plano euclidiano

En matemáticas, la geometría analítica (también llamada geometría cartesiana) describe cada punto en un espacio bidimensional mediante dos coordenadas. Se dan dos ejes de coordenadas perpendiculares que se cruzan en el origen . Generalmente se denominan x e y . Con respecto a estos ejes, la posición de cualquier punto en el espacio bidimensional viene dada por un par ordenado de números reales, donde cada número indica la distancia de ese punto al origen medida a lo largo del eje dado, que es igual a la distancia de ese punto al otro eje.

Otro sistema de coordenadas muy utilizado es el sistema de coordenadas polares , que especifica un punto en función de su distancia al origen y su ángulo con respecto a un rayo de referencia que apunta hacia la derecha.

• 
  sistema de coordenadas cartesianas
• 
  Sistema de coordenadas polares

En dos dimensiones, existen infinitos politopos: los polígonos. Los primeros polígonos regulares se muestran a continuación:

La hiperesfera en 2 dimensiones es un círculo , a veces llamado 1-esfera ( S1 ) porque es una variedad unidimensional . En un plano euclidiano, tiene una longitud de ^2πr y el área de su interior es

${\displaystyle A=\pi r^{2}}$

dónde${\displaystyle r}$es el radio.

Hay una infinidad de otras formas curvas en dos dimensiones, entre las que destacan las secciones cónicas : la elipse , la parábola y la hipérbola .

El producto escalar de dos vectores A = [ A ₁ , A ₂ ] y B = [ B ₁ , B ₂ ] se define como: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}}$

Un vector puede representarse como una flecha. Su magnitud es su longitud y su dirección es la dirección hacia la que apunta la flecha. La magnitud de un vector A se denota por${\displaystyle \|\mathbf {A} \|}$. Desde este punto de vista, el producto escalar de dos vectores euclidianos A y B se define mediante ^{[ 6 ].}

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,}$

donde θ es el ángulo entre A y B.

El producto escalar de un vector A por sí mismo es

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2},}$

lo cual da

${\displaystyle \|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},}$

la fórmula para la longitud euclidiana del vector.

En un sistema de coordenadas rectangulares, el gradiente viene dado por

${\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} \,.}$

Para algún campo escalar f  : U ⊆ R ² → R , la integral de línea a lo largo de una curva suave a trozos C ⊂ U se define como

${\displaystyle \int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt,}$

donde r : [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C tal que r ( a ) y r ( b ) dan los puntos extremos de C y${\displaystyle a<b}$.

Para un campo vectorial F  : U ⊆ R ² → R ² , la integral de línea a lo largo de una curva suave a trozos C ⊂ U , en la dirección de r , se define como

${\displaystyle \int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,}$

donde · es el producto escalar y r : [a, b] → C es una parametrización biyectiva de la curva C tal que r ( a ) y r ( b ) dan los puntos extremos de C .

Una integral doble se refiere a una integral dentro de una región D en R ² de una función.${\displaystyle f(x,y),}$y se suele escribir como:

${\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y)\,dx\,dy.}$

El teorema fundamental de las integrales de línea establece que una integral de línea a través de un campo gradiente puede evaluarse evaluando el campo escalar original en los extremos de la curva.

Dejar${\displaystyle \varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$. Entonces

${\displaystyle \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _ {\gamma [\mathbf {p} ,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} ,}$

donde p y q son los extremos de la curva γ.

Sea C una curva cerrada simple , suave a trozos y orientada positivamente en un plano , y sea D la región acotada por C. Si L y M son funciones de ( x , y ) definidas en una región abierta que contiene a D y tienen derivadas parciales continuas allí, entonces ^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle \oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy}$

donde la trayectoria de integración a lo largo de C es en sentido contrario a las agujas del reloj .

• Burton, David M. (2011), Historia de las matemáticas / Una introducción (7.ª  ed.), McGraw Hill, ISBN 978-0-07-338315-6