El número de Platón

El número de Platón es un número al que Platón se refiere enigmáticamente en su diálogo La República (8.546b). El texto es notoriamente difícil de entender y sus traducciones no permiten una interpretación inequívoca. No existe un consenso real ni sobre el significado ni sobre el valor del número. También se le ha llamado el «número geométrico» o el «número nupcial» (el «número de la novia»). El pasaje en el que Platón introduce el número ha sido objeto de debate desde su redacción, sin que se haya alcanzado un consenso. En cuanto a su valor real, 216 es el más frecuentemente propuesto, pero también se consideran comúnmente 3600 o 12 960 000.

Una lista incompleta ^{[ 1 ]} de autores que mencionan o discurren sobre incluye los nombres de Aristóteles , Proclo para la antigüedad; Ficino y Cardano durante el Renacimiento ; Zeller , Friedrich Schleiermacher , Paul Tannery y Friedrich Hultsch en el siglo XIX y actualmente se añaden nuevos nombres. ^{[ 2 ]}

Más adelante en la República (9.587b) se menciona otro número, conocido como el "Número del Tirano".

Se observan fácilmente grandes diferencias léxicas y sintácticas entre las numerosas traducciones de la República . A continuación, se presenta un texto típico de una traducción relativamente reciente de la República 546b - c:

Ahora bien, para los engendros divinos hay un período comprendido por un número perfecto, y para los mortales por el primero, en el cual los aumentos que dominan y son dominados cuando han alcanzado tres distancias y cuatro límites de asimilación y disimilación, crecimiento y decrecimiento, hacen que todas las cosas sean conversables y conmensurables [546c] entre sí, de las cuales un cuatro tercios basales unidos al pempad producen dos armonías en el tercer aumento, una el producto de factores iguales tomados cien veces, la otra de igual longitud en una dirección pero oblonga, una dimensión de cien números determinados por los diámetros racionales del pempad faltando uno en cada caso, o de los irracionales faltando dos; la otra dimensión de cien cubos de la tríada. Y todo este número geométrico es determinante de esta cosa, de nacimientos mejores e inferiores. ^{[ 3 ]}

El «número geométrico entero», mencionado poco antes del final de este texto, se entiende como el número de Platón. Las palabras introductorias mencionan (un período comprendido por) «un número perfecto», que se toma como una referencia al año perfecto de Platón mencionado en su Timeo (39d). Las palabras se presentan como pronunciadas por las musas , por lo que todo el pasaje a veces se denomina «el discurso de las musas» o algo similar. ^{[ 2 ] [ 4 ]} De hecho, Philip Melanchthon lo comparó con la proverbial oscuridad de las Sibilas . ^{[ 5 ]} Cicerón lo describió célebremente como «oscuro», pero otros han visto cierto tono lúdico. ^{[ 1 ]}

Poco después de la época de Platón, su significado aparentemente no causó desconcierto, como lo atestigua el comentario casual de Aristóteles. ^{[ 6 ]} Sin embargo, medio milenio después, fue un enigma para los neoplatónicos , quienes tenían una inclinación algo mística y escribieron frecuentemente sobre ello, proponiendo interpretaciones geométricas y numéricas. Luego, durante casi mil años, los textos de Platón desaparecieron de Europa Occidental y solo en el Renacimiento el enigma resurgió brevemente. Durante el siglo XIX, cuando los clasicistas restauraron los textos originales, el problema reapareció. Schleiermacher interrumpió su edición de Platón durante una década mientras intentaba comprender el párrafo . Victor Cousin insertó una nota indicando que debía omitirse en su traducción francesa de las obras de Platón. A principios del siglo XX, los hallazgos académicos sugirieron un origen babilónico para el tema. ^{[ 7 ]}

La mayoría de los intérpretes sostienen que el valor del número de Platón es 216 porque es el cubo de 6, es decir, 6 ³ = 216 , lo cual es notable por ser también la suma de los cubos de la terna pitagórica (3, 4, 5): 3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³ .

Estas consideraciones tienden a ignorar la segunda parte del texto, donde se describen otros números y sus relaciones. Las opiniones tienden a converger en que sus valores son 480 000 y 270 000, pero hay poco acuerdo sobre los detalles. Se ha observado que 6 × ⁴ da como resultado 1296 y 48 × 27 = 36 × 36 = 1296. En lugar de la multiplicación, algunas interpretaciones consideran la suma de estos factores: 48 + 27 = 75 .

Otros valores que se han propuesto incluyen:

• 17.500 = 100 × 100 + 4800 + 2700 , por Otto Weber (1862). ^{[ 8 ]}
• 760.000 = 750.000 + 10.000 = 19 × 4 × 10000 , 19 se obtiene de ( ⁠ 4 / 3 ⁠ + 5) × 3 y es el número de años en el ciclo metónico . ^{[ 1 ]}
• 8128 = 2 ⁶ × (2 ⁷ − 1) , un número perfecto propuesto por Cardano. Se sabe que tales números se pueden descomponer en la suma de cubos impares consecutivos, por lo que 8128 = 1 ³ + 3 ³ + 5 ³ + ... + 15 ³ .
• 1728 = 12 ³ = 8 × 12 × 18 , de Marsilio Ficino (1496). ^{[ 9 ]}
• 5040 = 144 × 35 = (3 + 4 + 5) ² × (2 ³ + 3 ³ ) , por Jacob Friedrich Fries (1823). ^{[ 1 ]}

• Conjetura de Euler sobre la suma de potencias

• Donaldson J., "Sobre el número de Platón", Actas de la Sociedad Filológica , vol. 1, núm. 8, págs.  81-90, 7 de abril de 1843
• Adam J. , El número nupcial de Platón: su solución y significado , Londres: CJ Clay and Sons, 1891.
• Laird, AG, El número geométrico de Platón y el comentario de Proclo , The Collegiate Press, George Banta Publishing Company, Menasha, Wisconsin. 1918
• Diès A., Le Nombre de Platon: Essai d'exégèse et d'Histoire , París 1936
• Allen M., Aritmética nupcial: Comentario de Marsilio Ficino sobre el número fatal en el libro VIII de la República de Platón , UCLA 1994
• Dumbrill R., Cuatro textos matemáticos de la biblioteca del templo de Nippur: una fuente para el número de Platón , ARane 1 (2009): 27-37

• Cinco traducciones de Rep. 8.546 y 9.587
• Weisstein, Eric W. "Los números de Platón" . MathWorld .
• Ramanujan y ^{la ecuación} cúbica ^3³  +  4³ + ^5³ = 6³    
• Mundo de las matemáticas  : Ecuación diofántica - Potencias 3.
• La suma de cubos consecutivos es igual a un cubo.