Álgebra geométrica basada en planos

El álgebra geométrica basada en planos es una aplicación del álgebra de Clifford para modelar planos, líneas, puntos y transformaciones rígidas . Generalmente, esto tiene como objetivo resolver problemas aplicados que involucran estos elementos y sus intersecciones , proyecciones y su ángulo entre sí en el espacio 3D. ^{[ 1 ]} Originalmente surgió de la investigación sobre grupos de espín , ^{[ 2 ] [ 3 ]} se desarrolló pensando en aplicaciones a la robótica . ^{[ 4 ] [ 5 ]} Desde entonces se ha aplicado al aprendizaje automático, ^{[ 6 ]} la dinámica de cuerpos rígidos , ^{[ 7 ]} y la ciencia de la computación , ^{[ 8 ]} especialmente los gráficos por computadora . ^{[ 8 ] [ 9 ]} Por lo general, se combina con una operación de dualidad en un sistema conocido como "Álgebra Geométrica Proyectiva", véase más abajo.

El álgebra geométrica basada en planos toma las reflexiones planas como elementos básicos y construye todas las demás transformaciones y objetos geométricos a partir de ellas. Formalmente: identifica las reflexiones planas con los elementos de grado 1 de un álgebra de Clifford, es decir, elementos que se escriben con un solo subíndice como "${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$". Con algunas raras excepciones descritas a continuación, el álgebra es casi siempre Cl _3,0,1 ( R ) (una versión proyectiva del álgebra del espacio físico ), lo que significa que tiene tres elementos base de grado 1 cuyo cuadrado es${\displaystyle 1}$y un único elemento base cuyo cuadrado es${\displaystyle 0}$.

Los algoritmos genéticos basados ​​en planos engloban un gran número de construcciones algebraicas aplicadas en ingeniería, incluyendo la representación eje-ángulo de rotaciones, las representaciones de cuaterniones y cuaterniones duales de rotaciones y traslaciones, la representación de Plücker de líneas , la representación normal de puntos de planos y la representación homogénea de puntos. Los cuaterniones duales permiten construir el modelo de tornillo, torsión y llave de la mecánica clásica. ^{[ 7 ]}

El enfoque geométrico basado en planos puede contrastarse con el enfoque que utiliza el producto vectorial , en el que los puntos, las traslaciones, los ejes de rotación y las normales del plano se modelan como "vectores". Sin embargo, el uso de vectores en problemas de ingeniería avanzada a menudo requiere distinciones sutiles entre diferentes tipos de vectores debido a esto, incluidos los vectores de Gibbs , los pseudovectores y los vectores contravariantes . Estos últimos, en la GA basada en planos, se corresponden con los conceptos de "eje de rotación" y "punto", y la distinción entre ellos se aclara mediante la notación: ejes de rotación como${\displaystyle \mathbf {e} _{13}}$(dos índices inferiores) siempre se anotan de manera diferente a los puntos como${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$(tres índices inferiores).

Los objetos que se consideran a continuación rara vez son "vectores" en el sentido de que se puedan visualizar como flechas (o calcular su producto vectorial), pero todos ellos son "vectores" en el sentido técnico de que son elementos de espacios vectoriales . Por lo tanto, para evitar conflictos derivados de las diferentes connotaciones algebraicas y visuales de la palabra "vector", este artículo evita su uso.

El álgebra geométrica basada en planos comienza con planos y luego construye otros objetos a partir de ellos. Su base canónica consiste en el plano tal que${\displaystyle x=0}$, que está etiquetado${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$, el${\displaystyle y=0}$avión etiquetado${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$y el${\displaystyle z=0}$avión,${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$. Otros planos pueden obtenerse como combinaciones lineales (sumas ponderadas) de los planos base. Por ejemplo,${\displaystyle \mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3}}$sería el plano intermedio entre el plano y y el plano z.

En general, la suma de dos elementos en un algoritmo genético basado en planos siempre dará como resultado un promedio ponderado de ambos. Así, la suma de puntos dará un punto entre ellos; la suma de líneas coplanares dará la línea que las une; incluso las rotaciones pueden sumarse para dar una rotación cuyo eje y ángulo, en términos generales, estarán entre los de los elementos sumados.

Una operación tan fundamental como la suma es el producto geométrico . Por ejemplo:

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{23}=\mathbf {e} _{123}}$

Aquí tomamos${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$, que es una reflexión planar en el${\displaystyle x=0}$avión y${\displaystyle \mathbf {e} _{23}}$, que es una rotación de 180 grados alrededor del eje x. Su producto geométrico es${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$, que es una reflexión puntual en el origen, porque esa es la transformación que resulta de una rotación de 180 grados seguida de una reflexión planar en un plano ortogonal al eje de rotación.

Para cualquier par de elementos${\textstyle A}$y${\displaystyle B}$, su producto geométrico${\textstyle A}$${\displaystyle B}$es la transformación${\displaystyle B}$seguido de la transformación${\textstyle A}$Tenga en cuenta que la composición de transformaciones no es lo mismo que la aplicación de transformaciones ; por ejemplo${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{23}}$no es "${\displaystyle \mathbf {e} _{23}}$transformado por${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$", en cambio, es la transformación${\displaystyle \mathbf {e} _{23}}$seguido de la transformación${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$La aplicación Transform se implementa con el producto sándwich , véase más abajo.

Esta interpretación geométrica suele combinarse con la siguiente afirmación:

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{1}=1\qquad \mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{2}=1\qquad \mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}=1\qquad \mathbf {e} _{0}\mathbf {e} _{0}=0}$

La interpretación geométrica de las tres primeras ecuaciones definitorias es que si realizamos la misma reflexión planar dos veces, volvemos al punto de partida; por ejemplo, cualquier elemento de grado 1 (plano) multiplicado por sí mismo da como resultado la función identidad , "${\displaystyle 1}$". La declaración de que${\displaystyle \mathbf {e} _{0}\mathbf {e} _{0}=0}$es más sutil, como cualquier otro vector de 1 elementos, el elemento algebraico${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$representa un plano, pero es el plano en el infinito .

Elementos en el infinito

El plano en el infinito${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$se comporta de manera diferente a cualquier otro plano. En 3 dimensiones,${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$puede visualizarse como el cielo: un plano infinitamente lejano, al que se puede acercar pero nunca alcanzar. Si bien es significativo reflexionar en cualquier otro plano, reflexionar en el cielo carece de sentido, lo cual está codificado en la afirmación.${\displaystyle \mathbf {e} _{0}\mathbf {e} _{0}=0}$En el firmamento se encuentran los puntos denominados « puntos de fuga », también llamados «puntos ideales» o «puntos en el infinito». Se puede decir que las líneas paralelas se cruzan en dichos puntos.

También existen líneas en el infinito; la Vía Láctea aparece como una línea en el infinito, y la línea del horizonte es otro ejemplo. Para un observador situado en un plano, todos los planos paralelos al plano en el que se encuentra se encuentran en la línea del horizonte. Algebraicamente, si tomamos${\displaystyle \mathbf {e} _{2}}$ser el suelo, entonces${\displaystyle \mathbf {e} _{2}+5\mathbf {e} _{0}}$será un plano paralelo al suelo (desplazado 5 metros de él). Estos dos planos paralelos se encuentran en la línea del infinito.${\displaystyle \mathbf {e} _{02}}$.

La mayoría de las líneas, por ejemplo${\displaystyle \mathbf {e} _{23}}$, pueden actuar como ejes para rotaciones ; de hecho, pueden tratarse como cuaterniones imaginarios . Pero las líneas que se encuentran en el plano en el infinito${\displaystyle \mathbf {e} _{0}}$, como la línea${\displaystyle \mathbf {e} _{30}}$, no pueden actuar como ejes para una "rotación". En cambio, son ejes para traslaciones, y en lugar de tener un álgebra que se asemeje a los números complejos o cuaterniones, su comportamiento algebraico es el mismo que el de los números duales , ya que su cuadrado es 0. Combinando las tres líneas base que pasan por el origen${\displaystyle \mathbf {e} _{23}}$,${\displaystyle \mathbf {e} _{13}}$,${\displaystyle \mathbf {e} _{12}}$, que cuadrado a${\displaystyle -1}$, con las tres líneas base en el infinito${\displaystyle \mathbf {e} _{10}}$,${\displaystyle \mathbf {e} _{20}}$,${\displaystyle \mathbf {e} _{30}}$proporciona los elementos necesarios para las coordenadas ( Plücker ) de las líneas.

Al haberse definido el producto geométrico como composición de transformadas, existen muchas operaciones de utilidad práctica que pueden definirse utilizando este (de forma directamente análoga a como se definen el producto escalar y el producto vectorial en el producto de cuaterniones ). Estas incluyen:

1. La intersección o encuentro de dos objetos cualesquiera es la parte de mayor grado de su producto geométrico. Por ejemplo, la intersección del plano${\displaystyle P}$(grado 1) con la línea${\displaystyle L}$(grado 2) es un punto (grado 3). Esta operación se denota con el símbolo de cuña .${\displaystyle P\wedge L}$.
2. El inverso de cualquier rotación, traslación o rotoreflexión es trivial de calcular; simplemente se niega la parte lineal o la parte puntual. Esta es una operación conocida como "inversa"; el inverso de${\textstyle T}$se denota${\textstyle {\tilde {T}}}$. Tenemos${\textstyle T^{-1}={\tilde {T}}}$en el caso donde ${\textstyle T}$está normalizado , lo que significa que tiene norma unitaria:${\displaystyle \|T\|={\sqrt {T{\tilde {T}}}}=1}$.
3. La rotación, traslación o movimiento helicoidal desde cualquier punto/línea/plano normalizado.${\displaystyle A}$a cualquier punto/línea/plano normalizado${\displaystyle B}$es${\displaystyle 1+B{\tilde {A}}}$.
4. El ángulo${\displaystyle \theta _{AB}}$entre dos objetos normalizados cualesquiera${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$(dos líneas, dos planos o línea y plano) es${\displaystyle \theta _{AB}=\arccos(\lVert A\cdot B\rVert )}$. Aquí${\displaystyle \cdot }$es el producto escalar , una generalización del producto punto . Así como el producto exterior es la parte más alta posible del producto geométrico de dos objetos, el producto escalar es igual a la parte de menor grado.
5. Rotar, trasladar o reflejar cualquier objeto${\textstyle A}$con una transformación elegida${\textstyle T}$es${\textstyle TA{\tilde {T}}}$. Esto es conjugación de grupo , coloquialmente como el "producto sándwich". Dado que las álgebras geométricas son superálgebras , el resultado debería negarse en el caso (relativamente raro) de que${\textstyle A}$y${\textstyle T}$ambos son de grado impar.
6. Tomar una proyección de un objeto${\displaystyle A}$sobre un objeto${\displaystyle B}$es${\displaystyle (A\cdot B){\tilde {B}}}$– Esta fórmula es válida tanto si los objetos son puntos, líneas o planos.
7. La distancia entre objetos normalizados es proporcional a la magnitud de la parte de mayor grado posible de su producto geométrico. Sin embargo, para extraer esta magnitud se utiliza el dual , que se describe más adelante. El dual también se usa para definir la unión o el intervalo de objetos, como la línea que engloba dos puntos o el plano que engloba un punto y una línea.
8. Las derivadas con respecto al tiempo también son triviales de calcular; si${\textstyle A}$es el logaritmo de una transformación que está experimentando el objeto${\displaystyle B}$, la derivada con respecto al tiempo${\displaystyle {\dot {B}}}$será ${\textstyle {\dot {B}}={\frac {1}{2}}(AB-BA)}$. Este es el corchete de Lie , aquí idéntico al corchete de Poisson .

El álgebra de todas las transformaciones que preservan la distancia en 3D se llama grupo euclidiano ,${\displaystyle E(3)}$Según el teorema de Cartan-Dieudonné , cualquier elemento del mismo, que incluye rotaciones y traslaciones, puede escribirse como una serie de reflexiones en planos.

En los algoritmos genéticos basados ​​en planos, esencialmente todos los objetos geométricos pueden considerarse como una transformación. Planos como${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$son reflexiones planares, puntos como${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$son reflexiones puntuales y líneas como${\displaystyle \mathbf {e} _{12}}$son reflexiones de línea, que en 3D son lo mismo que rotaciones de 180 grados. La transformación identidad es el objeto único que se construye a partir de reflexiones cero. Todos estos son elementos de${\displaystyle E(3)}$.

Algunos elementos de${\displaystyle E(3)}$Por ejemplo, las rotaciones de cualquier ángulo que no sea de 180 grados no tienen un único objeto geométrico específico que se utilice para visualizarlas; sin embargo, siempre se pueden considerar como compuestas de reflexiones y siempre se pueden representar como una combinación lineal de algunos elementos de objetos en el álgebra geométrica basada en planos. Por ejemplo,${\displaystyle 0.8+0.6\mathbf {e} _{12}}$es una ligera rotación alrededor del${\displaystyle \mathbf {e} _{12}}$eje, y se puede escribir como un producto geométrico (una composición de transformaciones) de${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$y${\displaystyle 0.8\mathbf {e} _{1}+0.6\mathbf {e} _{2}}$, ambas son reflexiones planas que se intersecan en la línea${\displaystyle \mathbf {e} _{12}}$.

De hecho, cualquier rotación puede escribirse como una composición de dos reflexiones planares que pasan por su eje; por lo tanto, puede llamarse una 2-reflexión . ^{[ 10 ]} Las rotoreflexiones , las reflexiones de deslizamiento y las reflexiones puntuales también pueden escribirse siempre como composiciones de 3 reflexiones planares y, por lo tanto, se denominan 3-reflexiones. El límite superior de esto para 3D es un movimiento helicoidal , que es una 4-reflexión. Por esta razón, al considerar movimientos helicoidales, es necesario utilizar el elemento de grado 4 del GA basado en planos 3D,${\displaystyle \mathbf {e} _{1230}}$, que es el elemento de mayor grado.

Interpretación geométrica del producto geométrico como "cancelación" de reflexiones.

Una reflexión en un plano seguida de una reflexión en el mismo plano no produce ningún cambio. La interpretación algebraica de esta geometría es que los elementos de grado 1, como${\displaystyle \mathbf {e} _{1}}$cuadrado a 1. Este hecho simple puede usarse para dar una interpretación geométrica al comportamiento general del producto geométrico como un dispositivo que resuelve problemas geométricos mediante la "cancelación de espejos". ^{[ 10 ]}

Para dar un ejemplo de la utilidad de esto, supongamos que deseamos encontrar un plano ortogonal a una cierta línea L en 3D y que pasa por un cierto punto P. L es una 2-reflexión y${\displaystyle P}$es una reflexión de 3, por lo que tomar su producto geométrico PL produce en cierto sentido una reflexión de 5; sin embargo, como en la imagen de abajo, dos de estas reflexiones se cancelan, dejando una reflexión de 3 (a veces conocida como rotoreflexión ). En la notación del álgebra geométrica basada en planos, esta rotoreflexión puede pensarse como una reflexión plana "añadida" a una reflexión puntual. La parte plana de esta rotoreflexión es el plano que es ortogonal a la línea L y al punto original P. Se puede usar un procedimiento similar para encontrar la línea ortogonal a un plano y que pasa por un punto, o la intersección de una línea y un plano, o la línea de intersección de un plano con otro plano.

Rotaciones y traslaciones como subálgebras pares

Las rotaciones y traslaciones son transformaciones que conservan las distancias y la quiralidad ; por ejemplo , cuando se aplican a conjuntos de objetos, las distancias relativas entre ellos no cambian, ni tampoco su quiralidad, es decir, un guante para diestros no se convertirá en uno para zurdos. Todas las transformaciones en el álgebra geométrica tridimensional basada en el plano euclidiano conservan las distancias, pero las reflexiones, las rotaciones y las transflexiones no conservan la quiralidad.

Las rotaciones y traslaciones conservan la quiralidad, lo que en la GA basada en planos 3D implica que pueden escribirse como una composición de un número par de reflexiones. Una rotación puede considerarse como una reflexión en un plano seguida de una reflexión en otro plano que no es paralelo al primero (los cuaterniones , que se establecen en el contexto de la PGA más arriba). Si los planos fueran paralelos, la composición de sus reflexiones daría como resultado una traslación.

Las rotaciones y las traslaciones son casos especiales de movimientos helicoidales , por ejemplo, una rotación alrededor de una línea en el espacio seguida de una traslación dirigida a lo largo de la misma línea. Este grupo se suele denominar SE(3) , el grupo de transformaciones euclidianas especiales (que preservan la quiralidad) en 3 dimensiones . Este grupo tiene dos representaciones de uso común que permiten su uso en álgebra y computación: una son las matrices de 4×4 de números reales y la otra son los cuaterniones duales . La representación de los cuaterniones duales (al igual que los cuaterniones usuales) es en realidad una doble cubierta de SE(3). Dado que los cuaterniones duales son cerrados bajo la multiplicación y la suma y están formados por un número par de elementos base, se les denomina subálgebra par del álgebra geométrica euclidiana (basada en planos) tridimensional. A veces se utiliza la palabra « espinor » para describir esta subálgebra. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

Describir transformaciones rígidas usando planos fue un objetivo principal en el trabajo de Camille Jordan [ ^{13 ] y} Michel Chasles ^{[ 14 ]} ya que permite que el tratamiento sea independiente de la dimensión.

• Espacio proyectivo : métodos para incluir elementos en el infinito.
• Álgebra espaciotemporal : álgebra utilizada para el espacio de Minkowski de (1+3) dimensiones.
• Álgebra del espacio físico : álgebra utilizada para el espacio euclidiano tridimensional.
• Álgebra geométrica conforme — Álgebra geométrica para transformaciones conformes