El fenómeno Pinsky

En matemáticas, el fenómeno de Pinsky es un resultado del análisis de Fourier . ^{[ 1 ]} Este fenómeno fue descubierto por Mark Pinsky de la Universidad Northwestern . Implica la inversión esférica de la transformada de Fourier . El fenómeno implica una falta de convergencia en un punto debido a una discontinuidad en el límite. Esta falta de convergencia en el fenómeno de Pinsky ocurre lejos del límite de la discontinuidad, en lugar de en la discontinuidad misma, como se observa en el fenómeno de Gibbs . Este fenómeno no local es causado por un efecto de lente gravitacional.

Sea g ( x ) = 1 para | x |  < c en 3 dimensiones, con g ( x ) = 0 en cualquier otro caso. El salto en | x | = c provocará un comportamiento oscilatorio de las sumas parciales esféricas, lo que impide la convergencia en el centro de la esfera, así como la posibilidad de inversión de Fourier en x = 0. Dicho de otro modo, las sumas parciales esféricas de una integral de Fourier de la función indicadora de una esfera divergen en el centro de la misma , pero convergen en cualquier otro punto a la función indicadora deseada. Este ejemplo prototipo fue denominado «fenómeno de Pinsky» por Jean-Pierre Kahane , CRAS, 1995. 

Este prototipo puede generalizarse adecuadamente a expansiones integrales de Fourier en dimensiones superiores, tanto en el espacio euclidiano como en otros espacios simétricos de rango uno no compactos . También se relacionan las expansiones de autofunciones en una bola geodésica en un espacio simétrico de rango uno, pero es necesario considerar las condiciones de contorno. Pinsky y otros también presentan algunos resultados sobre el comportamiento asintótico de la aproximación de Fejér en una dimensión, inspirados en el trabajo de Bump, Persi Diaconis y J.  B.  Keller.

• Las fórmulas matemáticas que describen el fenómeno de Pinsky se encuentran en las páginas 142 a 143, y las generalizaciones en las páginas 143 y siguientes, en el libro Introducción al análisis de Fourier y las ondículas , de Mark A. Pinsky, 2002, ISBN. 978-0-534-37660-4Editorial: Thomson Brooks/Cole.