Engranaje epicíclico

Un tren de engranajes epicicloidales (también conocido como engranaje planetario ) es un conjunto reductor compuesto por dos engranajes montados de manera que el centro de uno de ellos (el "planeta") gira alrededor del centro del otro (el "sol"). Un soporte conecta los centros de ambos engranajes y gira para desplazar el o los engranajes planetarios alrededor del engranaje solar. Los engranajes planetario y solar engranan de forma que sus círculos primitivos ruedan sin deslizamiento. Si el engranaje solar se mantiene fijo, un punto en el círculo primitivo del engranaje planetario describe una curva epicicloidal .

Un tren de engranajes epicíclicos puede ensamblarse de manera que el engranaje planetario ruede sobre el interior del círculo primitivo de un anillo exterior, o corona dentada, a veces llamado engranaje anular . Dicho ensamblaje de un planeta que engrana tanto con un engranaje solar como con una corona dentada se denomina tren de engranajes planetarios . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Al optar por mantener fijo uno u otro componente —el portaplanetario, la corona dentada o el engranaje solar— , se pueden obtener tres relaciones de transmisión diferentes. ^{[ 3 ]}

Una propiedad importante de los sistemas de engranajes planetarios es su capacidad para combinar múltiples entradas rotacionales en una sola salida. Este comportamiento puede entenderse mediante una analogía lineal equivalente (cremallera y piñón), que simplifica las relaciones cinemáticas.

• El objeto A → cremallera superior corresponde a un elemento de engranaje (por ejemplo, engranaje solar).
• El objeto C → cremallera inferior corresponde a otro elemento de engranaje (por ejemplo, corona dentada).
• El objeto B → representa el transportador planetario

Si el objeto A está fijo y el objeto B se mueve una pulgada, el objeto C se mueve dos pulgadas.

El punto C se desplaza el doble de distancia que el punto B, debido a la combinación de rotación y traslación.

Un tren de engranajes planetarios simple puede analizarse utilizando un modelo lineal equivalente de cremallera y piñón. En esta analogía, la cremallera A corresponde a un elemento de engranaje, como el engranaje solar; la cremallera C corresponde a otro elemento de engranaje, como la corona dentada; y el cuerpo B representa el portaplanetarios.

Dejar

${\displaystyle v_{A}}$sea ​​la velocidad del bastidor A,

${\displaystyle v_{B}}$sea ​​la velocidad del portador B,

${\displaystyle v_{C}}$sea ​​la velocidad de la cremallera C,

${\displaystyle \omega }$sea ​​la velocidad angular del engranaje planetario, y

${\displaystyle R}$sea ​​el radio de paso del engranaje planetario.

Si el bastidor A está fijo, la condición de no deslizamiento en el punto de contacto superior es:

${\displaystyle v_{A}=v_{B}-\omega R=0.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \omega R=v_{B}.}$

En el punto de contacto inferior, la velocidad de la cremallera C es la suma de la traslación del portador y la contribución rotacional del engranaje planetario:

${\displaystyle v_{C}=v_{B}+\omega R.}$

Sustituyendo${\displaystyle \omega R=v_{B}}$da

${\displaystyle v_{C}=2v_{B}.}$

Por lo tanto, si el transportador B se mueve una unidad mientras el bastidor A está fijo, el bastidor C se mueve dos unidades.

En términos más generales, las condiciones de no deslizamiento en los dos puntos de contacto son:

${\displaystyle v_{A}=v_{B}-\omega R}$

y

${\displaystyle v_{C}=v_{B}+\omega R.}$

Sumando estas ecuaciones se obtiene

${\displaystyle v_{A}+v_{C}=2v_{B},}$

o

${\displaystyle v_{B}={\frac {v_{A}+v_{C}}{2}}.}$

Para un tren de engranajes planetarios, las cantidades de rotación correspondientes son las siguientes:${\displaystyle v_{A}}$corresponde a${\displaystyle N_{s}\omega _{s}}$para el equipo solar,${\displaystyle v_{C}}$corresponde a${\displaystyle N_{r}\omega _{r}}$para el engranaje anular, y${\displaystyle v_{B}}$corresponde a${\displaystyle (N_{s}+N_{r})\omega _{c}}$para el transportista. Aquí,${\displaystyle N_{s}}$es el número de dientes en el engranaje solar,${\displaystyle N_{r}}$es el número de dientes en el engranaje anular, y${\displaystyle \omega _{s}}$,${\displaystyle \omega _{r}}$, y${\displaystyle \omega _{c}}$son las velocidades angulares del engranaje solar, la corona dentada y el portador, respectivamente.

Sustituyendo estas cantidades se obtiene la relación cinemática estándar.

${\displaystyle N_{s}\omega _{s}+N_{r}\omega _{r}=(N_{s}+N_{r})\omega _{c}.}$

Esta ecuación describe cómo las velocidades angulares de dos elementos de engranaje determinan la velocidad angular del tercero. Si solo un elemento está accionado y los demás no tienen restricciones, el movimiento no está determinado de forma unívoca. Se requiere un elemento fijo, una condición de carga o una restricción direccional, como un trinquete o un embrague unidireccional, para definir un movimiento de salida único.

Por ejemplo, dejemos

${\displaystyle N_{s}=60,\quad N_{r}=100,\quad \omega _{s}=+0.5,\quad \omega _{c}=-0.25.}$

Resolviendo para la velocidad del engranaje anular,

${\displaystyle 60(0,5)+100\omega _ {r}=(60+100)(-0,25),}$

entonces

${\displaystyle 30+100\omega _ {r}=-40,}$

${\displaystyle 100\omega _ {r}=-70,}$

y

${\displaystyle \omega _{r}=-0,7.}$

Por lo tanto, la corona dentada gira con una velocidad angular de${\displaystyle -0.7}$, lo que indica una rotación en la dirección negativa según la convención de signos elegida.

Una relación similar se aplica a un diferencial simétrico, donde la velocidad del portador es el promedio de las velocidades de los dos engranajes laterales:

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {\omega _{L}+\omega _{R}}{2}}.}$

Resolver para el engranaje del lado derecho da

${\displaystyle \omega _{R}=2\omega _{c}-\omega _{L}.}$

Por ejemplo, si

${\displaystyle \omega _{L}=0.5}$

y

${\displaystyle \omega _{c}=-0.25,}$

entonces

${\displaystyle \omega _{R}=2(-0.25)-0.5=-1.0.}$

También se han propuesto sistemas de engranajes planetarios modificados para aplicaciones de energía undimotriz, donde pueden ayudar a convertir el movimiento pulsante, irregular y de baja velocidad en una rotación unidireccional más constante.

El engranaje epicíclico o planetario es un sistema de engranajes que consta de uno o más engranajes planetarios exteriores, o piñones , que giran alrededor de un engranaje solar central o rueda solar. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Normalmente, los engranajes planetarios están montados en un brazo o portador móvil, que a su vez puede girar con respecto al engranaje solar. Los sistemas de engranaje epicíclico también incorporan el uso de un engranaje anular exterior, que engrana con los engranajes planetarios. Los engranajes planetarios (o epicíclicos) se clasifican normalmente como engranajes planetarios simples o compuestos. Los engranajes planetarios simples tienen un sol, un anillo, un portador y un conjunto de planetas. Los engranajes planetarios compuestos incluyen uno o más de los siguientes tres tipos de estructuras: planeta engranado (hay al menos dos o más planetas engranados entre sí en cada tren de planetas), planeta escalonado (existe una conexión de eje entre dos planetas en cada tren de planetas) y estructuras multietapa (el sistema contiene dos o más conjuntos de planetas). En comparación con los engranajes planetarios simples, los engranajes planetarios compuestos tienen las ventajas de una mayor relación de reducción, una mayor relación par-peso y configuraciones más flexibles. ^{[ 6 ]}

Los ejes de todos los engranajes suelen ser paralelos, pero en casos especiales como sacapuntas y diferenciales , pueden colocarse en ángulo, introduciendo elementos de engranaje cónico (véase más abajo). Además, los ejes del sol, del portaplanetarios y del anillo suelen ser coaxiales .

Otra configuración de engranaje epicíclico consta de un engranaje solar, un portador y dos planetas que engranan entre sí. Un planeta engrana con el engranaje solar, mientras que el segundo engrana con la corona dentada. En esta configuración, cuando el portador está fijo, la corona dentada gira en la misma dirección que el engranaje solar, lo que proporciona una inversión de sentido en comparación con los engranajes epicíclicos estándar.

Hacia el año 500  a. C., los griegos inventaron el concepto de epiciclos, que son círculos que se desplazan en órbitas circulares. Con esta teoría, Claudio Ptolomeo, en el Almagesto del año 148  d. C., pudo aproximar las trayectorias planetarias observadas al cruzar el cielo. El mecanismo de Anticitera , alrededor del año 80  a. C., tenía un engranaje capaz de reproducir con precisión la trayectoria elíptica de la Luna a través del firmamento, e incluso de corregir la precesión de nueve años de dicha trayectoria. ^{[ 7 ]} (Los griegos interpretaron el movimiento que observaban no como elíptico, sino como epicíclico).

En el  tratado del siglo II d. C. titulado La Sintaxis Matemática (también conocida como Almagesto ), Claudio Ptolomeo utilizó deferentes y epiciclos giratorios que forman trenes de engranajes epicíclicos para predecir los movimientos de los planetas. Las predicciones precisas del movimiento del Sol, la Luna y los cinco planetas (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno) a través del cielo asumían que cada uno seguía una trayectoria trazada por un punto en el engranaje planetario de un tren de engranajes epicíclicos. Esta curva se denomina epitrocoide .

El mecanismo de Anticitera , alrededor del año 80 a. C., utilizaba engranajes epicíclicos  para ajustar la posición de la Luna según la elipticidad de su órbita e incluso su precesión apsidal . Dos engranajes enfrentados giraban alrededor de centros ligeramente diferentes; uno impulsaba al otro, no mediante dientes engranados, sino con un pasador insertado en una ranura del segundo. A medida que la ranura impulsaba el segundo engranaje, el radio de giro cambiaba, provocando así una aceleración y desaceleración del engranaje impulsado en cada revolución.

Richard de Wallingford , abad inglés del  monasterio de St. Albans, describió posteriormente el engranaje epicíclico para un reloj astronómico en el  siglo XIV. ^{[ 8 ]} En 1588, el ingeniero militar italiano Agostino Ramelli inventó el bookwheel , un atril giratorio vertical que contenía un engranaje epicíclico con dos niveles de engranajes planetarios para mantener la orientación adecuada de los libros. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

El matemático e ingeniero francés Desargues ^diseñó y construyó el primer molino con dientes epicicloidales hacia 1650. [ ^{10 ]}

Para que los dientes del engranaje planetario engranen correctamente con los engranajes solar y anular, suponiendo

${\displaystyle n_{p}}$

En engranajes planetarios igualmente espaciados, debe cumplirse la siguiente ecuación:

${\displaystyle {\frac {N_{s}+N_{r}}{n_{p}}}=A}$

dónde

${\displaystyle N_{s},N_{r}}$son el número de dientes del engranaje solar y del engranaje anular , respectivamente,

${\displaystyle n_{p}}$es el número de engranajes planetarios en el conjunto, y

${\displaystyle A}$es un número entero

Si se desea crear un bastidor portador asimétrico con engranajes planetarios no equiangulares, por ejemplo, para generar algún tipo de vibración mecánica en el sistema, se debe diseñar la disposición de los engranajes de manera que la ecuación anterior cumpla con los "engranajes imaginarios". Por ejemplo, en el caso de que un bastidor portador esté diseñado para contener engranajes planetarios espaciados a 0°, 50°, 120° y 230°, se debe calcular como si hubiera 36 engranajes planetarios (equiangulares a 10°), en lugar de los cuatro reales.

La relación de transmisión de un sistema de engranajes epicicloidales es algo contraintuitiva, sobre todo porque existen varias maneras de convertir una rotación de entrada en una rotación de salida. Los cuatro componentes básicos del engranaje epicicloidal son:

• Engranaje solar : El engranaje central
• Bastidor portador : Sujeta uno o más engranajes planetarios de forma simétrica y separada, todos engranados con el engranaje solar.
• Engranajes planetarios : Generalmente de dos a cuatro engranajes periféricos, todos del mismo tamaño, que engranan entre el engranaje solar y la corona dentada.
• Engranaje anular , engranaje lunar , engranaje de anillo o engranaje anular : Un anillo exterior con dientes orientados hacia adentro que engranan con el/los engranaje(s) planetario(s).

La relación de transmisión global de un conjunto de engranajes planetarios simple se puede calcular utilizando las siguientes dos ecuaciones, ^{[ 1 ]} que representan las interacciones sol-planeta y planeta-anillo respectivamente:

${\displaystyle N_{s}\omega _{s}+N_{p}\omega _{p}-\left(N_{s}+N_{p}\right)\omega _{c}=0}$

${\displaystyle N_{r}\omega _{r}-N_{p}\omega _{p}-\left(N_{r}-N_{p}\right)\omega _{c}=0}$

dónde

${\displaystyle \omega _{r},\omega _{s},\omega _{p},\omega _{c}}$

son las velocidades angulares de la corona dentada , el engranaje solar , los engranajes planetarios y el bastidor portador respectivamente, y

${\displaystyle N_{r},N_{s},N_{p}}$

son el número de dientes de la corona dentada , el engranaje solar y cada engranaje planetario respectivamente.

de lo cual podemos derivar lo siguiente:

${\displaystyle N_{s}\omega _{s}+N_{r}\omega _{r}=(N_{s}+N_{r})\omega _{c}}$

${\displaystyle \omega _{s}={\frac {N_{s}+N_{r}}{N_{s}}}\omega _{c}-{\frac {N_{r}}{N_{s}}}\omega _{r}}$

${\displaystyle \omega _{r}={\frac {N_{s}+N_{r}}{N_{r}}}\omega _{c}-{\frac {N_{s}}{N_{r}}}\omega _{s}}$

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {N_{s}}{N_{s}+N_{r}}}\omega _{s}+{\frac {N_{r}}{N_{s}+N_{r}}}\omega _{r}}$

y

${\displaystyle -{\frac {N_{r}}{N_{s}}}={\frac {\omega _{s}-\omega _{c}}{\omega _{r}-\omega _{c}}}}$

solo si${\displaystyle \omega _{r}\neq \omega _{c}}$. ^{[ 11 ]} En muchos sistemas de engranajes epicíclicos, uno de estos tres componentes básicos se mantiene fijo (por lo tanto, se establece${\displaystyle \omega _{...}=0}$Para cada engranaje que permanece fijo, uno de los dos componentes restantes actúa como entrada , suministrando energía al sistema, mientras que el último componente actúa como salida , recibiendo energía del sistema. La relación entre la rotación de entrada y la de salida depende del número de dientes de cada engranaje y de cuál de los componentes permanece fijo.

Alternativamente, en el caso especial en que el número de dientes en cada engranaje cumple la relación${\displaystyle N_{r}=N_{s}+2N_{p}}$La ecuación se puede reescribir de la siguiente manera:

${\displaystyle N_{s}\omega _{s}+(2+n)\omega _{r}-2(1+n)\omega _{c}=0}$

dónde

${\displaystyle n={\tfrac {N_{s}}{N_{p}}}}$es la relación de transmisión sol-planeta.

Estas relaciones pueden utilizarse para analizar cualquier sistema epicíclico, incluyendo aquellos, como las transmisiones de vehículos híbridos, donde dos de los componentes se utilizan como entradas y el tercero proporciona una salida relativa a las dos entradas. ^{[ 12 ]}

En una configuración, el portaplanetarios (verde en el diagrama anterior) se mantiene fijo y el engranaje solar (amarillo) se utiliza como entrada. En ese caso, los engranajes planetarios simplemente giran sobre sus propios ejes (es decir, dan vueltas) a una velocidad determinada por el número de dientes de cada engranaje. Si el engranaje solar tiene${\displaystyle N_{s}}$dientes, y cada engranaje planetario tiene${\displaystyle N_{p}}$dientes, entonces la proporción es igual a${\displaystyle -{\tfrac {N_{s}}{N_{p}}}}$Por ejemplo, si el engranaje solar tiene 24  dientes y cada planeta tiene 16 dientes, entonces la relación es ⁠ − + 24 / 16 ⁠ , o ⁠ − + 3 / 2 ⁠ ; esto significa que un giro en el sentido de las agujas del reloj del engranaje solar produce 1,5 giros en el sentido contrario a las agujas del reloj de cada uno de los engranajes planetarios alrededor de su eje. 

La rotación de los engranajes planetarios puede a su vez accionar la corona dentada (no representada en el diagrama), a una velocidad que corresponde a las relaciones de transmisión: Si la corona dentada tiene${\displaystyle N_{r}}$dientes, entonces el anillo girará por${\displaystyle {\tfrac {N_{p}}{N_{r}}}}$giros por cada giro de los engranajes planetarios. Por ejemplo, si la corona tiene 64  dientes y los planetas tienen 16  dientes, un giro en el sentido de las agujas del reloj de un engranaje planetario resulta en 16/64 , o 1/4 de giros en el sentido de las agujas del reloj de la corona. Ampliando este caso a partir del anterior:

• Un giro del engranaje solar da como resultado${\displaystyle -{\tfrac {N_{s}}{N_{p}}}}$giros de los planetas
• Una vuelta de un engranaje planetario da como resultado${\displaystyle {\tfrac {N_{p}}{N_{r}}}}$giros del engranaje anular

Así, con el portaplanetarios bloqueado, un giro del engranaje solar da como resultado:${\displaystyle -{\tfrac {N_{s}}{N_{r}}}}$giros del engranaje anular.

La corona dentada también puede mantenerse fija, con la entrada proporcionada al portaengranajes planetarios; la rotación de salida se produce entonces desde el engranaje solar. Esta configuración producirá un aumento en la relación de transmisión, igual a${\displaystyle 1+{\tfrac {N_{r}}{N_{s}}}={\tfrac {N_{s}+N_{r}}{N_{s}}}}$.

Si la corona dentada se mantiene fija y el engranaje solar se utiliza como entrada, el portaplanetarios será la salida. La relación de transmisión en este caso será${\displaystyle {\tfrac {1}{1+{\tfrac {N_{r}}{N_{s}}}}}={\tfrac {N_{s}}{N_{s}+N_{r}}}}$, que también puede escribirse como${\displaystyle N_{s}:N_{s}+N_{r}}$Esta es la relación de transmisión más baja que se puede lograr con un tren de engranajes epicicloidales. Este tipo de engranaje se utiliza a veces en tractores y maquinaria de construcción para proporcionar un alto par motor a las ruedas motrices.

En los engranajes de buje de bicicleta , el sol suele ser estacionario, fijado al eje mediante una chaveta o incluso mecanizado directamente sobre él. El portaengranajes planetario se utiliza como entrada. En este caso, la relación de transmisión viene dada simplemente por${\displaystyle {\tfrac {N_{s}+N_{r}}{N_{r}}}}$El número de dientes del engranaje planetario es irrelevante.

A partir de las fórmulas anteriores, también podemos derivar las aceleraciones del sol, el anillo y el portador, que son:

${\displaystyle \alpha _{s}={\frac {N_{s}+N_{r}}{N_{s}}}\alpha _{c}-{\frac {N_{r}}{N_{s}}}\alpha _{r}}$

${\displaystyle \alpha _{r}={\frac {N_{s}+N_{r}}{N_{r}}}\alpha _{c}-{\frac {N_{s}}{N_{r}}}\alpha _{s}}$

${\displaystyle \alpha _{c}={\frac {N_{s}}{N_{s}+N_{r}}}\alpha _{s}+{\frac {N_{r}}{N_{s}+N_{r}}}\alpha _{r}}$

En los engranajes epicicloidales, se deben conocer dos velocidades para determinar la tercera. Sin embargo, en estado estacionario, solo se necesita conocer un par para determinar los otros dos. Las ecuaciones que determinan el par son:

${\displaystyle \tau _{r}=\tau _{s}{\frac {N_{r}}{N_{s}}}}$

${\displaystyle \tau _{r}=-\tau _{c}{\frac {N_{r}}{N_{r}+N_{s}}}}$

${\displaystyle \tau _{c}=-\tau _{r}{\frac {N_{r}+N_{s}}{N_{r}}}}$

${\displaystyle \tau _{c}=-\tau _{s}{\frac {N_{r}+N_{s}}{N_{s}}}}$

${\displaystyle \tau _{s}=\tau _{r}{\frac {N_{s}}{N_{r}}}}$

${\displaystyle \tau _{s}=-\tau _{c}{\frac {N_{s}}{N_{r}+N_{s}}}}$

dónde

${\displaystyle \tau _{r}}$— Par de torsión del anillo (anillo anular),

${\displaystyle \tau _{s}}$— Par de torsión del sol,

${\displaystyle \tau _{c}}$— Par de torsión del portador.

Para los tres casos, estos son los pares aplicados al mecanismo (pares de entrada). Los pares de salida tienen el signo opuesto a los pares de entrada. Estas relaciones de par se pueden derivar utilizando la ley de conservación de la energía. Aplicada a una sola etapa, esta ecuación se expresa como:

${\displaystyle \tau _{r}\omega _{r}+\tau _{c}\omega _{c}+\tau _{s}\omega _{s}=0}$

En los casos en que los engranajes estén acelerando, o para tener en cuenta la fricción, estas ecuaciones deben modificarse.

Un método práctico para determinar las distintas relaciones de velocidad disponibles en un tren de engranajes planetarios comienza por considerar la relación de velocidad del tren de engranajes cuando el portador se mantiene fijo. Esto se conoce como la relación de transmisión con portador fijo. ^{[ 2 ]}

En el caso de un tren de engranajes planetarios simple formado por un portador que soporta un engranaje planetario engranado con un engranaje solar y un engranaje anular, la relación de transmisión del tren de engranajes del portador fijo se calcula como la relación de velocidad del tren de engranajes formado por el engranaje solar, el engranaje planetario y el engranaje anular sobre el portador fijo. Esto viene dado por

${\displaystyle R={\frac {\omega _{s}}{\omega _{r}}}=-{\frac {N_{r}}{N_{s}}}.}$

En este cálculo, el engranaje planetario es un engranaje intermedio.

La fórmula fundamental del tren de engranajes planetarios con portador giratorio se obtiene al reconocer que esta fórmula sigue siendo válida si las velocidades angulares del engranaje solar, planetario y anular se calculan en relación con la velocidad angular del portador. Esto se convierte en:

${\displaystyle R={\frac {\omega _{s}-\omega _{c}}{\omega _{r}-\omega _{c}}}.}$

Esta fórmula proporciona una forma sencilla de determinar las relaciones de velocidad para el tren de engranajes planetarios simple bajo diferentes condiciones:

1. El portador se mantiene fijo

${\displaystyle \omega _{c}=0}$

${\displaystyle {\frac {\omega _{s}}{\omega _{r}}}=R,\quad {\mbox{so}}\quad {\frac {\omega _{s}}{\omega _{r}}}=-{\frac {N_{r}}{N_{s}}}.}$

2. El engranaje anular se mantiene fijo.

${\displaystyle \omega _{r}=0}$

${\displaystyle {\frac {\omega _{s}-\omega _{c}}{-\omega _{c}}}=R,\quad {\mbox{or}}\quad {\frac {\omega _{s}}{\omega _{c}}}=1-R,\quad {\mbox{so}}\quad {\frac {\omega _{s}}{\omega _{c}}}=1+{\frac {N_{r}}{N_{s}}}.}$

3. El engranaje solar se mantiene fijo.

${\displaystyle \omega _{s}=0}$

${\displaystyle {\frac {-\omega _{c}}{\omega _{r}-\omega _{c}}}=R,\quad {\mbox{or}}\quad {\frac {\omega _{r}}{\omega _{c}}}=1-{\frac {1}{R}},\quad {\mbox{so}}\quad {\frac {\omega _{r}}{\omega _{c}}}=1+{\frac {N_{s}}{N_{r}}}.}$

Cada una de las relaciones de velocidad disponibles para un tren de engranajes planetarios simple se puede obtener utilizando frenos de banda para sujetar y liberar el portador, el engranaje solar o la corona según sea necesario. Esto proporciona la estructura básica para una transmisión automática .

Diferencial de engranajes rectos

Un diferencial de engranajes rectos se construye a partir de dos trenes de engranajes epicicloidales coaxiales idénticos, ensamblados con un único portador de manera que sus engranajes planetarios estén acoplados. Esto forma un tren de engranajes planetarios con una relación de transmisión fija R  =  −1.

En este caso, la fórmula fundamental para el tren de engranajes planetarios resulta en:

${\displaystyle {\frac {\omega _{s}-\omega _{c}}{\omega _{r}-\omega _{c}}}=-1,}$

o

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {1}{2}}(\omega _{s}+\omega _{r}).}$

Por lo tanto, la velocidad angular del portador de un diferencial de engranajes rectos es el promedio de las velocidades angulares de los engranajes solares y de corona.

Al hablar del diferencial de engranajes rectos, el término "corona" resulta una forma conveniente de distinguir los engranajes solares de los dos trenes de engranajes epicicloidales. Las coronas suelen ser fijas en la mayoría de las aplicaciones, ya que esta disposición ofrece una buena capacidad de reducción. El segundo engranaje solar cumple la misma función que la corona de un tren de engranajes planetarios simple, pero claramente carece del engranaje interno que caracteriza a una corona. ^{[ 1 ]}

Algunos trenes de engranajes epicicloidales emplean dos engranajes planetarios que engranan entre sí. Uno de estos planetas engrana con el engranaje solar, y el otro con la corona dentada. Esto genera diferentes relaciones de transmisión y también provoca que el engranaje solar gire en la misma dirección que la corona dentada cuando el portaplanetarios está inmóvil. La ecuación fundamental se convierte en:

${\displaystyle (R-1)\omega _{c}=R\omega _{r}-\omega _{s}}$

dónde${\displaystyle R=-{\frac {N_{r}}{N_{s}}}}$

lo cual resulta en:

${\displaystyle \omega _{r}={\frac {\omega _{s}}{R}}}$cuando el portador está bloqueado,

${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{c}{\frac {R-1}{R}}}$cuando el sol está fijo,

${\displaystyle \omega _{s}=-\omega _{c}(R-1)}$cuando la corona dentada está bloqueada.

El término "engranaje planetario compuesto" es un concepto general que se refiere a cualquier engranaje planetario que involucre uno o más de los siguientes tres tipos de estructuras: planeta engranado (hay al menos dos o más planetas engranados entre sí en cada tren de planetas), planeta escalonado (existe una conexión de eje entre dos planetas en cada tren de planetas) y estructuras multietapa (el sistema contiene dos o más conjuntos de planetas).

Algunos diseños utilizan "planetas escalonados", que tienen dos engranajes de diferente tamaño en cada extremo de un eje común. El extremo pequeño engrana con el engranaje solar, mientras que el extremo grande engrana con la corona dentada. Esto puede ser necesario para lograr cambios de paso más pequeños en la relación de transmisión cuando el tamaño total del conjunto es limitado. Los planetas compuestos tienen "marcas de sincronización" (o "fase de engranaje relativa" en términos técnicos). Las condiciones de montaje de los engranajes planetarios compuestos son más restrictivas que las de los engranajes planetarios simples, ^{[ 13 ]} y deben ensamblarse en la orientación inicial correcta entre sí, o sus dientes no engranarán simultáneamente con el engranaje solar y la corona dentada en los extremos opuestos del planeta, lo que provoca un funcionamiento muy irregular y una vida útil corta. En 2015, se desarrolló una variante basada en tracción del diseño de "planetas escalonados" en la Universidad Tecnológica de Delft, ^{[ 14 ]} que se basa en la compresión de los elementos planetarios escalonados para lograr la transmisión de par. El uso de elementos de tracción elimina la necesidad de tener "marcas de sincronización", así como las restrictivas condiciones de montaje que se encuentran habitualmente. Los engranajes planetarios compuestos permiten lograr fácilmente una mayor relación de transmisión con un volumen igual o menor. Por ejemplo, unos engranajes planetarios compuestos con dientes en una relación de 2:1 y una corona dentada de 50 dientes ofrecerían el mismo efecto que una corona dentada de 100 dientes, pero con la mitad del diámetro real.

En una misma carcasa, se pueden colocar varios engranajes planetarios y solares en serie (donde el eje de salida de la primera etapa se convierte en el eje de entrada de la siguiente), lo que proporciona una relación de transmisión mayor (o menor). Así es como funcionan la mayoría de las transmisiones automáticas . En algunos casos, varias etapas pueden incluso compartir la misma corona dentada, que puede extenderse a lo largo de la transmisión o incluso formar parte de la estructura de la carcasa de las cajas de cambios más pequeñas.

Durante la Segunda Guerra Mundial , se desarrolló una variante especial de engranaje epicíclico para equipos de radar portátiles , donde se requería una relación de reducción muy alta en un tamaño reducido. Este sistema constaba de dos coronas exteriores, cada una con la mitad del grosor de las demás. Una de estas coronas permanecía fija y tenía un diente menos que la otra. Por lo tanto, varias vueltas del engranaje solar hacían que los engranajes planetarios completaran una revolución, lo que a su vez provocaba que la corona giratoria rotara un diente, como en un mecanismo cicloidal . ^{[ 15 ]}

Más de un componente de un sistema puede funcionar como salida. Por ejemplo, la entrada está conectada a la corona dentada, el engranaje solar a la salida y el portaplanetarios a la salida mediante un convertidor de par . Se utilizan engranajes intermedios entre el engranaje solar y los planetarios para que este último gire en la misma dirección que la corona dentada cuando el portaplanetarios está inmóvil. A baja velocidad de entrada, debido a la carga en la salida, el engranaje solar permanecerá inmóvil y el portaplanetarios girará en la dirección de la corona dentada. Con una carga suficientemente alta, la turbina del convertidor de par permanecerá inmóvil, la energía se disipará y la bomba del convertidor de par patinará. Si se aumenta la velocidad de entrada para superar la carga, la turbina del convertidor hará girar el eje de salida. Dado que el propio convertidor de par constituye una carga para el portaplanetarios, se ejercerá una fuerza sobre el engranaje solar. Tanto el portaplanetarios como el engranaje solar extraen energía del sistema y la aplican al eje de salida. ^{[ 16 ]}

Los trenes de engranajes planetarios ofrecen una alta densidad de potencia en comparación con los trenes de engranajes de ejes paralelos estándar. Proporcionan una reducción de volumen, múltiples combinaciones cinemáticas, reacciones puramente torsionales y ejes coaxiales. Entre sus desventajas se incluyen las altas cargas en los cojinetes, los requisitos de lubricación constante, la inaccesibilidad y la complejidad del diseño. ^{[ 17 ] [ 18 ]}

La pérdida de eficiencia en un tren de engranajes planetarios suele ser de aproximadamente un 3 % por etapa. Esto garantiza que una alta proporción (alrededor del 97 %) de la energía de entrada se transmita a través de la caja de engranajes, en lugar de desperdiciarse en pérdidas mecánicas internas.

En un tren de engranajes planetarios, la carga se distribuye entre varios planetas; por lo tanto, la capacidad de torsión aumenta considerablemente. Cuantos más planetas tenga el sistema, mayor será la capacidad de carga y la densidad de torsión.

El tren de engranajes planetarios también proporciona estabilidad gracias a una distribución uniforme de la masa y una mayor rigidez rotacional. El par aplicado radialmente a los engranajes de un tren de engranajes planetarios se transmite radialmente a través del engranaje, sin presión lateral sobre los dientes.

En una aplicación típica, la potencia de accionamiento se conecta al engranaje solar. Este, a su vez, acciona los engranajes planetarios engranados con la corona dentada externa. Todo el sistema de engranajes planetarios gira sobre su propio eje y a lo largo de la corona dentada, donde el eje de salida conectado al portaplanetarios logra la reducción de velocidad. Se puede obtener una mayor relación de reducción utilizando engranajes planetarios multietapa que operen dentro de la misma corona dentada.

El método de movimiento de una estructura de engranajes planetarios difiere del de los engranajes paralelos tradicionales. Estos últimos dependen de un número reducido de puntos de contacto entre dos engranajes para transmitir la fuerza motriz. En este caso, toda la carga se concentra en unas pocas superficies de contacto, lo que provoca un desgaste rápido de los engranajes y, en ocasiones, su agrietamiento. Sin embargo, el reductor de velocidad planetario cuenta con múltiples superficies de contacto con una mayor área que distribuye la carga uniformemente alrededor del eje central. Estas múltiples superficies de engranaje comparten la carga de manera uniforme —incluidas las cargas de impacto instantáneas—, lo que los hace más resistentes a los daños causados ​​por pares elevados. La carcasa y los cojinetes también son menos propensos a sufrir daños por cargas elevadas, ya que solo los cojinetes del portaplanetarios experimentan una fuerza lateral significativa derivada de la transmisión del par; las fuerzas radiales se oponen entre sí y se equilibran, y las fuerzas axiales solo se generan al utilizar engranajes helicoidales.

Los engranajes planetarios se han popularizado en la comunidad maker debido a su alta capacidad de torque inherente y su compacidad/eficiencia. ^{[ 19 ]} Especialmente en la impresión 3D, se pueden usar para prototipar rápidamente una caja de engranajes, para luego fabricarla con tecnologías de mecanizado. ^{[ 20 ]}

Un motor con reductor de velocidad debe girar más y más rápido para producir el mismo movimiento de salida en la impresora 3D, lo cual es ventajoso si no se ve contrarrestado por la menor velocidad de movimiento. Si el motor paso a paso tiene que girar más, también tiene que dar más pasos para mover la impresora una distancia determinada; por lo tanto, el motor paso a paso con reductor de velocidad tiene un tamaño de paso mínimo menor que el mismo motor paso a paso sin reductor de velocidad. Si bien la reducción de velocidad mejora la precisión en el movimiento unidireccional, añade holgura al sistema y, por lo tanto, reduce su precisión de posicionamiento absoluta. ^{[ 21 ]}

Dado que los engranajes de espiga son fáciles de imprimir en 3D, se ha popularizado la impresión 3D de sistemas de engranajes planetarios móviles de espiga para enseñar a los niños cómo funcionan los engranajes. Una ventaja de los engranajes de espiga es que no se salen del anillo y no necesitan una placa de montaje, lo que permite ver claramente las piezas móviles.

• La Biblioteca Digital de Modelos Cinemáticos para el Diseño (KMODDL) ofrece vídeos y fotografías de cientos de modelos de sistemas mecánicos en funcionamiento en Cornell.
• "Animación de engranajes epicíclicos en SVG"
• "Animación de engranajes epicíclicos"
• El "Dispositivo de División de Potencia"
• El "Tutorial interactivo sobre engranajes planetarios"
• Caja de cambios del Prius
• Caja de engranajes planetarios
• Atajos para analizar engranajes planetarios. Archivado el 25/02/2021 en Wayback Machine.