Euclidean planes in three-dimensional space

In Euclidean geometry, a plane is a flat two-dimensional surface that extends indefinitely. Euclidean planes often arise as subspaces of three-dimensional space $\mathbb {R} ^{3}$ . A prototypical example is one of a room's walls, infinitely extended and assumed infinitesimally thin. While a pair of real numbers $\mathbb {R} ^{2}$ suffices to describe points on a plane, the relationship with out-of-plane points requires special consideration for their embedding in the ambient space $\mathbb {R} ^{3}$ .

Derived concepts

A plane segment or planar region (or simply "plane", in lay use) is a planar surface region; it is analogous to a line segment. A bivector is an oriented plane segment, analogous to directed line segments.^[a] A face is a plane segment bounding a solid object.^[1] A slab is a region bounded by two parallel planes. A parallelepiped is a region bounded by three pairs of parallel planes.

Background

Euclid set forth the first great landmark of mathematical thought, an axiomatic treatment of geometry.^[2] He selected a small core of undefined terms (called common notions) and postulates (or axioms) which he then used to prove various geometrical statements. Although the plane in its modern sense is not directly given a definition anywhere in the Elements, it may be thought of as part of the common notions.^[3] Euclid never used numbers to measure length, angle, or area. The Euclidean plane equipped with a chosen Cartesian coordinate system is called a Cartesian plane; a non-Cartesian Euclidean plane equipped with a polar coordinate system would be called a polar plane.

A plane is a ruled surface.

Euclidean plane

Bi-dimensional Cartesian coordinate system

In mathematics, a Euclidean plane is a Euclidean space of dimension two, denoted ${\textbf {E}}^{2}$ or $\mathbb {E} ^{2}$ . It is a geometric space in which two real numbers are required to determine the position of each point. It is an affine space, which includes in particular the concept of parallel lines. It has also metrical properties induced by a distance, which allows to define circles, and angle measurement.

A Euclidean plane with a chosen Cartesian coordinate system is called a Cartesian plane. The set $\mathbb {R} ^{2}$ of the ordered pairs of real numbers (the real coordinate plane), equipped with the dot product, is often called the Euclidean plane or standard Euclidean plane, since every Euclidean plane is isomorphic to it.

Representation

This section is solely concerned with planes embedded in three dimensions: specifically, in $R 3$ .

Determination by contained points and lines

In a Euclidean space of any number of dimensions, a plane is uniquely determined by any of the following:

Three non-collinear points (points not on a single line).
A line and a point not on that line.
Two distinct but intersecting lines.
Two distinct but parallel lines.

Properties

The following statements hold in three-dimensional Euclidean space but not in higher dimensions, though they have higher-dimensional analogues:

Two distinct planes are either parallel or they intersect in a line.
A line is either parallel to a plane, intersects it at a single point, or is contained in the plane.
Two distinct lines perpendicular to the same plane must be parallel to each other.
Two distinct planes perpendicular to the same line must be parallel to each other.

Point–normal form and general form of the equation of a plane

In a manner analogous to the way lines in a two-dimensional space are described using a point-slope form for their equations, planes in a three dimensional space have a natural description using a point in the plane and a vector orthogonal to it (the normal vector) to indicate its "inclination".

Específicamente, sea $r 0$ el vector de posición de un punto $P 0 = (x 0, y 0, z 0)$ , y sea $n = (a, b, c)$ un vector distinto de cero. El plano determinado por el punto $P 0$ y el vector $n$ consta de aquellos puntos $P$ , con vector de posición $r$ , tales que el vector trazado desde $P 0$ hasta $P$ es perpendicular a $n$ . Recordando que dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es cero, se deduce que el plano deseado puede describirse como el conjunto de todos los puntos $r$ tales que ${\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})=0.$ El punto aquí significa un producto escalar . Expandido se convierte en $a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,$ que es la forma normal puntual de la ecuación de un plano. ^{[ 4 ]} Esta es simplemente una ecuación lineal. $ax+by+cz+d=0,$ dónde $d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}),$ que es la forma ampliada de $-{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}_{0}.$

En matemáticas, es una convención común expresar la normal como un vector unitario , pero el argumento anterior es válido para un vector normal de cualquier longitud distinta de cero.

Por el contrario, se demuestra fácilmente que si $a$ , $b$ , $c$ y $d$ son constantes y $a$ , $b$ y $c$ no son todos cero, entonces la gráfica de la ecuación $ax+by+cz+d=0,$ es un plano que tiene como vector normal el vector $n = (a, b, c) .$ ^{[ 5 ]} Esta ecuación familiar para un plano se llama la forma general de la ecuación del plano o simplemente la ecuación del plano . ^{[ 6 ]}

Así, por ejemplo, una ecuación de regresión de la forma $y = d + ax + cz$ (con $b = -1$ ) establece un plano de mejor ajuste en el espacio tridimensional cuando hay dos variables explicativas.

Describir un plano con un punto y dos vectores que se encuentran sobre él.

Alternativamente, un plano puede describirse paramétricamente como el conjunto de todos los puntos de la forma ${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {r}}_{0}+s{\boldsymbol {v}}+t{\boldsymbol {w}},$

where $s$ and $t$ range over all real numbers, $v$ and $w$ are given linearly independent vectors defining the plane, and $r 0$ is the vector representing the position of an arbitrary (but fixed) point on the plane. The vectors $v$ and $w$ can be visualized as vectors starting at $r 0$ and pointing in different directions along the plane. The vectors $v$ and $w$ can be perpendicular, but cannot be parallel.

Describing a plane through three points

Let $p 1 = (x 1, y 1, z 1)$ , $p 2 = (x 2, y 2, z 2)$ , and $p 3 = (x 3, y 3, z 3)$ be non-collinear points.

Method 1

The plane passing through $p 1$ , $p 2$ , and $p 3$ can be described as the set of all points (x,y,z) that satisfy the following determinant equations: ${\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end {vmatrix}}={\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x-x_{2}&y-y_{2}&z-z_{2}\\x-x_{3}&y-y_{3}&z-z_{3}\end{vmatrix}}=0.$

Method 2

To describe the plane by an equation of the form $ax+by+cz+d=0$ , solve the following system of equations: $ax_{1}+by_{1}+cz_{1}+d=0$ $ax_{2}+by_{2}+cz_{2}+d=0$ $ax_{3}+by_{3}+cz_{3}+d=0.$

This system can be solved using Cramer's rule and basic matrix manipulations. Let $D={\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}.$

If $D$ is non-zero (so for planes not through the origin) the values for $a$ , $b$ and $c$ can be calculated as follows: $a={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}1&y_{1}&z_{1}\\1&y_{2}&z_{2}\\1&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}$ $b={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&1&z_{1}\\x_{2}&1&z_{2}\\x_{3}&1&z_{3}\end{vmatrix}}$ $c={\frac {-d}{D}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}.$

These equations are parametric in d. Setting d equal to any non-zero number and substituting it into these equations will yield one solution set.

Method 3

This plane can also be described by the § Point–normal form and general form of the equation of a plane prescription above. A suitable normal vector is given by the cross product ${\boldsymbol {n}}=({\boldsymbol {p}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{1})\times ({\boldsymbol {p}}_{3}-{\boldsymbol {p}}_{1}),$ and the point $r 0$ can be taken to be any of the given points $p 1$ , $p 2$ or $p 3$ ^[7] (or any other point in the plane).

Operations

Distance from a point to a plane

En el espacio euclidiano , la distancia de un punto a un plano es la distancia entre un punto dado y su proyección ortogonal sobre el plano, es decir, la distancia perpendicular al punto más cercano en el plano.

Se puede encontrar comenzando con un cambio de variables que mueve el origen para que coincida con el punto dado y luego encontrando el punto en el plano desplazado. $ax+by+cz=d$ que está más cerca del origen . El punto resultante tiene coordenadas cartesianas. $(x,y,z)$ :

\displaystyle x={\frac {ad}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle y={\frac {bd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle z={\frac {cd}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}

.

La distancia entre el origen y el punto $(x,y,z)$ es ${\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ .

intersección línea-plano

En geometría , la intersección de una recta y un plano en el espacio tridimensional puede ser el conjunto vacío , un punto o la propia recta. Es la recta completa si esta se encuentra dentro del plano, y es el conjunto vacío si la recta es paralela al plano pero se encuentra fuera de él. En caso contrario, la recta corta el plano en un único punto.

La distinción entre estos casos y la determinación de ecuaciones para el punto y la línea en los últimos casos resultan útiles en gráficos por computadora , planificación de movimiento y detección de colisiones .

Línea de intersección entre dos planos

En geometría , la intersección de dos planos en el espacio tridimensional es una línea o el conjunto vacío para planos paralelos.

Intersección esfera-plano

Cuando la intersección de una esfera y un plano no es un punto vacío o único, es un círculo. Esto se puede ver de la siguiente manera:

Sea S una esfera con centro O , P un plano que interseca a S. Dibujemos OE perpendicular a P y que interseca a P en E. Sean A y B dos puntos cualesquiera en la intersección. Entonces AOE y BOE son triángulos rectángulos con un lado común, OE , y hipotenusas AO y BO iguales. Por lo tanto, los lados restantes AE y BE son iguales. Esto prueba que todos los puntos en la intersección están a la misma distancia del punto E en el plano P , en otras palabras , todos los puntos en la intersección se encuentran en una circunferencia C con centro E. ^{[ 8 ]} Esto prueba que la intersección de P y S está contenida en C. Nótese que OE es el eje de la circunferencia.

Consideremos ahora un punto D de la circunferencia C. Como C pertenece al triángulo P , D también pertenece a él . Por otro lado, los triángulos AOE y DOE son triángulos rectángulos con un lado común, OE , y catetos EA y ED iguales. Por lo tanto , las hipotenusas AO y DO son iguales, e iguales al radio de S , de modo que D pertenece a S. Esto demuestra que C está contenido en la intersección de P y S.

Como corolario, en una esfera hay exactamente un círculo que puede trazarse a través de tres puntos dados. ^{[ 9 ]}

La demostración puede extenderse para mostrar que los puntos de un círculo están todos a una distancia angular común de uno de sus polos. ^{[ 10 ]}

Compárese también con las secciones cónicas , que pueden producir óvalos .

Ocurrencia en la naturaleza

Un plano sirve como modelo matemático para muchos fenómenos físicos, como la reflexión especular en un espejo plano o los frentes de onda en una onda plana viajera . La superficie libre de líquidos no perturbados tiende a ser casi plana (véase planitud ). La superficie más plana jamás fabricada es un espejo atómico estabilizado cuánticamente. ^{[ 11 ]} En astronomía, se utilizan varios planos de referencia para definir posiciones en órbita. Los planos anatómicos pueden ser laterales ("sagitales"), frontales ("coronales") o transversales. En geología, los estratos (capas de sedimentos) a menudo son planos. Los planos están involucrados en diferentes formas de imagen , como el plano focal , el plano de imagen y el plano de imagen .

Índices de Miller

La actitud de un plano reticular es la orientación de la línea normal al plano, ^{[ 12 ]} y se describe mediante los índices de Miller del plano . En el espacio tridimensional, una familia de planos (una serie de planos paralelos) puede denotarse mediante sus índices de Miller ( hkl ), ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} de modo que la familia de planos tiene una actitud común a todos sus planos constituyentes.

Golpear y bajar

Línea de rumbo e inclinación de un plano que describen su actitud con respecto a un plano horizontal y un plano vertical perpendicular a la línea de rumbo.

Muchas características observadas en geología son planos o líneas, y su orientación se conoce comúnmente como su actitud . Estas actitudes se especifican con dos ángulos.

Para una línea, estos ángulos se denominan tendencia y caída . La tendencia es la dirección de la línea en la brújula, y la caída es el ángulo descendente que forma con un plano horizontal. ^{[ 15 ]}

En un plano, los dos ángulos se denominan rumbo (ángulo) e inclinación (ángulo) . El rumbo es la intersección de un plano horizontal con la característica plana observada (y, por lo tanto, una línea horizontal), y el ángulo de rumbo es la orientación de esta línea (es decir, con respecto al norte geográfico o al norte magnético ). La inclinación es el ángulo entre un plano horizontal y la característica plana observada, tal como se observa en un tercer plano vertical perpendicular al rumbo.

Véase también

Notas

Notas explicativas

↑ Más precisamente, una entidad algebraica análoga a una clase de equivalencia de segmentos planos orientados.

Citas

↑ Diccionario colegiado de Merriam-Webster (undécima edición). Springfield, MA: Merriam-Webster . 2004.
↑ Eves 1963 , pág. 19
↑ Joyce, DE (1996), Elementos de Euclides, Libro I, Definición 7 , Universidad Clark , consultado el 8 de agosto de 2009.
↑ Anton 1994 , pág. 155
↑ Anton 1994 , pág. 156
↑ Weisstein, Eric W. (2009), "Plane" , MathWorld--A Wolfram Web Resource , consultado el 8 de agosto de 2009.
↑ Dawkins, Paul, "Ecuaciones de planos" , Cálculo III
↑ La demostración sigue a Hobbs, Proposición 304.
↑ Hobbs, Proposición 308
↑ Hobbs, Proposición 310
↑ Evans, Jon (22 de agosto de 2008). "La superficie más lisa jamás vista es un espejo para los átomos" . New Scientist . Consultado el 5 de marzo de 2023 .
↑ William Anthony Granville (1904). "§178 Línea normal a una superficie". Elementos del cálculo diferencial e integral . Ginn & Company. pág. 275 .
↑ Augustus Edward Hough Love (1892). Tratado sobre la teoría matemática de la elasticidad . Vol. 1. Cambridge University Press. pág. 79 y ss .
↑ Marcus Frederick Charles Ladd; Rex Alfred Palmer (2003). "§2.3 Familias de planos y espaciamientos interplanares" . Determinación de la estructura mediante cristalografía de rayos X (4.ª ed.). Springer. pág. 62 y ss . ISBN 0-306-47454-9.
↑ Stephen Mark Rowland; Ernest M. Duebendorfer; Ilsa M. Schiefelbein (2007). «Actitudes de líneas y planos» . Análisis y síntesis estructural: Un curso práctico de geología estructural (3.ª ed.). Wiley-Blackwell. pág. 1 y ss . ISBN 978-1-4051-1652-7.

Referencias

Anton, Howard (1994), Álgebra lineal elemental (7.ª ed.), John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58742-7
Eves, Howard (1963), Un estudio de la geometría , vol. I, Boston: Allyn and Bacon, Inc.
Hobbs, Charles Austen (1921). Solid Geometry. Cambridge, G.H. Kent. pp. 396-400. LCCN 21016427.

External links

"Plane", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W."Plane". MathWorld.
"Easing the Difficulty of Arithmetic and Planar Geometry" is an Arabic manuscript, from the 15th century, that serves as a tutorial about plane geometry and arithmetic.

[1] Más precisamente, una entidad algebraica análoga a una clase de equivalencia de segmentos planos orientados.

[2] Diccionario colegiado de Merriam-Webster (undécima edición). Springfield, MA: Merriam-Webster . 2004.

[3] Eves 1963 , pág. 19

[4] Joyce, DE (1996), Elementos de Euclides, Libro I, Definición 7 , Universidad Clark , consultado el 8 de agosto de 2009.

[5] Anton 1994 , pág. 155

[6] Anton 1994 , pág. 156

[Weisstein2009-7] Weisstein, Eric W. (2009), "Plane" , MathWorld--A Wolfram Web Resource , consultado el 8 de agosto de 2009.

[PaulsPlanes-8] Dawkins, Paul, "Ecuaciones de planos" , Cálculo III

[9] La demostración sigue a Hobbs, Proposición 304.

[10] Hobbs, Proposición 308

[11] Hobbs, Proposición 310

[Evans_2008-12] Evans, Jon (22 de agosto de 2008). "La superficie más lisa jamás vista es un espejo para los átomos" . New Scientist . Consultado el 5 de marzo de 2023 .

[Granville-13] William Anthony Granville (1904). "§178 Línea normal a una superficie". Elementos del cálculo diferencial e integral . Ginn & Company. pág. 275 .

[Love-14] Augustus Edward Hough Love (1892). Tratado sobre la teoría matemática de la elasticidad . Vol. 1. Cambridge University Press. pág. 79 y ss .

[Ladd-15] Marcus Frederick Charles Ladd; Rex Alfred Palmer (2003). "§2.3 Familias de planos y espaciamientos interplanares" . Determinación de la estructura mediante cristalografía de rayos X (4.ª ed.). Springer. pág. 62 y ss . ISBN 0-306-47454-9.

[Rowland-16] Stephen Mark Rowland; Ernest M. Duebendorfer; Ilsa M. Schiefelbein (2007). «Actitudes de líneas y planos» . Análisis y síntesis estructural: Un curso práctico de geología estructural (3.ª ed.). Wiley-Blackwell. pág. 1 y ss . ISBN 978-1-4051-1652-7.

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