Teorema de Miguel

El teorema de Miquel es un resultado en geometría , que lleva el nombre de Auguste Miquel , ^{[ 1 ]} relativo a la intersección de tres círculos, cada uno trazado a través de un vértice de un triángulo y dos puntos en sus lados adyacentes. Es uno de los varios resultados sobre círculos en geometría euclidiana debidos a Miquel, cuyo trabajo fue publicado en la revista recién fundada de Liouville, Journal de mathématiques pures et appliquées .

Formalmente, sea ABC un triángulo con puntos arbitrarios A´ , B´ y C´ en los lados BC , AC y AB respectivamente (o sus extensiones ). Dibujemos tres circunferencias circunscritas ( círculos de Miquel ) a los triángulos AB´C´ , A´BC´ y A´B´C . El teorema de Miquel establece que estas circunferencias se intersecan en un único punto M , llamado punto de Miquel . Además, los tres ángulos MA´B , MB´C y MC´A (en verde en el diagrama) son todos iguales, al igual que los tres ángulos suplementarios MA´C , MB´A y MC´B . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

El teorema (y su corolario) se derivan de las propiedades de los cuadriláteros cíclicos . Sean las circunferencias circunscritas de A'B'C y AB'C' las que se intersecan en${\displaystyle M\neq B'.}$Entonces${\displaystyle \angle A'MC'=2\pi -\angle B'MA'-\angle C'MB'=2\pi -(\pi -C)-(\pi -A)=A+C=\pi -B,}$Por lo tanto, BA'MC' es cíclico como se deseaba.

Si en el enunciado del teorema de Miquel los puntos A´ , B´ y C´ forman un triángulo (es decir, no son colineales ), entonces el teorema se denominó Teorema del Pivote en Forder (1960 , p. 17) . ^{[ 4 ]} (En el diagrama, estos puntos están etiquetados como P , Q y R ). 

Si A´ , B´ y C´ son colineales, entonces el punto de Miquel está en la circunferencia circunscrita del ∆ABC y, a la inversa, si el punto de Miquel está en esta circunferencia circunscrita, entonces A´ , B´ y C´ están en una línea. ^{[ 5 ]}

Si las distancias fraccionarias de A´ , B´ y C´ a lo largo de los lados BC ( a ), CA ( b ) y AB ( c ) son d _a , d _b y d _c , respectivamente, el punto de Miquel, en coordenadas trilineales ( x  : y  : z ), viene dado por:

${\displaystyle x=a\left(-a^{2}d_{a}d_{a}'+b^{2}d_{a}d_{b}+c^{2}d_{a}'d_{c}'\right)}$

${\displaystyle y=b\left(a^{2}d_{a}'d_{b}'-b^{2}d_{b}d_{b}'+c^{2}d_{b}d_{c}\right)}$

${\displaystyle z=c\left(a^{2}d_{a}d_{c}+b^{2}d_{b}'d_{c}'-c^{2}d_{c}d_{c}'\right),}$

donde d' _a = 1 - d _a , etc.

En el caso d _a = d _b = d _c = ½ el punto de Miquel es el circuncentro (cos α  : cos β  : cos γ ) .

El teorema se puede invertir para decir: para tres circunferencias que se intersecan en M , se puede trazar una línea desde cualquier punto A de una circunferencia, a través de su intersección C' con otra, para obtener B (en la segunda intersección). B se conecta de manera similar, a través de la intersección en A' de la segunda y tercera circunferencias, dando como resultado el punto C. Los puntos C , A y el punto de intersección restante, B' , serán colineales, y el triángulo ABC siempre pasará por las intersecciones de las circunferencias A' , B' y C' .

Si el triángulo inscrito XYZ es similar al triángulo de referencia ABC , entonces el punto M de concurrencia de los tres círculos queda fijo para todos los XYZ de este tipo . ^{[ 6 ] : p. 257}

Las circunferencias circunscritas de los cuatro triángulos de un cuadrilátero completo se encuentran en un punto M. ^{[ 7 ]} En el diagrama anterior , estos son ∆ABF, ∆CDF, ∆ADE y ∆BCE.

Este resultado fue anunciado, en dos líneas, por Jakob Steiner en el número de 1827/1828 de los Annales de Mathématiques de Gergonne , ^{[ 8 ]} pero Miquel dio una demostración detallada. ^{[ 7 ]}

Sea ABCDE un pentágono convexo. Extendemos todos sus lados hasta que se intersecan en cinco puntos F, G, H, I, K y trazamos las circunferencias circunscritas de los cinco triángulos CFD, DGE, EHA, AIB y BKC. Entonces, los segundos puntos de intersección (distintos de A, B, C, D, E), es decir, los nuevos puntos M, N, P, R y Q, son concíclicos (se encuentran sobre una circunferencia). ^{[ 9 ]} Véase el diagrama.

El resultado recíproco se conoce como el teorema de los cinco círculos .

Dados los puntos A , B , C y D en una circunferencia, y las circunferencias que pasan por cada par de puntos adyacentes, las intersecciones alternas de estas cuatro circunferencias en W , X , Y y Z se encuentran en una circunferencia común. Esto se conoce como el teorema de las seis circunferencias . ^{[ 10 ]} También se conoce como el teorema de las cuatro circunferencias y, aunque generalmente se atribuye a Jakob Steiner, la única demostración publicada conocida fue dada por Miquel. ^{[ 11 ]} David G. Wells se refiere a esto como el teorema de Miquel . ^{[ 12 ]}

También existe un análogo tridimensional, en el que las cuatro esferas que pasan por un punto de un tetraedro y puntos en las aristas del tetraedro se intersecan en un punto común. ^{[ 3 ]}

• teorema del haz
• Teoremas del círculo de Clifford
• Configuración de Miguel

• Coxeter, HSM ; Greitzer, SL (1967), Geometry Revisited , New Mathematical Library , vol.  19, Washington, DC : Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-619-2, Zbl 0166.16402 
• Forder, HG (1960), Geometría , Londres: Hutchinson
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometría a través de su historia , Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
• Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometría / Un curso completo , Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Smart, James R. (1997), Geometrías modernas (5.ª  ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
• Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry , Nueva York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6, Zbl 0856.00005 

• Weisstein, Eric W. "Teorema de Miquel" . MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Teorema de los cinco círculos de Miguel" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Teorema del pentagrama de Miquel" . MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Teorema del pivote" . MundoMatemático .
• Teorema de Miguel , una actividad de aprendizaje con demostración guiada en Dynamic Geometry Sketches.