Grupo de fondos de pantalla

Un grupo de papel tapiz (o grupo de simetría plana o grupo cristalográfico plano ) es una clasificación matemática de un patrón repetitivo bidimensional, basada en las simetrías del patrón. Dichos patrones aparecen con frecuencia en la arquitectura y el arte decorativo , especialmente en textiles , azulejos y papel tapiz .

El grupo de papel tapiz más simple, el grupo p 1, se aplica cuando no hay simetría más allá de la simple traslación de un patrón en dos dimensiones. Los siguientes patrones tienen más formas de simetría, incluidas algunas simetrías rotacionales y reflexivas:

• 
  Ejemplo A : Tela, Tahití
• 
  Ejemplo B : Pintura ornamental, Nínive , Asiria
• 
  Ejemplo C : Porcelana pintada , China

Los ejemplos A y B tienen el mismo grupo de papel tapiz; se denomina p4m en la notación IUCr y *442 en la notación orbifold . El ejemplo C tiene un grupo de papel tapiz diferente, llamado p4g o 4*2. El hecho de que A y B tengan el mismo grupo de papel tapiz significa que tienen las mismas simetrías, independientemente de los detalles superficiales de los diseños; mientras que C tiene un conjunto diferente de simetrías.

El número de grupos de simetría depende del número de dimensiones de los patrones. Los grupos de papel tapiz se aplican al caso bidimensional, de complejidad intermedia entre los grupos de frisos más simples y los grupos espaciales tridimensionales .

La primera prueba de que existen sólo 17 grupos distintos de tales simetrías planares fue realizada por Evgraf Fedorov en 1891 ^[1] y luego derivada independientemente por George Pólya en 1924. ^[2] La prueba de que la lista de grupos de papel tapiz está completa llegó sólo después de que se hubiera realizado el caso mucho más difícil de los grupos espaciales . Los diecisiete grupos de papel tapiz se enumeran a continuación; consulte § Los diecisiete grupos.

La simetría de un patrón es, en términos generales, una forma de transformar el patrón para que parezca exactamente igual después de la transformación. Por ejemplo, la simetría traslacional está presente cuando el patrón se puede trasladar (en otras palabras, desplazar) una distancia finita y parece inalterado. Pensemos en desplazar horizontalmente una franja de un conjunto de rayas verticales. El patrón no cambia. Estrictamente hablando, una verdadera simetría solo existe en patrones que se repiten exactamente y continúan indefinidamente. Un conjunto de, digamos, solo cinco rayas no tiene simetría traslacional: cuando se desplaza, la franja de un extremo "desaparece" y se "agrega" una nueva franja en el otro extremo. En la práctica, sin embargo, la clasificación se aplica a patrones finitos y se pueden ignorar las pequeñas imperfecciones.

Los tipos de transformaciones que son relevantes aquí se denominan isometrías del plano euclidiano . Por ejemplo:

• Si se desplaza el ejemplo B una unidad hacia la derecha, de modo que cada cuadrado cubra el cuadrado que originalmente estaba adyacente a él, el patrón resultante es exactamente el mismo que el patrón inicial. Este tipo de simetría se denomina traslación . Los ejemplos A y C son similares, excepto que los desplazamientos más pequeños posibles se dan en direcciones diagonales.
• Si se gira el ejemplo B 90° en el sentido de las agujas del reloj alrededor del centro de uno de los cuadrados, se obtiene exactamente el mismo patrón. Esto se llama rotación . Los ejemplos A y C también tienen rotaciones de 90°, aunque se requiere un poco más de ingenio para encontrar el centro de rotación correcto para C.
• También se puede voltear el ejemplo B a lo largo de un eje horizontal que atraviesa el centro de la imagen. Esto se denomina reflexión . El ejemplo B también tiene reflexiones a lo largo de un eje vertical y de dos ejes diagonales. Lo mismo se puede decir de A.

Sin embargo, el ejemplo C es diferente . Solo tiene reflejos en direcciones horizontales y verticales, no a través de ejes diagonales. Si uno voltea a través de una línea diagonal, no se obtiene el mismo patrón de vuelta, sino el patrón original desplazado una cierta distancia. Esta es parte de la razón por la que el grupo de papel tapiz de A y B es diferente del grupo de papel tapiz de C.

Otra transformación es “Glide”, una combinación de reflexión y traslación paralela a la línea de reflexión.

Matemáticamente, un grupo de papel tapiz o grupo cristalográfico plano es un tipo de grupo topológicamente discreto de isometrías del plano euclidiano que contiene dos traslaciones linealmente independientes .

Dos de estos grupos de isometría son del mismo tipo (del mismo grupo de papel tapiz) si son iguales hasta una transformación afín del plano . Así, por ejemplo, una traslación del plano (y por lo tanto una traslación de los espejos y centros de rotación) no afecta al grupo de papel tapiz. Lo mismo se aplica para un cambio de ángulo entre vectores de traslación, siempre que no agregue ni elimine ninguna simetría (esto solo es el caso si no hay espejos ni reflexiones de deslizamiento , y la simetría rotacional es como máximo de orden 2).

A diferencia del caso tridimensional , se pueden restringir de forma equivalente las transformaciones afines a aquellas que preservan la orientación .

Del teorema de Bieberbach se desprende que todos los grupos de papeles pintados son diferentes, incluso como grupos abstractos (a diferencia de, por ejemplo, los grupos de frisos , de los cuales dos son isomorfos con Z ).

Los patrones 2D con doble simetría traslacional se pueden clasificar según su tipo de grupo de simetría .

Las isometrías del plano euclidiano se dividen en cuatro categorías (consulte el artículo Isometría del plano euclidiano para obtener más información).

• Traslaciones , denotadas por T _v , donde v es un vector en R ² . Esto tiene el efecto de desplazar el plano aplicandoel vector de desplazamiento v .
• Rotaciones , denotadas por R _{c , θ} , donde c es un punto en el plano (el centro de rotación) y θ es el ángulo de rotación.
• Reflexiones o isometrías especulares , denotadas por F _L , donde L es una línea en R ² . ( F significa "flip"). Esto tiene el efecto de reflejar el plano en la línea L , llamada eje de reflexión o espejo asociado.
• Reflexiones de deslizamiento , denotadas por G _{L , d} , donde L es una línea en R ² y d es una distancia. Esta es una combinación de una reflexión en la línea L y una traslación a lo largo de L por una distancia d .

La condición de traslaciones linealmente independientes significa que existen vectores linealmente independientes v y w (en R ² ) tales que el grupo contiene tanto a T _v como a T _w .

El propósito de esta condición es distinguir los grupos de papel tapiz de los grupos de frisos , que poseen una traslación pero no dos linealmente independientes, y de los grupos puntuales discretos bidimensionales , que no tienen ninguna traslación. En otras palabras, los grupos de papel tapiz representan patrones que se repiten en dos direcciones distintas, en contraste con los grupos de frisos, que solo se repiten a lo largo de un solo eje.

(Es posible generalizar esta situación. Se podrían, por ejemplo, estudiar grupos discretos de isometrías de R ⁿ con m traslaciones linealmente independientes, donde m es cualquier entero en el rango 0 ≤  m  ≤  n .)

La condición de discreta significa que hay algún número real positivo ε, tal que para cada traslación T _v en el grupo, el vector v tiene una longitud al menos ε (excepto, por supuesto, en el caso de que v sea el vector cero, pero la condición de traslaciones independientes lo impide, ya que cualquier conjunto que contenga el vector cero es linealmente dependiente por definición y, por lo tanto, no está permitido).

El propósito de esta condición es asegurar que el grupo tenga un dominio fundamental compacto, o en otras palabras, una "celda" de área finita distinta de cero, que se repita a través del plano. Sin esta condición, se podría tener, por ejemplo, un grupo que contenga la traslación T _x para cada número racional x , lo que no correspondería a ningún patrón de papel tapiz razonable.

Una consecuencia importante y no trivial de la condición de discreción en combinación con la condición de traslaciones independientes es que el grupo solo puede contener rotaciones de orden 2, 3, 4 o 6; es decir, cada rotación en el grupo debe ser una rotación de 180°, 120°, 90° o 60°. Este hecho se conoce como el teorema de restricción cristalográfica ^[3] y se puede generalizar a casos de dimensiones superiores.

La cristalografía tiene 230 grupos espaciales para distinguir, muchos más que los 17 grupos de papel tapiz, pero muchas de las simetrías en los grupos son las mismas. Por lo tanto, se puede utilizar una notación similar para ambos tipos de grupos, la de Carl Hermann y la de Charles-Victor Mauguin . Un ejemplo de un nombre de papel tapiz completo en el estilo Hermann-Mauguin (también llamado notación IUCr ) es p31m, con cuatro letras o dígitos; lo más habitual es un nombre abreviado como cmm o pg.

Para los grupos de papel tapiz, la notación completa comienza con p o c , para una celda primitiva o una celda centrada en la cara ; estas se explican a continuación. A esto le sigue un dígito, n , que indica el orden más alto de simetría rotacional: 1-fold (ninguno), 2-fold, 3-fold, 4-fold o 6-fold. Los siguientes dos símbolos indican simetrías relativas a un eje de traslación del patrón, denominado "principal"; si hay un espejo perpendicular a un eje de traslación, ese es el principal (o si hay dos, uno de ellos). Los símbolos son m , g o 1 , para espejo, reflexión deslizante o ninguno. El eje del espejo o reflexión deslizante es perpendicular al eje principal para la primera letra, y paralelo o inclinado 180°/ n (cuando n  > 2) para la segunda letra. Muchos grupos incluyen otras simetrías implícitas en las dadas. La notación corta omite dígitos o una m que se pueda deducir, siempre que eso no genere confusión con otro grupo.

Una celda primitiva es una región mínima repetida por traslaciones de red. Todos los grupos de simetría de papel tapiz, excepto dos, se describen con respecto a los ejes de la celda primitiva, una base de coordenadas que utiliza los vectores de traslación de la red. En los dos casos restantes, la descripción de la simetría se realiza con respecto a celdas centradas que son más grandes que la celda primitiva y, por lo tanto, tienen repetición interna; las direcciones de sus lados son diferentes de las de los vectores de traslación que abarcan una celda primitiva. La notación de Hermann-Mauguin para los grupos del espacio cristalino utiliza tipos de celdas adicionales.

Ejemplos

• p2 ( p 2 ): Célula primitiva, simetría de rotación doble, sin espejos ni reflexiones de deslizamiento.
• p4gm ( p 4 gm ): Célula primitiva, rotación cuádruple, reflexión deslizante perpendicular al eje principal, eje del espejo a 45°.
• c2mm ( c 2 mm ): celda centrada, rotación doble, ejes de espejo perpendiculares y paralelos al eje principal.
• p31m ( p 31 m ): Célula primitiva, rotación triple, eje de espejo a 60°.

Aquí están todos los nombres que se diferencian en notación corta y completa.

Los nombres restantes son p1 , p2 , p3 , p3m1 , p31m , p4 y p6 .

La notación orbifold para grupos de papel tapiz, propuesta por John Horton Conway (Conway, 1992) (Conway 2008), no se basa en la cristalografía, sino en la topología. Se puede plegar el mosaico periódico infinito del plano en su esencia, un orbifold , y luego describirlo con unos pocos símbolos.

• Un dígito, n , indica un centro de rotación de n pliegues correspondiente a un punto cónico en el orbifold. Según el teorema de restricción cristalográfica, n debe ser 2, 3, 4 o 6.
• Un asterisco, * , indica una simetría especular correspondiente a un límite del orbifold. Interactúa con los dígitos de la siguiente manera:
  1. Los dígitos antes del * indican centros de rotación pura ( cíclica ).
  2. Los dígitos después del * indican centros de rotación con espejos a través de ellos, correspondientes a "esquinas" en el límite del orbifold ( diédrico ).
• Una cruz, × , se produce cuando hay una reflexión de deslizamiento e indica una capa cruzada en el orbifold. Los espejos puros se combinan con la traslación reticular para producir deslizamientos, pero estos ya están contabilizados, por lo que no es necesario anotarlos.
• El símbolo de "sin simetría", o , se encuentra solo e indica que solo hay traslaciones reticulares sin otra simetría. El orbifold con este símbolo es un toro; en general, el símbolo o denota un asa en el orbifold.

El grupo denotado en notación cristalográfica por cmm será, en la notación de Conway, 2*22 . El 2 antes del * indica que hay un centro de rotación doble sin espejo que lo atraviese. El * en sí mismo indica que hay un espejo. El primer 2 después del * indica que hay un centro de rotación doble en un espejo. El 2 final indica que hay un segundo centro de rotación doble independiente en un espejo, que no es un duplicado del primero bajo simetrías.

El grupo denotado por pgg será 22× . Hay dos centros de rotación puros de doble pliegue y un eje de reflexión de deslizamiento. Contraste esto con pmg, Conway 22* , donde la notación cristalográfica menciona un deslizamiento, pero uno que está implícito en las otras simetrías del orbifold.

También se incluye la notación de corchetes de Coxeter , basada en grupos de Coxeter reflexivos , y modificada con superíndices más que tienen en cuenta rotaciones, rotaciones impropias y traslaciones.

Un orbifold puede verse como un polígono con cara, aristas y vértices que se puede desplegar para formar un conjunto posiblemente infinito de polígonos que forman mosaicos en la esfera , el plano o el plano hiperbólico . Cuando forma mosaicos en el plano, dará un grupo de papel tapiz y cuando forma mosaicos en la esfera o el plano hiperbólico, dará un grupo de simetría esférico o un grupo de simetría hiperbólica . El tipo de espacio que forman mosaicos los polígonos se puede encontrar calculando la característica de Euler , χ  =  V  −  E  +  F , donde V es el número de esquinas (vértices), E es el número de aristas y F es el número de caras. Si la característica de Euler es positiva, entonces el orbifold tiene una estructura elíptica (esférica); si es cero, entonces tiene una estructura parabólica, es decir, un grupo de papel tapiz; y si es negativa, tendrá una estructura hiperbólica. Cuando se enumera el conjunto completo de posibles orbifolds, se encuentra que solo 17 tienen una característica de Euler 0.

Cuando un orbifold se replica por simetría para llenar el plano, sus características crean una estructura de vértices, aristas y caras poligonales, que deben ser consistentes con la característica de Euler. Invirtiendo el proceso, se pueden asignar números a las características del orbifold, pero fracciones, en lugar de números enteros. Debido a que el orbifold en sí es un cociente de la superficie completa por el grupo de simetría, la característica de Euler del orbifold es un cociente de la característica de Euler de la superficie por el orden del grupo de simetría.

La característica de Euler orbifold es 2 menos la suma de los valores de las características, asignados de la siguiente manera:

• Un dígito n sin o antes de un * cuenta como ⁠n  - 1/norte⁠ .
• Un dígito n después de un * cuenta como ⁠n  - 1/2 n⁠ .
• Tanto * como × cuentan como 1.
• La "no simetría" cuenta como 2.

Para un grupo de fondos de pantalla, la suma de las características debe ser cero; por lo tanto, la suma de las características debe ser 2.

Ejemplos

• 632: ⁠5/6⁠ + ⁠2/3⁠ + ⁠1/2⁠ = 2
• 3*3: ⁠2/3+ 1 +2/6⁠ = 2
• 4*2: ⁠3/4+ 1 +1/4⁠ = 2
• 22×: ⁠1/2⁠ + ⁠1/2+ 1 = 2

Ahora la enumeración de todos los grupos de fondos de pantalla se convierte en una cuestión de aritmética, de enumerar todas las cadenas de características con valores que suman 2.

Las cadenas de características con otras sumas no son una tontería; implican teselados no planares, que no se analizan aquí. (Cuando la característica de Euler orbifold es negativa, el teselado es hiperbólico ; cuando es positivo, esférico o malo ).

Para determinar qué grupo de papel pintado corresponde a un diseño determinado, se puede utilizar la siguiente tabla. ^[4]

Vea también este resumen con diagramas.

Cada uno de los grupos de esta sección tiene dos diagramas de estructura celular, que deben interpretarse de la siguiente manera (lo importante es la forma, no el color):

En los diagramas del lado derecho, las diferentes clases de equivalencia de elementos de simetría están coloreadas (y rotadas) de manera diferente.

El área marrón o amarilla indica un dominio fundamental , es decir, la parte más pequeña del patrón que se repite.

Los diagramas de la derecha muestran la celda de la red correspondiente a las traslaciones más pequeñas; los de la izquierda a veces muestran un área mayor.

• Firma Orbifold: o
• Notación de Coxeter (rectangular): [∞ ⁺ ,2,∞ ⁺ ] o [∞] ⁺ ×[∞] ⁺
• Celosía: oblicua
• Grupo de puntos: C ₁
• El grupo p 1 contiene sólo traslaciones; no hay rotaciones, reflexiones ni reflexiones de deslizamiento.

Ejemplos del grupo p 1

• 
  Generado por computadora
• 
  Pañales de pared medievales
• 
  21 mosaico co- uniforme

Las dos traducciones (lados de la celda) pueden tener longitudes diferentes y pueden formar cualquier ángulo.

• Firma Orbifold: 2222
• Notación de Coxeter (rectangular): [∞,2,∞] ⁺
• Celosía: oblicua
• Grupo de puntos: C ₂
• El grupo p 2 contiene cuatro centros de rotación de orden dos (180°), pero no hay reflexiones ni reflexiones de deslizamiento.

Ejemplos del grupo p 2

• 
  Generado por computadora
• 
  Tela, Islas Sandwich ( Hawai )
• 
  Techo de una tumba egipcia
• 
  Cerca de alambre , EE.UU.
• 
  15 mosaicos co-uniformes
• 
  Estera sobre la que estuvo de pie un rey egipcio
• 
  Estera egipcia (detalle)

• Firma Orbifold: **
• Notación de Coxeter: [∞,2,∞ ⁺ ] o [∞ ⁺ ,2,∞]
• Celosía: rectangular
• Grupo de puntos: D ₁
• El grupo pm no tiene rotaciones, tiene ejes de reflexión, todos son paralelos.

Ejemplos de pm grupal

(Los primeros tres tienen un eje de simetría vertical y los dos últimos tienen cada uno un eje diagonal diferente).

• 
  Generado por computadora
• 
  Vestido de una figura en una tumba en Biban el Moluk , Egipto
• 
  Tumba egipcia , Tebas
• 
  Techo de una tumba en Gourna, Egipto . El eje de reflexión es diagonal
• 
  Metalistería india en la Gran Exposición de 1851. Esta es casi la primera página (sin tener en cuenta las líneas diagonales cortas entre los motivos ovalados, que la hacen la primera página).
• 
  6. Revestimiento co-uniforme (losa)

• Firma Orbifold: ××
• Notación de Coxeter: [(∞,2) ⁺ ,∞ ⁺ ] o [∞ ⁺ ,(2,∞) ⁺ ]
• Celosía: rectangular
• Grupo de puntos: D ₁
• El grupo pg contiene únicamente reflexiones de deslizamiento y sus ejes son todos paralelos. No hay rotaciones ni reflexiones.

Ejemplos de grupo pg

• 
  Generado por computadora
• 
  Estera con dibujo de espiga sobre la que se encontraba un rey egipcio
• 
  Estera egipcia (detalle)
• 
  Pavimento con diseño en espiga en Salzburgo . El eje de reflexión de deslizamiento discurre de noreste a suroeste
• 
  Una de las coloraciones del mosaico de cuadrados chatos ; las líneas de reflexión de deslizamiento están en la dirección superior izquierda / inferior derecha; ignorando los colores, hay mucha más simetría que solo pg , entonces es p 4 g (vea allí esta imagen con triángulos de colores iguales) ^[5]
• 
  6 mosaicos co-uniformes formados únicamente por pentágonos

Sin los detalles dentro de las bandas en zigzag el tapete es pmg; con los detalles pero sin la distinción entre marrón y negro es pgg.

Ignorando los bordes ondulados de las baldosas, el pavimento es pgg.

• Firma Orbifold: *×
• Notación de Coxeter: [∞ ⁺ ,2 ⁺ ,∞] o [∞,2 ⁺ ,∞ ⁺ ]
• Enrejado: rómbico
• Grupo de puntos: D ₁
• El grupo cm no contiene rotaciones. Tiene ejes de reflexión, todos paralelos. Hay al menos una reflexión de deslizamiento cuyo eje no es un eje de reflexión; está a medio camino entre dos ejes de reflexión paralelos adyacentes.
• Este grupo se aplica a filas escalonadas simétricamente (es decir, hay un desplazamiento por fila de la mitad de la distancia de traslación dentro de las filas) de objetos idénticos, que tienen un eje de simetría perpendicular a las filas.

Ejemplos de grupo cm

• 
  Generado por computadora
• 
  Vestido de Amón , de Abu Simbel , Egipto
• 
  Dado de Biban el Moluk , Egipto
• 
  Vasija de bronce en Nimrud , Asiria
• 
  Enjutas de arcos , Alhambra , España
• 
  Plafón de arco, Alhambra , España
• 
  Tapiz persa
• 
  Metalistería india en la Gran Exposición de 1851
• 
  Vestido de una figura en una tumba en Biban el Moluk , Egipto
• 
  6 mosaicos co-uniformes con celdas hexagonales
• 
  Patrón textil: pata de gallo

• Firma de Orbifold: *2222
• Notación de Coxeter (rectangular): [∞,2,∞] o [∞]×[∞]
• Notación de Coxeter (cuadrado): [4,1 ⁺ ,4] o [1 ⁺ ,4,4,1 ⁺ ]
• Celosía: rectangular
• Grupo de puntos: D ₂
• El grupo pmm tiene reflexiones en dos direcciones perpendiculares y cuatro centros de rotación de orden dos (180°) ubicados en las intersecciones de los ejes de reflexión.

Ejemplos de grupo pmm

• 
  Imagen 2D de una valla de celosía , EE. UU. (en 3D hay simetría adicional)
• 
  Caja de momia conservada en el Louvre
• 
  Caja de momia conservada en el Louvre . Sería del tipo P 4 M, salvo por el color desigual.
• 
  8. Teselación co-uniforme con todos los planigones que no sean losas

• Firma Orbifold: 22 *
• Notación de Coxeter: [(∞,2) ⁺ ,∞] o [∞,(2,∞) ⁺ ]
• Celosía: rectangular
• Grupo de puntos: D ₂
• El grupo pmg tiene dos centros de rotación de orden dos (180°) y reflexiones en una sola dirección. Tiene reflexiones de deslizamiento cuyos ejes son perpendiculares a los ejes de reflexión. Todos los centros de rotación se encuentran sobre ejes de reflexión de deslizamiento.

Ejemplos de pmg grupal

• 
  Generado por computadora
• 
  Tela, Islas Sandwich ( Hawai )
• 
  Techo de una tumba egipcia
• 
  Alicatado de suelos en Praga , República Checa
• 
  Cuenco de Kerma
• 
  4 mosaicos co-uniformes
• 
  Embalaje del Pentágono

• Firma Orbifold: 22 ×
• Notación de Coxeter (rectangular): [((∞,2) ⁺ ,(∞,2) ⁺ )]
• Notación de Coxeter (cuadrado): [4 ⁺ ,4 ⁺ ]
• Celosía: rectangular
• Grupo de puntos: D ₂
• El grupo pgg contiene dos centros de rotación de orden dos (180°) y reflexiones de deslizamiento en dos direcciones perpendiculares. Los centros de rotación no están ubicados en los ejes de reflexión de deslizamiento. No hay reflexiones.

Ejemplos de grupo pgg

• 
  Generado por computadora
• 
  Vasija de bronce en Nimrud , Asiria
• 
  Pavimento en Budapest , Hungría
• 
  4 mosaicos co-uniformes (estrictamente trihexagonales)

• Firma Orbifold: 2 *22
• Notación de Coxeter (rómbica): [∞,2 ⁺ ,∞]
• Notación de Coxeter (cuadrado): [(4,4,2 ⁺ )]
• Enrejado: rómbico
• Grupo de puntos: D ₂
• El grupo cmm tiene reflexiones en dos direcciones perpendiculares y una rotación de orden dos (180°) cuyo centro no está en un eje de reflexión. También tiene dos rotaciones cuyos centros están en un eje de reflexión.
• Este grupo se ve con frecuencia en la vida cotidiana, ya que la disposición más común de ladrillos en un edificio de ladrillos ( aparejo corrido ) utiliza este grupo (ver ejemplo a continuación).

La simetría rotacional de orden 2 con centros de rotación en los centros de los lados del rombo es una consecuencia de las otras propiedades.

El patrón corresponde a cada uno de los siguientes:

• Filas simétricamente escalonadas de objetos idénticos doblemente simétricos
• un patrón de tablero de ajedrez de dos piezas rectangulares alternadas, cada una de las cuales, por sí sola, es doblemente simétrica
• un patrón de tablero de ajedrez de una baldosa rectangular rotacionalmente simétrica de dos pliegues alternativamente y su imagen reflejada

Ejemplos de grupo cmm

• 
  Generado por computadora
• 
  Azulejos triangulares alargados
• 
  Muro de ladrillo suburbano con disposición de unión continua , EE. UU.
• 
  Techo de una tumba egipcia . Sin tener en cuenta los colores, esto sería p4g
• 
  egipcio
• 
  Tapiz persa
• 
  Tumba egipcia
• 
  Plato turco
• 
  Un paquete compacto de dos tamaños de círculo.
• 
  Otro embalaje compacto de dos tamaños de círculo.
• 
  Otro embalaje compacto de dos tamaños de círculo.
• 
  3 mosaicos uniformes (Krötenheerdt)

• Firma Orbifold: 442
• Notación de Coxeter: [4,4] ⁺
• Celosía: cuadrada
• Grupo de puntos: C ₄
• El grupo p 4 tiene dos centros de rotación de orden cuatro (90°) y un centro de rotación de orden dos (180°). No tiene reflexiones ni reflexiones de deslizamiento.

Ejemplos del grupo p 4

Un patrón p 4 puede considerarse como una repetición en filas y columnas de piezas cuadradas iguales con simetría rotacional cuádruple. También puede considerarse como un patrón de tablero de ajedrez de dos de esas piezas, un factor √ 2 más pequeño y rotado 45°.

• 
  Generado por computadora
• 
  Techo de una tumba egipcia ; ignorando los colores, esta es la página 4 , de lo contrario, la página 2
• 
  Techo de una tumba egipcia
• 
  Patrones superpuestos
• 
  Friso, Alhambra , España . Es necesario observarlo de cerca para ver por qué no hay reflejos.
• 
  Bastón vienés
• 
  Cerámica renacentista
• 
  Teselación pitagórica
• 
  Generado a partir de una fotografía
• 
  4 mosaicos co-uniformes

• Firma Orbifold: *442
• Notación de Coxeter: [4,4]
• Celosía: cuadrada
• Grupo de puntos: D ₄
• El grupo p 4 m tiene dos centros de rotación de orden cuatro (90°) y reflexiones en cuatro direcciones distintas (horizontal, vertical y diagonal). Tiene reflexiones de deslizamiento adicionales cuyos ejes no son ejes de reflexión; las rotaciones de orden dos (180°) están centradas en la intersección de los ejes de reflexión de deslizamiento. Todos los centros de rotación se encuentran en los ejes de reflexión.

Esto corresponde a una cuadrícula sencilla de filas y columnas de cuadrados iguales con los cuatro ejes de reflexión. También corresponde a un patrón de tablero de ajedrez de dos de esos cuadrados.

Ejemplos de grupo p 4 m

Ejemplos mostrados con las traducciones más pequeñas horizontales y verticales (como en el diagrama):

• 
  Generado por computadora
• 
  Azulejos cuadrados
• 
  Teselación cuadrada de Tetrakis ; ignorando los colores, esto es p 4 m , de lo contrario cmm
• 
  Mosaico cuadrado truncado (también ignora el color, con traducciones más pequeñas)
• 
  Pintura ornamental, Nínive , Asiria
• 
  Desagüe pluvial , EE.UU.
• 
  Caja de momia egipcia
• 
  Azulejo esmaltado persa
• 
  Embalaje compacto de dos tamaños de círculo.
• 
  4 mosaicos uniformes (Krötenheerdt)

Ejemplos mostrados con la diagonal de traducción más pequeña:

• 
  tablero de damas
• 
  Tela, Otaheite ( Tahití )
• 
  Tumba egipcia
• 
  Catedral de Bourges
• 
  Plato de Turquía , época otomana

• Firma Orbifold: 4 *2
• Notación de Coxeter: [4 ⁺ ,4]
• Celosía: cuadrada
• Grupo de puntos: D ₄
• El grupo p 4 g tiene dos centros de rotación de orden cuatro (90°), que son imagen especular entre sí, pero tiene reflexiones sólo en dos direcciones, que son perpendiculares. Hay rotaciones de orden dos (180°) cuyos centros se encuentran en las intersecciones de los ejes de reflexión. Tiene ejes de reflexión de deslizamiento paralelos a los ejes de reflexión, entre ellos, y también en un ángulo de 45° con estos.

Un patrón p 4 g puede considerarse como un patrón de tablero de ajedrez de copias de una pieza cuadrada con simetría rotacional cuádruple y su imagen reflejada. Alternativamente, puede considerarse (desplazando la mitad de una pieza) como un patrón de tablero de ajedrez de copias de una pieza simétrica horizontal y verticalmente y su versión rotada 90°. Nótese que ninguna de estas dos opciones se aplica a un patrón de tablero de ajedrez simple de piezas blancas y negras, este es el grupo p4m (con celdas de traslación diagonal).

Ejemplos del grupo p 4 g

• 
  Linóleo para baño , EE.UU.
• 
  Porcelana pintada , China
• 
  Mosquitera, EE. UU.
• 
  Pintura, China
• 
  Uno de los colores del mosaico cuadrado chato (ver también en la pág. 1 )
• 
  4 mosaico co-uniforme ( fractalización del mosaico de cuadrados romos)

• Firma Orbifold: 333
• Notación de Coxeter: [(3,3,3)] ⁺ o [3 ^[3] ] ⁺
• Celosía: hexagonal
• Grupo de puntos: C ₃
• The group p3 has three different rotation centres of order three (120°), but no reflections or glide reflections.

Imagine a tessellation of the plane with equilateral triangles of equal size, with the sides corresponding to the smallest translations. Then half of the triangles are in one orientation, and the other half upside down. This wallpaper group corresponds to the case that all triangles of the same orientation are equal, while both types have rotational symmetry of order three, but the two are not equal, not each other's mirror image, and not both symmetric (if the two are equal it is p6, if they are each other's mirror image it is p31m, if they are both symmetric it is p3m1; if two of the three apply then the third also, and it is p6m). For a given image, three of these tessellations are possible, each with rotation centres as vertices, i.e. for any tessellation two shifts are possible. In terms of the image: the vertices can be the red, the blue or the green triangles.

Equivalently, imagine a tessellation of the plane with regular hexagons, with sides equal to the smallest translation distance divided by √3. Then this wallpaper group corresponds to the case that all hexagons are equal (and in the same orientation) and have rotational symmetry of order three, while they have no mirror image symmetry (if they have rotational symmetry of order six it is p6, if they are symmetric with respect to the main diagonals it is p31m, if they are symmetric with respect to lines perpendicular to the sides it is p3m1; if two of the three apply then the third also, it is p6m). For a given image, three of these tessellations are possible, each with one third of the rotation centres as centres of the hexagons. In terms of the image: the centres of the hexagons can be the red, the blue or the green triangles.

Examples of group p3

• 
  Computer generated
• 
  Snub trihexagonal tiling (ignoring the colors: p6); the translation vectors are rotated a little to the right compared with the directions in the underlying hexagonal lattice of the image
• 
  Street pavement in Zakopane, Poland
• 
  Wall tiling in the Alhambra, Spain (and the whole wall); ignoring all colors this is p3 (ignoring only star colors it is p1)
• 
  6 co-uniform tiling, each rotation point surrounded by a 3-fold cluster

• Orbifold signature: *333
• Coxeter notation: [(3,3,3)] or [3^[3]]
• Lattice: hexagonal
• Point group: D₃
• The group p3m1 has three different rotation centres of order three (120°). It has reflections in the three sides of an equilateral triangle. The centre of every rotation lies on a reflection axis. There are additional glide reflections in three distinct directions, whose axes are located halfway between adjacent parallel reflection axes.

Like for p3, imagine a tessellation of the plane with equilateral triangles of equal size, with the sides corresponding to the smallest translations. Then half of the triangles are in one orientation, and the other half upside down. This wallpaper group corresponds to the case that all triangles of the same orientation are equal, while both types have rotational symmetry of order three, and both are symmetric, but the two are not equal, and not each other's mirror image. For a given image, three of these tessellations are possible, each with rotation centres as vertices. In terms of the image: the vertices can be the red, the blue or the green triangles.

Examples of group p3m1

• 
  Triangular tiling (ignoring colors: p6m)
• 
  Hexagonal tiling (ignoring colors: p6m)
• 
  Truncated hexagonal tiling (ignoring colors: p6m)
• 
  Persian glazed tile (ignoring colors: p6m)
• 
  Persian ornament
• 
  Painting, China (see detailed image)
• 
  6 co-uniform tiling (smallest one containing 3 different 3-clusters)

• Orbifold signature: 3*3
• Coxeter notation: [6,3⁺]
• Lattice: hexagonal
• Point group: D₃
• The group p31m has three different rotation centres of order three (120°), of which two are each other's mirror image. It has reflections in three distinct directions. It has at least one rotation whose centre does not lie on a reflection axis. There are additional glide reflections in three distinct directions, whose axes are located halfway between adjacent parallel reflection axes.

Like for p3 and p3m1, imagine a tessellation of the plane with equilateral triangles of equal size, with the sides corresponding to the smallest translations. Then half of the triangles are in one orientation, and the other half upside down. This wallpaper group corresponds to the case that all triangles of the same orientation are equal, while both types have rotational symmetry of order three and are each other's mirror image, but not symmetric themselves, and not equal. For a given image, only one such tessellation is possible. In terms of the image: the vertices must be the red triangles, not the blue triangles.

Examples of group p31m

• 
  Persian glazed tile
• 
  Painted porcelain, China
• 
  Painting, China
• 
  Compact packing of two sizes of circle
• 
  4 co-uniform tiling

• Orbifold signature: 632
• Coxeter notation: [6,3]⁺
• Lattice: hexagonal
• Point group: C₆
• The group p6 has one rotation centre of order six (60°); two rotation centres of order three (120°), which are each other's images under a rotation of 60°; and three rotation centres of order two (180°) which are also each other's images under a rotation of 60°. It has no reflections or glide reflections.

A pattern with this symmetry can be looked upon as a tessellation of the plane with equal triangular tiles with C₃ symmetry, or equivalently, a tessellation of the plane with equal hexagonal tiles with C₆ symmetry (with the edges of the tiles not necessarily part of the pattern).

Examples of group p6

• 
  Computer generated
• 
  Regular polygons
• 
  Wall panelling, the Alhambra, Spain
• 
  Persian ornament
• 
  Floret pentagonal tiling
• 
  7 co-uniform tiling with horizontal and 60° translations

• Orbifold signature: *632
• Coxeter notation: [6,3]
• Lattice: hexagonal
• Point group: D₆
• The group p6m has one rotation centre of order six (60°); it has two rotation centres of order three, which only differ by a rotation of 60° (or, equivalently, 180°), and three of order two, which only differ by a rotation of 60°. It has also reflections in six distinct directions. There are additional glide reflections in six distinct directions, whose axes are located halfway between adjacent parallel reflection axes.

A pattern with this symmetry can be looked upon as a tessellation of the plane with equal triangular tiles with D₃ symmetry, or equivalently, a tessellation of the plane with equal hexagonal tiles with D₆ symmetry (with the edges of the tiles not necessarily part of the pattern). Thus the simplest examples are a triangular lattice with or without connecting lines, and a hexagonal tiling with one color for outlining the hexagons and one for the background.

Examples of group p6m

• 
  Computer generated
• 
  Trihexagonal tiling
• 
  Small rhombitrihexagonal tiling
• 
  Great rhombitrihexagonal tiling
• 
  Persian glazed tile
• 
  Bronze vessel in Nimroud, Assyria
• 
  Byzantine marble pavement, Rome
• 
  Painted porcelain, China
• 
  Painted porcelain, China
• 
  Compact packing of two sizes of circle
• 
  Another compact packing of two sizes of circle
• 
  7 co-uniform tiling
• 
  King's dress, Khorsabad, Assyria; this is almost p6m (ignoring inner parts of flowers, which make it cmm)

There are five lattice types or Bravais lattices, corresponding to the five possible wallpaper groups of the lattice itself. The wallpaper group of a pattern with this lattice of translational symmetry cannot have more, but may have less symmetry than the lattice itself.

• In the 5 cases of rotational symmetry of order 3 or 6, the unit cell consists of two equilateral triangles (hexagonal lattice, itself p6m). They form a rhombus with angles 60° and 120°.
• In the 3 cases of rotational symmetry of order 4, the cell is a square (square lattice, itself p4m).
• In the 5 cases of reflection or glide reflection, but not both, the cell is a rectangle (rectangular lattice, itself pmm). It may also be interpreted as a centered rhombic lattice. Special cases: square.
• In the 2 cases of reflection combined with glide reflection, the cell is a rhombus (rhombic lattice, itself cmm). It may also be interpreted as a centered rectangular lattice. Special cases: square, hexagonal unit cell.
• In the case of only rotational symmetry of order 2, and the case of no other symmetry than translational, the cell is in general a parallelogram (parallelogrammatic or oblique lattice, itself p2). Special cases: rectangle, square, rhombus, hexagonal unit cell.

The actual symmetry group should be distinguished from the wallpaper group. Wallpaper groups are collections of symmetry groups. There are 17 of these collections, but for each collection there are infinitely many symmetry groups, in the sense of actual groups of isometries. These depend, apart from the wallpaper group, on a number of parameters for the translation vectors, the orientation and position of the reflection axes and rotation centers.

The numbers of degrees of freedom are:

• 6 for p2
• 5 for pmm, pmg, pgg, and cmm
• 4 for the rest.

However, within each wallpaper group, all symmetry groups are algebraically isomorphic.

Some symmetry group isomorphisms:

• p1: Z²
• pm: Z × D_∞
• pmm: D_∞ × D_∞.

• The wallpaper group of a pattern is invariant under isometries and uniform scaling (similarity transformations).
• Translational symmetry is preserved under arbitrary bijective affine transformations.
• Rotational symmetry of order two ditto; this means also that 4- and 6-fold rotation centres at least keep 2-fold rotational symmetry.
• Reflection in a line and glide reflection are preserved on expansion/contraction along, or perpendicular to, the axis of reflection and glide reflection. It changes p6m, p4g, and p3m1 into cmm, p3m1 into cm, and p4m, depending on direction of expansion/contraction, into pmm or cmm. A pattern of symmetrically staggered rows of points is special in that it can convert by expansion/contraction from p6m to p4m.

Note that when a transformation decreases symmetry, a transformation of the same kind (the inverse) obviously for some patterns increases the symmetry. Such a special property of a pattern (e.g. expansion in one direction produces a pattern with 4-fold symmetry) is not counted as a form of extra symmetry.

Change of colors does not affect the wallpaper group if any two points that have the same color before the change, also have the same color after the change, and any two points that have different colors before the change, also have different colors after the change.

If the former applies, but not the latter, such as when converting a color image to one in black and white, then symmetries are preserved, but they may increase, so that the wallpaper group can change.

Several software graphic tools will let you create 2D patterns using wallpaper symmetry groups. Usually you can edit the original tile and its copies in the entire pattern are updated automatically.

• MadPattern, a free set of Adobe Illustrator templates that support the 17 wallpaper groups
• Tess, a shareware tessellation program for multiple platforms, supports all wallpaper, frieze, and rosette groups, as well as Heesch tilings.
• Wallpaper Symmetry is a free online JavaScript drawing tool supporting the 17 groups. The main page has an explanation of the wallpaper groups, as well as drawing tools and explanations for the other planar symmetry groups as well.
• TALES GAME, a free software designed for educational purposes which includes the tessellation function.
• Kali Archived 2018-12-16 at the Wayback Machine, online graphical symmetry editor Java applet (not supported by default in browsers).
• Kali Archived 2020-11-21 at the Wayback Machine, free downloadable Kali for Windows and Mac Classic.
• Inkscape, a free vector graphics editor, supports all 17 groups plus arbitrary scales, shifts, rotates, and color changes per row or per column, optionally randomized to a given degree. (See [1])
• SymmetryWorks is a commercial plugin for Adobe Illustrator, supports all 17 groups.
• EscherSketch is a free online JavaScript drawing tool supporting the 17 groups.
• Repper is a commercial online drawing tool supporting the 17 groups plus a number of non-periodic tilings

• List of planar symmetry groups (summary of this page)
• Aperiodic tiling
• Crystallography
• Layer group
• Mathematics and art
• M. C. Escher
• Point group
• Symmetry groups in one dimension
• Tessellation

• The Grammar of Ornament (1856), by Owen Jones. Many of the images in this article are from this book; it contains many more.
• John H. Conway (1992). "The Orbifold Notation for Surface Groups". In: M. W. Liebeck and J. Saxl (eds.), Groups, Combinatorics and Geometry, Proceedings of the L.M.S. Durham Symposium, July 5–15, Durham, UK, 1990; London Math. Soc. Lecture Notes Series 165. Cambridge University Press, Cambridge. pp. 438–447
• John H. Conway, Heidi Burgiel and Chaim Goodman-Strauss (2008): The Symmetries of Things. Worcester MA: A.K. Peters. ISBN 1-56881-220-5.
• Branko Grünbaum and G. C. Shephard (1987): Tilings and patterns. New York: Freeman. ISBN 0-7167-1193-1.
• Pattern Design, Lewis F. Day

• International Tables for Crystallography Volume A: Space-group symmetry by the International Union of Crystallography
• The 17 plane symmetry groups by David E. Joyce
• Introduction to wallpaper patterns by Chaim Goodman-Strauss and Heidi Burgiel
• Description by Silvio Levy
• Example tiling for each group, with dynamic demos of properties
• Overview with example tiling for each group, by Brian Sanderson
• Escher Web Sketch, a java applet with interactive tools for drawing in all 17 plane symmetry groups
• Burak, a Java applet for drawing symmetry groups. Archived 2009-02-18 at the Wayback Machine
• A JavaScript app for drawing wallpaper patterns
• Circle-Pattern on Roman Mosaics in Greece
• Seventeen Kinds of Wallpaper Patterns Archived 2017-10-12 at the Wayback Machine the 17 symmetries found in traditional Japanese patterns.
• Baloglou, George (2002). "An elementary, purely geometrical classification of the 17 planar crystallographic groups (wallpaper patterns)". Archived from the original on 2018-08-07. Retrieved 2018-07-22.