-Amédée Lebesgue trató el caso b = 2. ^{[ 3 ]}

En 1976, Robert Tijdeman aplicó el método de Baker en la teoría de la trascendencia para establecer una cota para a , b y utilizó resultados existentes que acotaban x , y en términos de a , b para dar una cota superior efectiva para x , y , a , b . Michel Langevin calculó un valor de${\displaystyle \exp \exp \exp \exp 730\approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}}$para la cota, ^{[ 4 ]} resolviendo la conjetura de Catalan para todos los casos excepto un número finito.

La conjetura de Catalan fue demostrada por Preda Mihăilescu en abril de 2002. La demostración se publicó en el Journal für die reine und angewandte Mathematik en 2004. Hace un uso extensivo de la teoría de campos ciclotómicos y módulos de Galois . Yuri Bilu presentó una exposición de la demostración en el Séminaire Bourbaki . ^{[ 5 ]} En 2005, Mihăilescu publicó una demostración simplificada. ^{[ 6 ]}

La conjetura de Pillai se refiere a una diferencia general de potencias perfectas (secuencia A001597 en la OEIS ) : es un problema abierto propuesto inicialmente por S.S. Pillai , quien conjeturó que las brechas en la secuencia de potencias perfectas tienden al infinito. Esto equivale a decir que cada entero positivo aparece solo un número finito de veces como una diferencia de potencias perfectas: más generalmente, en 1931 Pillai conjeturó que para enteros positivos fijos A , B , C la ecuación${\displaystyle Ax^{n}-By^{m}=C}$tiene solo un número finito de soluciones ( x , y , m , n ) con ( m , n ) ≠ (2, 2). Pillai demostró que para A , B , x , y fijos y para cualquier λ menor que 1, tenemos     ${\displaystyle |Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}}$uniformemente en m y n . ^{[ 7 ]}

La conjetura general se derivaría de la conjetura ABC . ^{[ 7 ] [ 8 ]}

La conjetura de Pillai implica que para cada número natural n , existen un número finito de pares de potencias perfectas con diferencia n . La lista que aparece a continuación muestra, para n  ≤  64, todas las soluciones para potencias perfectas menores que ^10¹⁸ , tales que el exponente de ambas potencias es mayor que 1. El número de dichas soluciones para cada n se encuentra en la secuencia A076427 del OEIS . Véase también la secuencia A103953 del OEIS para la solución más pequeña ( > 0) . 

• Bilu, Yuri (2004), "La conjetura del catalán (después de Mihăilescu)", Astérisque , 294 : vii, 1– 26, MR 2111637 
• Catalán, Eugene (1844), "Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur" , J. Reine Angew. Matemáticas. (en francés), 27 : 192, doi : 10.1515/crll.1844.27.192 , SEÑOR 1578392 
• Cohen, Henri (2005). Démonstration de la conjecture de Catalan [ Una prueba de la conjetura catalana ] . Théorie algorítmica des nombres et équations diophantiennes (en francés). Palacio: Éditions de l'École Polytechnique. págs. 1 a 83. ISBN  2-7302-1293-0. SR 0222434 . 
• Metsänkylä, Tauno (2004), "La conjetura de Catalan: otro antiguo problema diofántico resuelto" (PDF) , Bulletin of the American Mathematical Society , 41 (1): 43–57 , doi : 10.1090/S0273-0979-03-00993-5 , MR 2015449 
• Mihăilescu, Preda (2004), "Unidades ciclotómicas primarias y una demostración de la conjetura de Catalan", J. Reine Angew. Math. , 2004 (572): 167– 195, doi : 10.1515/crll.2004.048 , MR 2076124 
• Mihăilescu, Preda (2005), "Reflexión, números de Bernoulli y la demostración de la conjetura de Catalan" (PDF) , Congreso Europeo de Matemáticas , Zúrich: Eur. Math. Soc.: 325–340 , MR 2185753 , archivado del original (PDF) el 26 de junio de 2022. 
• Ribenboim, Paulo (1994), La conjetura de Catalan , Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-587170-8, MR 1259738  Es anterior a la prueba de Mihăilescu.
• Tijdeman, Robert (1976), "Sobre la ecuación de Catalan" (PDF) , Acta Arith. , 29 (2): 197–209 , doi : 10.4064/aa-29-2-197-209 , MR 0404137 

• Weisstein, Eric W. "La conjetura de Catalan" . MathWorld .
• MathTrek de Ivars Peterson
• Sobre la diferencia de potencias perfectas
• Jeanine Daems: Una prueba ciclotómica de la conjetura de Catalan