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Articulo de referencia

constante de Planck

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La constante de Planck , o constante de Planck , denotada porh{\displaystyle h}es una constante física fundamental de importancia fundamental en la mecánica cuántica : la energía de un fotón es igual a su frecuencia multiplicada por la constante de Planck, y el momento de una partícula es igual al número de onda de la onda de materia asociada (el recíproco de su longitud de onda ) multiplicado por la constante de Planck.

La constante fue postulada por Max Planck en 1900 como una constante de proporcionalidad necesaria para explicar la radiación experimental del cuerpo negro . [ 1 ] Posteriormente, Planck se refirió a la constante como el "cuanto de acción ". [ 2 ] En 1905, Albert Einstein asoció el "cuanto" o elemento mínimo de la energía a la propia onda electromagnética. Max Planck recibió el Premio Nobel de Física de 1918 "en reconocimiento a los servicios que prestó al avance de la física mediante su descubrimiento de los cuantos de energía".

En metrología , la constante de Planck se utiliza, junto con otras constantes, para definir el kilogramo , la unidad de masa del SI. [ 3 ] Las unidades del SI se definen de tal manera que la constante de Planck tenga el valor exactoh{\displaystyle h}=6,626 070 15 × 10 −34  J⋅Hz −1 ‍ [4 ] cuando se expresa en unidades del SI.

La constante de Planck reducida estrechamente relacionada , denotadaℏ{\textstyle \hbar }(h-barra), igual a la constante de Planck dividida por 2π :ℏ=h2π{\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}, se usa comúnmente en ecuaciones de física cuántica. Relaciona la energía de un fotón con su frecuencia angular , y el momento lineal de una partícula con el número de onda angular de su onda de materia asociada. Comoh{\displaystyle h}tiene un valor definido exacto, el valor deℏ{\textstyle \hbar }se puede calcular con precisión arbitraria:ℏ{\displaystyle \hbar }=1,054 571 817 ... × 10 −34  J⋅s . [ 5 ] Como constante de proporcionalidad en relaciones que involucran cantidades angulares, la unidad deℏ{\textstyle \hbar }puede expresarse como J·s/rad, con el mismo valor numérico, ya que el radián es la unidad adimensional natural de ángulo .

Historia

Origen de la constante

Placa en la Universidad Humboldt de Berlín : "En este edificio impartió sus clases Max Planck, el descubridor del cuanto elemental de acción h , desde 1889 hasta 1928."
Intensidad de la luz emitida por un cuerpo negro . Cada curva representa el comportamiento a diferentes temperaturas corporales. La constante de Planck h se utiliza para explicar la forma de estas curvas.

La constante de Planck se formuló como parte del exitoso esfuerzo de Max Planck para producir una expresión matemática que predijera con precisión la distribución espectral observada de la radiación de cuerpo negro . [ 6 ] Esta expresión se conoce como la ley de Planck.

En los últimos años del siglo XIX, Max Planck investigaba el problema de la radiación de cuerpo negro planteado por Kirchhoff unos 40 años antes. Todo cuerpo físico emite radiación electromagnética de forma espontánea y continua . No existía una expresión ni una explicación para la forma general del espectro de emisión observado. En aquel momento, la ley de Wien se ajustaba a los datos para longitudes de onda cortas y altas temperaturas, pero fallaba para longitudes de onda largas. [ 6 ] : 141 También por esta época, pero sin que Planck lo supiera, Lord Rayleigh había derivado teóricamente una fórmula, posteriormente conocida como la ley de Rayleigh-Jeans , que podía predecir razonablemente las longitudes de onda largas, pero fallaba estrepitosamente en las longitudes de onda cortas.

Al abordar este problema, Planck planteó la hipótesis de que las ecuaciones de movimiento de la luz describen un conjunto de osciladores armónicos , uno para cada frecuencia posible. Examinó cómo variaba la entropía de los osciladores con la temperatura del cuerpo, intentando ajustarse a la ley de Wien, y logró derivar una función matemática aproximada para el espectro del cuerpo negro, [ 1 ] que proporcionó una fórmula empírica sencilla para longitudes de onda largas.

Planck intentó encontrar una expresión matemática que pudiera reproducir la ley de Wien (para longitudes de onda cortas) y la fórmula empírica (para longitudes de onda largas). Esta expresión incluía una constante,h{\displaystyle h}, que se cree que corresponde a Hilfsgröße (cantidad auxiliar), [ 7 ] y posteriormente se conoció como la constante de Planck. La expresión formulada por Planck mostró que la radiancia espectral por unidad de frecuencia de un cuerpo para la frecuencia ν a temperatura absoluta T viene dada por Bν(ν,T)dν=2hν3do21mihνkBT−1dν,{\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T)d\nu ={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}d\nu ,} dóndekB{\displaystyle k_{\text{B}}}es la constante de Boltzmann ,h{\displaystyle h}es la constante de Planck ydo{\displaystyle c}es la velocidad de la luz en el medio, ya sea material o vacío. [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]

Planck pronto se dio cuenta de que su solución no era única. Había varias soluciones diferentes, cada una de las cuales daba un valor distinto para la entropía de los osciladores. [ 1 ] Para salvar su teoría, Planck recurrió al uso de la entonces controvertida teoría de la mecánica estadística , [ 1 ] que describió como "un acto de desesperación". [ 11 ] Una de sus nuevas condiciones de contorno fue

interpretar U N ['la energía vibracional de N osciladores'] no como una cantidad continua e infinitamente divisible, sino como una cantidad discreta compuesta por un número entero de partes finitas e iguales. Llamemos a cada una de esas partes el elemento de energía ε ;

— Planck, "Sobre la ley de distribución de la energía en el espectro normal" [ 1 ]

Con esta nueva condición, Planck impuso la cuantización de la energía de los osciladores, en sus propias palabras, "una suposición puramente formal... en realidad no pensé mucho en ello", [ 12 ] pero que revolucionaría la física. La aplicación de este nuevo enfoque a la ley de desplazamiento de Wien demostró que el "elemento de energía" debe ser proporcional a la frecuencia del oscilador, la primera versión de lo que a veces se denomina la relación de Planck-Einstein : mi=hF.{\displaystyle E=hf.}

Planck pudo calcular el valor deh{\displaystyle h}a partir de datos experimentales sobre radiación de cuerpo negro: su resultado,6,55 × 10 −34  J ⋅ s , está dentro del 1,2 % del valor definido actualmente. [ 1 ] También realizó la primera determinación de la constante de BoltzmannkB{\displaystyle k_{\text{B}}}a partir de los mismos datos y teoría. [ 13 ]

Las curvas de Planck observadas a diferentes temperaturas y la divergencia de la curva teórica de Rayleigh-Jeans (negra) con respecto a la curva de Planck observada a 5000  K.

Desarrollo y aplicación

El problema del cuerpo negro se retomó en 1905, cuando Lord Rayleigh y James Jeans (juntos) y Albert Einstein demostraron de forma independiente que el electromagnetismo clásico jamás podría explicar el espectro observado. Estas demostraciones se conocen comúnmente como la « catástrofe ultravioleta », nombre acuñado por Paul Ehrenfest en 1911. Contribuyeron enormemente (junto con el trabajo de Einstein sobre el efecto fotoeléctrico ) a convencer a los físicos de que el postulado de Planck sobre los niveles de energía cuantizados era más que un mero formalismo matemático. La primera Conferencia Solvay, celebrada en 1911, estuvo dedicada a «la teoría de la radiación y los cuantos». [ 14 ]

Efecto fotoeléctrico

El efecto fotoeléctrico es la emisión de electrones (llamados "fotoelectrones") de una superficie cuando se ilumina con luz. Fue observado por primera vez por Alexandre Edmond Becquerel en 1839, aunque el mérito suele reservarse a Heinrich Hertz , [ 15 ] quien publicó la primera investigación exhaustiva en 1887. Otra investigación particularmente exhaustiva fue publicada por Philipp Lenard (Lénárd Fülöp) en 1902. [ 16 ] El artículo de Einstein de 1905 [ 17 ] que analizaba el efecto en términos de cuantos de luz le valdría el Premio Nobel en 1921, [ 15 ] después de que sus predicciones fueran confirmadas por el trabajo experimental de Robert Andrews Millikan . [ 18 ] El comité del Nobel otorgó el premio por su trabajo sobre el efecto fotoeléctrico, en lugar de la relatividad, tanto por un sesgo en contra de la física puramente teórica no basada en descubrimientos o experimentos, como por la disensión entre sus miembros respecto a la prueba real de que la relatividad era real. [ 19 ] [ 20 ]

Antes del artículo de Einstein, la radiación electromagnética, como la luz visible, se consideraba una onda; de ahí el uso de los términos "frecuencia" y "longitud de onda" para caracterizar los distintos tipos de radiación. La energía que transfiere una onda en un tiempo determinado se denomina intensidad . La luz de un foco de teatro es más intensa que la de una bombilla doméstica; es decir, el foco emite más energía por unidad de tiempo y por unidad de espacio (y, por lo tanto, consume más electricidad) que la bombilla común, aunque el color de la luz sea muy similar. Otras ondas, como el sonido o las olas que rompen contra la costa, también tienen su intensidad. Sin embargo, la explicación energética del efecto fotoeléctrico no parecía coincidir con la descripción ondulatoria de la luz.

Los fotoelectrones emitidos como resultado del efecto fotoeléctrico poseen una cierta energía cinética , que puede medirse. Esta energía cinética (para cada fotoelectrón) es independiente de la intensidad de la luz, [ 16 ] pero depende linealmente de la frecuencia; [ 18 ] y si la frecuencia es demasiado baja (correspondiente a una energía fotónica menor que la función de trabajo del material), no se emite ningún fotoelectrón, a menos que una pluralidad de fotones, cuya suma energética sea mayor que la energía de los fotoelectrones, actúe prácticamente de forma simultánea (efecto multifotónico). [ 21 ] [ 22 ] Suponiendo que la frecuencia sea lo suficientemente alta como para causar el efecto fotoeléctrico, un aumento en la intensidad de la fuente de luz provoca la emisión de más fotoelectrones con la misma energía cinética, en lugar de la misma cantidad de fotoelectrones con mayor energía cinética. [ 16 ]

La explicación de Einstein para estas observaciones fue que la luz misma está cuantizada; que la energía de la luz no se transfiere de forma continua como en una onda clásica, sino solo en pequeños "paquetes" o cuantos. El tamaño de estos "paquetes" de energía, que más tarde se denominarían fotones , sería el mismo que el "elemento de energía" de Planck, dando lugar a la versión moderna de la relación de Planck-Einstein: mi=hF.{\displaystyle E=hf.}

El postulado de Einstein fue probado experimentalmente más tarde: la constante de proporcionalidad entre la frecuencia de la luz incidenteF{\displaystyle f}y la energía cinética de los fotoelectronesmi{\displaystyle E}Se demostró que era igual a la constante de Planck.h{\displaystyle h}. [ 18 ]

Estructura atómica

Esquematización del modelo de Bohr del átomo de hidrógeno. La transición mostrada del nivel n = 3 al nivel n = 2 da lugar a luz visible de longitud de onda de 656  nm (roja), tal como predice el modelo.

En 1912, John William Nicholson desarrolló [ 23 ] un modelo atómico y descubrió que los momentos angulares de los electrones en el modelo estaban relacionados por h /2π . [ 24 ] [ 25 ] El modelo atómico cuántico nuclear de Nicholson influyó en el desarrollo del modelo atómico de Niels Bohr [ 26 ] [ 27 ] [ 25 ] y Bohr lo citó en su artículo de 1913 sobre el modelo atómico de Bohr. [ 28 ] El modelo de Bohr fue más allá del concepto abstracto de oscilador armónico de Planck: un electrón en un átomo de Bohr solo podía tener ciertas energías definidas.minorte{\displaystyle E_{n}}, definido por minorte=−hdoR∞norte2,{\displaystyle E_{n}=-{\frac {hcR_{\infty }}{n^{2}}},} dóndedo{\displaystyle c}es la velocidad de la luz en el vacío,R∞{\displaystyle R_{\infty }}es una constante determinada experimentalmente (la constante de Rydberg ) ynorte∈{1,2,3,...}{\displaystyle n\in \{1,2,3,...\}}Este enfoque también permitió a Bohr explicar la fórmula de Rydberg , una descripción empírica del espectro atómico del hidrógeno, y calcular el valor de la constante de Rydberg.R∞{\displaystyle R_{\infty }}en términos de otras constantes fundamentales. Al analizar el momento angular de los electrones en su modelo, Bohr introdujo la cantidadh2π{\estilo de texto {\frac {h}{2\pi }}}, conocida como la constante de Planck reducida como el cuanto de momento angular . [ 28 ]

Principio de incertidumbre

La constante de Planck también aparece en enunciados del principio de incertidumbre de Werner Heisenberg . Dadas numerosas partículas preparadas en el mismo estado, la incertidumbre en su posición,Δincógnita{\displaystyle \Delta x}y la incertidumbre en su impulso,Δpagincógnita{\displaystyle \Delta p_{x}}, cumplir ΔincógnitaΔpagincógnita≥ℏ2,{\displaystyle \Delta x\,\Delta p_{x}\geq {\frac {\hbar }{2}},} donde la incertidumbre se define como la desviación estándar del valor medido respecto a su valor esperado . Existen otros pares de variables conjugadas físicamente medibles que siguen una regla similar. Un ejemplo es el tiempo frente a la energía. La relación inversa entre la incertidumbre de las dos variables conjugadas impone una compensación en los experimentos cuánticos, ya que medir una magnitud con mayor precisión conlleva a que la otra se vuelva imprecisa.

Además de algunas suposiciones que subyacen a la interpretación de ciertos valores en la formulación mecánica cuántica, una de las piedras angulares fundamentales de toda la teoría reside en la relación de conmutación entre el operador de posición.incógnita^{\displaystyle {\hat {x}}}y el operador de momentopag^{\displaystyle {\hat {p}}}: [pag^i,incógnita^j]=−iℏδij,{\displaystyle [{\hat {p}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=-i\hbar \delta _{ij},} dóndeδij{\displaystyle \delta _{ij}}es el delta de Kronecker .

energía del fotón

La relación de Planck conecta la energía particular del fotón E con su frecuencia de onda asociada f : mi=hF.{\displaystyle E=hf.} Esta energía es extremadamente pequeña en comparación con los objetos cotidianos que solemos percibir.

Dado que la frecuencia f , la longitud de onda λ y la velocidad de la luz c están relacionadas porF=doλ{\displaystyle f={\frac {c}{\lambda }}}, la relación también puede expresarse como mi=hdoλ.{\displaystyle E={\frac {hc}{\lambda }}.}

longitud de onda de De Broglie

En 1923, Louis de Broglie generalizó la relación de Planck-Einstein postulando que la constante de Planck representa la proporcionalidad entre el momento y la longitud de onda cuántica no solo del fotón, sino de cualquier partícula. Esto fue confirmado experimentalmente poco después. Esto se cumple en toda la teoría cuántica, incluyendo la electrodinámica . La longitud de onda de De Broglie λ de la partícula viene dada por λ=hpag,{\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}},} donde p denota el momento lineal de una partícula, como un fotón o cualquier otra partícula elemental .

La energía de un fotón con frecuencia angular ω = 2 πf viene dada por mi=ℏω,{\displaystyle E=\hbar \omega,} mientras que su momento lineal se relaciona con pag=ℏk,{\displaystyle p=\hbar k,} donde k es un número de onda angular .

Estas dos relaciones son las partes temporal y espacial de la expresión relativista especial que utiliza 4-vectores . PAGμ=(mido,pag→)=ℏKμ=ℏ(ωdo,k→).{\displaystyle P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right).}

Mecánica estadística

La mecánica estadística clásica requiere la existencia de h (pero no define su valor). [ 29 ] Finalmente, tras el descubrimiento de Planck, se especuló que la acción física no podía tener un valor arbitrario, sino que estaba restringida a múltiplos enteros de una cantidad muy pequeña, el " cuanto [elemental] de acción", llamado constante de Planck . [ 30 ] Este fue un concepto significativo de la " vieja teoría cuántica " desarrollada por físicos como Bohr , Sommerfeld e Ishiwara , en la que las trayectorias de las partículas existen pero están ocultas , y las leyes cuánticas las restringen en función de su acción. Esta visión ha sido reemplazada por la teoría cuántica moderna, en la que ni siquiera existen trayectorias fijas de movimiento; más bien, la partícula está representada por una función de onda extendida en el espacio y el tiempo. [ 31 ] : 373 Relacionado con esto está el concepto de cuantización de la energía que existía en la antigua teoría cuántica y que también existe de forma alterada en la física cuántica moderna. La física clásica no puede explicar la cuantización de la energía.

Dimensión y valor

La constante de Planck tiene las mismas dimensiones que la acción y el momento angular (ambas con unidad J·s  =  kg·m² · s⁻¹ ) . La constante de Planck está fija enh{\displaystyle h}=6,626 070 15 × 10 −34  J⋅Hz −1 ‍ [4 ] como parte de la definición de las unidades del SI . [ 3 ] Alternativamente, si el radián se considerara una unidad base , entoncesh{\displaystyle h}tendría la dimensión de acción (unidad J·s), mientras queℏ{\displaystyle \hbar }tendría la dimensión del momento angular (unidad J·s·rad −1 ), en cambio. [ 32 ]

Este valor se utiliza para definir la unidad SI de masa, el kilogramo : "el kilogramo [...] se define tomando el valor numérico fijo de h como6,626 070 15 × 10 −34 cuando se expresa en la unidad J⋅s, que es igual a kg⋅m 2 ⋅s −1 , donde el metro y el segundo se definen en términos de la velocidad de la luz c y la duración de la transición hiperfina del estado fundamental de un átomo de cesio-133 no perturbado Δ ν Cs ." [ 3 ] Las tecnologías de metrología de masas , como la balanza de Kibble, miden el kilogramo fijando la constante de Planck.

Comoh{\displaystyle h}tiene un valor definido exacto, el valor de la constante de Planck reducidaℏ{\displaystyle \hbar }Se puede calcular con precisión arbitraria sin ninguna incertidumbre limitante:

ℏ=h2π=6.626070152π×10−34J⋅s=1.054571817...×10−34J⋅s{\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}={\frac {6.626\,070\,15}{2\pi }}\times 10^{-34}\,\mathrm {J{\cdot }s} =1.054\,571\,817...\times 10^{-34}\,\mathrm {J{\cdot }s} }

En física nuclear y de partículas se suele utilizar la cantidadℏdo{\displaystyle \hbar c}(dóndedo=299792458metro/s{\displaystyle c=299792458\,\mathrm {m} /\mathrm {s} }es la velocidad de la luz ) que tiene dimensión de energía por longitud. Dado que ambosℏ{\displaystyle \hbar }ydo{\displaystyle c}tienen valores definidos exactamente, esta cantidad también está definida exactamente y se da, en MeV veces fm como

ℏdo=197.3269804…METROmiV⋅Fmetro{\displaystyle \hbar c=197.3269804\dots \,\mathrm {MeV} \cdot \mathrm {fm} }.

Como constante de proporcionalidad en relaciones que involucran cantidades angulares, la unidad deℏ{\textstyle \hbar }puede expresarse como J·s/rad, con el mismo valor numérico, ya que el radián es la unidad adimensional natural de ángulo . Esto es análogo al uso del hercio (Hz) para la frecuencia ordinaria y los radianes por segundo (rad/s) para la frecuencia angular , ambos dimensionalmente iguales a s −1 .

Importancia del valor

La constante de Planck es una de las constantes más pequeñas utilizadas en física. Esto refleja el hecho de que, en una escala adaptada a los humanos , donde las energías suelen ser del orden de kilojulios y los tiempos del orden de segundos o minutos, la constante de Planck es muy pequeña. Cuando el producto de la energía y el tiempo para un evento físico se aproxima a la constante de Planck, predominan los efectos cuánticos . [ 33 ]

De forma equivalente, el orden de la constante de Planck refleja el hecho de que los objetos y sistemas cotidianos están formados por un gran número de partículas microscópicas . Por ejemplo, en la luz verde (con una longitud de onda de 555 nanómetros o una frecuencia de 540  THz ) cada fotón tiene una energía E = hf =3,58 × 10 −19  J. Esta es una cantidad de energía muy pequeña en términos de la experiencia cotidiana, pero la experiencia cotidiana no se ocupa de fotones individuales más de lo que se ocupa de átomos o moléculas individuales . Una cantidad de luz más típica en la experiencia cotidiana (aunque mucho mayor que la cantidad más pequeña perceptible por el ojo humano ) es la energía de un mol de fotones, que se puede calcular multiplicando la energía del fotón por el número de Avogadro .6.022 140 76 × 10 23 , [ 34 ] con el resultado de216  kJ , aproximadamente igual a la energía alimentaria de una manzana fresca pequeña . [ 35 ]

Constante de Planck reducida

Muchas ecuaciones en física cuántica se escriben habitualmente utilizando la constante de Planck reducida , [ 36 ] : 104 también conocida como la constante de Dirac , igual ah2π{\estilo de texto {\frac {h}{2\pi }}}y denotadoℏ{\textstyle \hbar }(se pronuncia h-barra [ 37 ] : 336 ).

Historia

La combinaciónh2π{\estilo de texto {\frac {h}{2\pi }}}apareció en el artículo de Niels Bohr de 1913, [ 38 ] : 15 donde se denotó porMETRO0{\textstyle M_{0}}. [ 25 ] : 169 [ a ] ​​Durante los siguientes 15 años, la combinación continuó apareciendo en la literatura, pero normalmente sin un símbolo separado. [ 39 ] : 180 [ b ] Luego, en 1926, en sus trabajos fundamentales, Schrödinger y Dirac introdujeron nuevamente símbolos especiales para ella:K{\textstyle K}en el caso de Schrödinger, [ 51 ] yh{\textstyle h}en el caso de Dirac. [ 52 ] Dirac continuó utilizandoh{\textstyle h}de esta manera hasta 1930, [ 53 ] : 291 cuando introdujo el símboloℏ{\textstyle \hbar }en su libro Los principios de la mecánica cuántica . [ 53 ] : 291 [ 54 ]

En Unicode

En texto electrónico , la constante de Planckh{\displaystyle h}Quizás se representa con mayor frecuencia mediante una letra minúscula LATINA U+ 0068 h H , generalmente estilizada por el sistema de formato circundante. Sin embargo, en el bloque Símbolos similares a letras [ 55 ] , Unicode también proporciona un carácter dedicado U+210E ℎ CONSTANTE DE PLANCK . [ 55 ] La situación es similar con respecto aℏ{\displaystyle \hbar }: la constante específica U+210F ℏ PLANCK CONSTANT OVER TWO PI está en Unicode, [ 55 ] así como la letra cotidiana U+0127 ħ LATIN SMALL LETTER H WITH STROKE .

Véase también

Notas

  1. ↑ Bohr denotado porMETRO{\textstyle M}el momento angular del electrón alrededor del núcleo, y escribió la condición de cuantización comoMETRO=τMETRO0{\textstyle M=\tau M_{0}}, dóndeτ{\textstyle \tau }es un número entero positivo (véase el modelo de Bohr ).
  2. ↑ Aquí hay algunos artículos que se mencionan en [ 39 ] y en los queh2π{\estilo de texto {\frac {h}{2\pi }}}apareció sin un símbolo separado: [ 40 ] : 428 [ 41 ] : 549 [ 42 ] : 508 [ 43 ] : 230 [ 44 ] : 458 [ 45 ] [ 46 ] : 276 [ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] . [ 50 ]

Referencias

Citas

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  15. 1 2 Véase, por ejemplo, Arrhenius, Svante (10 de diciembre de 1922). «Discurso de presentación del Premio Nobel de Física de 1921» . Archivado del original el 4 de septiembre de 2011. Recuperado el 13 de diciembre de 2008 .
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Fuentes

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  • "La constante de Planck y sus unidades" – presentación en el 35º Simposio de Física Química en la Universidad de Waterloo, Waterloo, Ontario, Canadá, 3 de noviembre de 2019.