Ecuaciones del movimiento del pistón

A partir de la geometría mostrada en el diagrama anterior, se definen las siguientes variables:

${\displaystyle l}$longitud de la biela (distancia entre el pasador del pistón y el pasador del cigüeñal )

${\displaystyle r}$radio de la manivela (distancia entre el centro de la manivela y el muñón de la manivela, es decir, la mitad de la carrera )

${\displaystyle A}$Ángulo del cigüeñal (desde el eje central del orificio del cilindro en el punto muerto superior )

${\displaystyle x}$Posición del pasador del pistón (distancia hacia arriba desde el centro del cigüeñal a lo largo del eje central del cilindro)

También se definen las siguientes variables:

${\displaystyle v}$Velocidad del pasador del pistón (hacia arriba desde el centro del cigüeñal a lo largo del eje central del cilindro)

${\displaystyle a}$aceleración del pasador del pistón (hacia arriba desde el centro del cigüeñal a lo largo del eje central del cilindro)

${\displaystyle \omega }$velocidad angular de la manivela (en la misma dirección/sentido que el ángulo de la manivela)${\displaystyle A}$)

La frecuencia ( Hz ) de rotación del cigüeñal se relaciona con la velocidad del motor ( revoluciones por minuto ) de la siguiente manera:

${\displaystyle \nu ={\frac {\mathrm {RPM} }{60}}}$

Por lo tanto, la velocidad angular ( radianes /s) del cigüeñal es:

${\displaystyle \omega =2\pi \cdot \nu =2\pi \cdot {\frac {\mathrm {RPM} }{60}}}$

Como se muestra en el diagrama, el muñón del cigüeñal , el centro del cigüeñal y el muñón del pistón forman el triángulo NOP. Según la ley del coseno, se observa que:

${\displaystyle l^{2}=r^{2}+x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A}$

dónde${\displaystyle l}$y${\displaystyle r}$son constantes y${\displaystyle x}$varía como${\displaystyle A}$cambios.

Las ecuaciones en el dominio angular del movimiento alternativo del pistón se derivan de las ecuaciones geométricas del sistema de la siguiente manera.

Posición con respecto al ángulo de la manivela (a partir de la relación triangular, completando el cuadrado , utilizando la identidad pitagórica y reordenando):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}l^{2}=r^{2}+x^{2}-2\cdot r\cdot x\cdot \cos A\\l^{2}-r^{2}=(xr\cdot \cos A)^{2}-r^{2}\cdot \cos ^{2}A\\l^{2}-r^{2}+r^{2}\cdot \cos ^{2}A=(xr\cdot \cos A)^{2}\\l^{2}-r^{2}\cdot (1-\cos ^{2}A)=(xr\cdot \cos A)^{2}\\l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A=(xr\cdot \cos A)^{2}\\x=r\cdot \cos A+{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}\\\end{array}}}$

Velocidad con respecto al ángulo de la manivela (calcular la primera derivada , utilizando la regla de la cadena ):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x'&=&{\frac {dx}{dA}}\\&=&-r\cdot \sin A+{\frac {({\frac {1}{2}})\cdot (-2)\cdot r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}\\&=&-r\cdot \sin A-{\frac {r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}\\\end{array}}}$

Aceleración con respecto al ángulo de la manivela (calcular la segunda derivada , utilizando la regla de la cadena y la regla del cociente ):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}x''&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\\&=&-r\cdot \cos A-{\frac {r^{2}\cdot \cos ^{2}A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}-{\frac {-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}-{\frac {r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A\cdot \left(-{\frac {1}{2}}\right)\cdot (-2)\cdot r^{2}\cdot \sin A\cdot \cos A}{\left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}\right)^{3}}}\\&=&-r\cdot \cos A-{\frac {r^{2}\cdot \left(\cos ^{2}A-\sin ^{2}A\right)}{\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}}-{\frac {r^{4}\cdot \sin ^{2}A\cdot \cos ^{2}A}{\left({\sqrt {l^{2}-r^{2}\cdot \sin ^{2}A}}\right)^{3}}}\\\end{array}}}$

Las ecuaciones en el dominio angular anteriores demuestran que el movimiento del pistón (conectado a la biela y la manivela) no es un movimiento armónico simple , sino que se ve modificado por el movimiento de la biela al oscilar con la rotación de la manivela. Esto contrasta con el mecanismo de yugo escocés , que produce directamente un movimiento armónico simple.

A continuación se muestran ejemplos de gráficos de las ecuaciones en el dominio angular.

El ángulo está relacionado con el tiempo mediante la velocidad angular.${\displaystyle \omega }$como sigue:

${\displaystyle A=\omega t\,}$

Si la velocidad angular${\displaystyle \omega }$es constante, entonces:

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}=\omega }$

y:

${\displaystyle {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}=0}$

Las ecuaciones en el dominio del tiempo del movimiento alternativo del pistón se derivan de las ecuaciones en el dominio del ángulo de la siguiente manera.

La posición con respecto al tiempo es simplemente:

${\displaystyle x\,}$

Velocidad con respecto al tiempo (utilizando la regla de la cadena ):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}v&=&{\frac {dx}{dt}}\\&=&{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {dA}{dt}}\\&=&{\frac {dx}{dA}}\cdot \ \omega \\&=&x'\cdot \omega \\\end{array}}}$

Aceleración con respecto al tiempo (utilizando la regla de la cadena y la regla del producto , y las derivadas de la velocidad angular ):

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}a&=&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d}{dt}}{\frac {dx}{dt}}\\&=&{\frac {d}{dt}}({\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {dA}{dt}})\\&=&{\frac {d}{dt}}({\frac {dx}{dA}})\cdot {\frac {dA}{dt}}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d}{dt}}({\frac {dA}{dt}})\\&=&{\frac {d}{dA}}({\frac {dx}{dA}})\cdot ({\frac {dA}{dt}})^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\cdot ({\frac {dA}{dt}})^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot {\frac {d^{2}A}{dt^{2}}}\\&=&{\frac {d^{2}x}{dA^{2}}}\cdot \omega ^{2}+{\frac {dx}{dA}}\cdot 0\\&=&x''\cdot \omega ^{2}\\\end{array}}}$

De lo anterior se desprende que las ecuaciones en el dominio del tiempo son simplemente formas escaladas de las ecuaciones en el dominio del ángulo:${\displaystyle x}$no está escalado,${\displaystyle x'}$se escala por ω y${\displaystyle x''}$se escala por ω² .

Para convertir las ecuaciones del dominio angular al dominio del tiempo, primero reemplace A con ωt y luego escale para la velocidad angular de la siguiente manera: multiplique${\displaystyle x'}$por ω y multiplicar${\displaystyle x''}$por ω² .

Los máximos y mínimos de velocidad (véanse los cruces por cero de la aceleración en los gráficos siguientes) dependen de la longitud de la varilla.${\displaystyle l}$y medio golpe${\displaystyle r}$y no ocurren cuando el ángulo de la manivela${\displaystyle A}$es de ángulo recto.

Los máximos y mínimos de velocidad no necesariamente ocurren cuando la manivela forma un ángulo recto con la biela. Existen contraejemplos que refutan la afirmación de que "los máximos y mínimos de velocidad solo ocurren cuando el ángulo entre la manivela y la biela es de 90 grados" .

Los gráficos que se muestran a continuación ilustran las ecuaciones en el dominio angular para una longitud de varilla constante.${\displaystyle l}$(6,0") y varios valores de media carrera${\displaystyle r}$(1,8", 2,0", 2,2"). Nótese en los gráficos que L es la longitud de la varilla.${\displaystyle l}$y R es medio trazo${\displaystyle r}$.

A continuación se muestra una animación de las ecuaciones de movimiento del pistón con los mismos valores de longitud de la biela y radio de la manivela que en los gráficos anteriores.