Conectividad de píxeles

En el procesamiento de imágenes , la conectividad de píxeles es la forma en que los píxeles en imágenes bidimensionales (o hipervóxeles en imágenes n- dimensionales) se relacionan con sus vecinos .

Formulación

Para especificar un conjunto de conectividades, se deben especificar la dimensión $N$ y el ancho del vecindario $n$ . La dimensión de un vecindario es válida para cualquier dimensión. $n\geq 1$ . Un ancho común es 3, lo que significa que a lo largo de cada dimensión, la celda central será adyacente a 1 celda a cada lado para todas las dimensiones.

Dejar $M_{N}^{n}$ representar un vecindario hipercúbico N -dimensional con tamaño en cada dimensión de $n=2k+1,k\in \mathbb {Z}$

Dejar ${\vec {q}}$ representa un vector discreto en el primer ortante desde el elemento estructurante central hasta un punto en el límite de $M_{N}^{n}$ Esto implica que cada elemento $q_{i}\in \{0,1,...,k\},\forall i\in \{1,2,...,N\}$ y que al menos un componente $q_{i}=k$

Dejar $S_{N}^{d}$ representar una hiperesfera N -dimensional con radio de $d=\left\Vert {\vec {q}}\right\Vert$ .

Definir la cantidad de elementos en la hiperesfera $S_{N}^{d}$ dentro del vecindario $M_{N}^{n}$ como $E.$ Para un dado ${\vec {q}}$ , $E$ será igual a la cantidad de permutaciones de ${\vec {q}}$ multiplicado por el número de ortantes.

Dejar $n_{j}$ representa la cantidad de elementos en el vector ${\vec {q}}$ que toman el valor $j$ . $n_{j}=\sum _{i=1}^{N}(q_{i}=j)$

El número total de permutaciones de ${\vec {q}}$ puede representarse mediante un multinomial como ${\frac {N!}{\prod _{j=0}^{k}n_{j}!}}$

Si alguno $q_{i}=0$ , entonces el vector ${\vec {q}}$ es compartido en común entre los ortantes. Debido a esto, el factor multiplicador en la permutación debe ajustarse desde $2^{N}$ ser $2^{N-n_{0}}$

Multiplicando el número de permutaciones por la cantidad ajustada de ortantes se obtiene:

E={\frac {N!}{\prod _{j=0}^{k}n_{j}!}}2^{N-n_{0}}

Sea $V$ el número de elementos dentro de la hiperesfera. $S_{N}^{d}$ dentro del vecindario $M_{N}^{n}$ . $V$ será igual al número de elementos en la hiperesfera más todos los elementos en las capas internas. Las capas deben estar ordenadas en orden creciente de $\left\Vert {\vec {q}}\right\Vert =r$ Supongamos que los vectores están ordenados. ${\vec {q}}$ Se les asigna un coeficiente $p$ que representa su lugar en el orden. Luego, un vector ordenado ${\vec {q}}_{p},p\in \left\{1,2,...,\sum _{x=1}^{k}(x+1)\right\}$ si todos $los r$ son únicos. Por lo tanto, $V$ se puede definir iterativamente como

V_{{\vec {q}}_{p}}=V_{{\vec {q}}_{p-1}}+E_{{\vec {q}}_{p}},V_{{\vec {q}}_{0}}=0

,

o

V_{{\vec {q}}_{p}}=\sum _{x=1}^{p}E_{{\vec {q}}_{x}}

Si algunos $\left\Vert {\vec {q}}_{x}\right\Vert =\left\Vert {\vec {q}}_{y}\right\Vert$ , entonces ambos vectores deben considerarse como el mismo $p$ tal que $V_{{\vec {q}}_{p}}=V_{{\vec {q}}_{p-1}}+E_{{\vec {q}}_{p,1}}+E_{{\vec {q}}_{p,2}},V_{{\vec {q}}_{0}}=0$ Tenga en cuenta que a cada vecindario se le deberán agregar los valores del vecindario más pequeño siguiente. Ej. $V_{{\vec {q}}=(0,2)}=V_{{\vec {q}}=(1,1)}+E_{{\vec {q}}=(0,2)}$

$V$ incluye el hipervóxel central, que no está incluido en la conectividad. Restando 1 se obtiene la conectividad del vecindario, $G$

G=V-1

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Tabla de conectividades seleccionadas

Ejemplo

Considere resolver para $G|{\vec {q}}=(0,1,1)$

En este escenario, $N=3$ ya que el vector es tridimensional. $n_{0}=1$ ya que hay uno $q_{i}=0$ . Asimismo, $n_{1}=2$ . $k=1,n=3$ desde $\max q_{i}=1$ . $d={\sqrt {0^{2}+1^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}$ El barrio es $M_{3}^{3}$ y la hiperesfera es $S_{3}^{\sqrt {2}}$

E={\frac {3!}{1!*2!*0!}}2^{3-1}={\frac {6}{2}}4=12

El básico ${\vec {q}}$ en el barrio $N_{3}^{3}$ , ${\vec {q}}_{1}=(0,0,0)$ La distancia de Manhattan entre nuestro vector y el vector básico es $\left\Vert {\vec {q}}-{\vec {q}}_{0}\right\Vert _{1}=2$ , entonces ${\vec {q}}={\vec {q}}_{3}$ . Por lo tanto,

G_{{\vec {q}}_{3}}=V_{{\vec {q}}_{3}}-1=E_{{\vec {q}}_{1}}+E_{{\vec {q}}_{2}}+E_{{\vec {q}}_{3}}-1=E_{{\vec {q}}=(0,0,0)}+E_{{\vec {q}}=(0,0,1)}+E_{{\vec {q}}=(0,1,1)}

E_{{\vec {q}}=(0,0,0)}={\frac {3!}{3!*0!*0!}}2^{3-3}={\frac {6}{6}}1=1

E_{{\vec {q}}=(0,0,1)}={\frac {3!}{2!*1!}}2^{3-2}={\frac {6}{2}}2=6

G=1+6+12-1=18

Lo cual coincide con la tabla proporcionada.

Valores más altos de k y N

La suposición de que todos $\left\Vert {\vec {q}}_{p}\right\Vert =r$ La singularidad no se cumple para valores más altos de k y N. Considere $N=2,k=5$ y los vectores ${\vec {q}}_{A}=(0,5),{\vec {q}}_{B}=(3,4)$ . A pesar de ${\vec {q}}_{A}$ está ubicado en $M_{2}^{5}$ , el valor para $r=25$ , mientras ${\vec {q}}_{B}$ está en el espacio más pequeño $M_{2}^{4}$ pero tiene un valor equivalente $r=25$ . ${\vec {q}}_{C}=(4,4)\in M_{2}^{4}$ pero tiene un valor más alto de $r=32$ que el vector mínimo en $M_{2}^{5}$ .

Para que esta suposición sea válida, ${\begin{cases}N=2,k\leq 4\\N=3,k\leq 2\\N=4,k\leq 1\end{cases}}$

Para valores más altos de $k$ y $N$ , los valores de $d$ se volverán ambiguos. Esto significa que la especificación de un $d$ dado podría referirse a múltiples ${\vec {q}}_{p}\in M_{n}^{N}$ .

Tipos de conectividad

bidimensional

4-conectados

Los píxeles conectados a 4 lados son vecinos de cada píxel que toca uno de sus bordes. Estos píxeles están conectados horizontal y verticalmente. En términos de coordenadas de píxeles, cada píxel que tiene las coordenadas

\textstyle (x\pm 1,y)

o

\textstyle (x,y\pm 1)

está conectado al píxel en $\textstyle (x,y)$ .

6-conectados

Los píxeles conectados por 6 vértices son vecinos de todos los píxeles que tocan una de sus esquinas (lo que incluye los píxeles que tocan uno de sus bordes) en una cuadrícula hexagonal o en una cuadrícula rectangular de unión por estiramiento .

Hay varias formas de mapear teselas hexagonales a coordenadas de píxeles enteros . Con un método, además de los píxeles conectados de 4, los dos píxeles en las coordenadas $\textstyle (x+1,y+1)$ y $\textstyle (x-1,y-1)$ están conectados al píxel en $\textstyle (x,y)$ .

8-conectados

Los píxeles conectados a 8 son vecinos de cada píxel que toca uno de sus bordes o esquinas. Estos píxeles están conectados horizontal, vertical y diagonalmente. Además de los píxeles conectados a 4, cada píxel con coordenadas $\textstyle (x\pm 1,y\pm 1)$ está conectado al píxel en $\textstyle (x,y)$ .

tridimensional

6-conectados

Los píxeles conectados a 6 lados son vecinos de cada píxel que toca una de sus caras. Estos píxeles están conectados a lo largo de uno de los ejes principales . Cada píxel con coordenadas $\textstyle (x\pm 1,y,z)$ , $\textstyle (x,y\pm 1,z)$ , o $\textstyle (x,y,z\pm 1)$ está conectado al píxel en $\textstyle (x,y,z)$ .

18 conectados

Los píxeles conectados de 18 son vecinos de cada píxel que toca una de sus caras o bordes. Estos píxeles están conectados a lo largo de uno o dos de los ejes principales. Además de los píxeles conectados de 6, cada píxel con coordenadas $\textstyle (x\pm 1,y\pm 1,z)$ , $\textstyle (x\pm 1,y\mp 1,z)$ , $\textstyle (x\pm 1,y,z\pm 1)$ , $\textstyle (x\pm 1,y,z\mp 1)$ , $\textstyle (x,y\pm 1,z\pm 1)$ , o $\textstyle (x,y\pm 1,z\mp 1)$ está conectado al píxel en $\textstyle (x,y,z)$ .

26 conectados

Los píxeles conectados a 26 son vecinos de cada píxel que toca una de sus caras, bordes o esquinas. Estos píxeles están conectados a lo largo de uno, dos o los tres ejes principales. Además de los píxeles conectados a 18, cada píxel con coordenadas $\textstyle (x\pm 1,y\pm 1,z\pm 1)$ , $\textstyle (x\pm 1,y\pm 1,z\mp 1)$ , $\textstyle (x\pm 1,y\mp 1,z\pm 1)$ , o $\textstyle (x\mp 1,y\pm 1,z\pm 1)$ está conectado al píxel en $\textstyle (x,y,z)$ .

Véase también

Referencias

^ Jonker, Pieter (1992). Procesamiento de imágenes morfológicas: arquitectura y diseño VLSI . Kluwer Technische Boeken BV págs. 92–96 . ISBN 978-1-4615-2804-3.

A. Rosenfeld, AC Kak (1982), Procesamiento de imágenes digitales , Academic Press, Inc., ISBN 0-12-597302-0
Cheng, CC; Peng, GJ; Hwang, WL (2009), "Ponderación de subbandas con conectividad de píxeles para codificación wavelet 3D" , IEEE Transactions on Image Processing , 18 (1): 52–62 , Bibcode : 2009ITIP...18...52C , doi : 10.1109/TIP.2008.2007067 , PMID 19095518 , consultado el 16 de febrero de 2009.
Cheng, CC; Peng, GJ; Hwang, WL (2009), "Ponderación de subbandas con conectividad de píxeles para codificación wavelet 3D" , IEEE Transactions on Image Processing , 18 (1): 52–62 , Bibcode : 2009ITIP...18...52C , doi : 10.1109/TIP.2008.2007067 , PMID 19095518 , consultado el 16 de febrero de 2009.

[1] Jonker, Pieter (1992). Procesamiento de imágenes morfológicas: arquitectura y diseño VLSI . Kluwer Technische Boeken BV págs. 92–96 . ISBN 978-1-4615-2804-3.

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