Plano proyectivo real

Consideremos una esfera , y llamemos "líneas" a sus círculos máximos , y "puntos" a los pares de puntos antipodales . Es fácil comprobar que este sistema cumple los axiomas requeridos para un plano proyectivo :

• Cualquier par de círculos máximos distintos se encuentran en un par de puntos antipodales; y
• Dos pares cualesquiera de puntos antipodales distintos se encuentran sobre un mismo círculo máximo.

Si identificamos cada punto de la esfera con su punto antipodal, obtenemos una representación del plano proyectivo real en la que los "puntos" del plano proyectivo son realmente puntos. Esto significa que el plano proyectivo es el espacio cociente de la esfera obtenido al particionar la esfera en clases de equivalencia bajo la relación de equivalencia ~, donde x ~ y si y = x o y = − x . Este espacio cociente de la esfera es homeomorfo con el conjunto de todas las rectas que pasan por el origen en R ³ .

La aplicación cociente de la esfera al plano proyectivo real es, de hecho, una aplicación de recubrimiento de dos hojas (es decir, de dos a uno) . De ello se deduce que el grupo fundamental del plano proyectivo real es el grupo cíclico de orden 2; es decir, los enteros módulo 2. Se puede considerar el bucle AB de la figura anterior como el generador.

Debido a que la esfera cubre el plano proyectivo real dos veces, el plano puede representarse como un hemisferio cerrado alrededor de cuyo borde se identifican puntos opuestos. ^{[ 2 ]}

El plano proyectivo puede sumergirse (los entornos locales del espacio fuente no tienen autointersecciones) en el espacio tridimensional. La superficie de Boy es un ejemplo de inmersión.

Los ejemplos poliédricos deben tener al menos nueve caras. ^{[ 3 ]}

La superficie romana de Steiner es un mapa más degenerado del plano proyectivo en el espacio tridimensional, que contiene una tapa en forma de cruz .

Una representación poliédrica es el tetrahemihexaedro , ^{[ 4 ]} que tiene la misma forma general que la superficie romana de Steiner, que se muestra aquí.

En sentido contrario, ciertos politopos regulares abstractos —el hemicubo , el hemidodecaedro y el hemiicosaedro— pueden construirse como figuras regulares en el plano proyectivo; véase también poliedros proyectivos .

Se han descrito varias proyecciones planas o mapeos del plano proyectivo. En 1874 Klein describió el mapeo: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle k(x,y)=\left(1+x^{2}+y^{2}\right)^{\frac {1}{2}}{\binom {x}{y}}}$

La proyección central del hemisferio proyectivo sobre un plano da como resultado el plano proyectivo infinito habitual, que se describe a continuación.

Se obtiene una superficie cerrada pegando un disco a una tapa en forma de cruz . Esta superficie se puede representar paramétricamente mediante las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}X(u,v)&=r(1+\cos v)\cos u,\\Y(u,v)&=r(1+\cos v)\sin u,\\Z(u,v)&=-\operatorname {tanh} \left(u-\pi \right)r\sin v,\end{aligned}}}$

donde tanto u como v varían de 0 a 2π .

Estas ecuaciones son similares a las de un toroide . La figura  1 muestra un disco cerrado con tapas en forma de cruz.

Un disco con tapa en forma de cruz tiene un plano de simetría que pasa por el segmento de línea de sus puntos dobles. En la Figura  1, el disco con tapa en forma de cruz se observa desde arriba de su plano de simetría z = 0, pero se vería igual si se observara desde abajo.

Un disco con forma de cruz puede cortarse siguiendo su plano de simetría, procurando no cortar ninguno de sus puntos dobles. El resultado se muestra en la Figura  2.

Una vez hecha esta excepción, se verá que el disco con tapa cruzada seccionado es homeomorfo a un disco autointersecante, como se muestra en la Figura  3.

El disco autointersecante es homeomorfo a un disco ordinario. Las ecuaciones paramétricas del disco autointersecante son:

${\displaystyle {\begin{aligned}X(u,v)&=rv\cos 2u,\\Y(u,v)&=rv\sin 2u,\\Z(u,v)&=rv\cos u,\end{aligned}}}$

donde u varía de 0 a 2π y v varía de 0 a 1.

Al proyectar el disco que se autointerseca sobre el plano de simetría ( z = 0 en la parametrización dada anteriormente), que pasa solo por los puntos dobles, el resultado es un disco ordinario que se repite (se duplica sobre sí mismo).

El plano z = 0 divide el disco que se autointerseca en un par de discos que son reflejos especulares uno del otro. Los discos tienen sus centros en el origen .

Ahora consideremos los bordes de los discos (con v = 1). Los puntos en el borde del disco que se autointerseca vienen en pares que son reflexiones entre sí con respecto al plano z = 0.

Se forma un disco cruzado al identificar estos pares de puntos, haciéndolos equivalentes entre sí. Esto significa que un punto con parámetros ( u , 1) y coordenadas${\displaystyle (r\cos 2u,r\sin 2u,r\cos u)}$se identifica con el punto ( u  + π , 1) cuyas coordenadas son  ${\displaystyle (r\cos 2u,r\sin 2u,-r\cos u)}$Esto significa que pares de puntos opuestos en el borde del disco ordinario (equivalente) se identifican entre sí; así es como se forma un plano proyectivo real a partir de un disco. Por lo tanto, la superficie mostrada en la Figura  1 (tapa cruzada con disco) es topológicamente equivalente al plano proyectivo real RP ² .

Una línea en P ² se puede representar mediante la ecuación ax + by + cz = 0. Si tratamos a , b , y c como el vector columna ℓ y x , y , z como el vector columna x , entonces la ecuación anterior se puede escribir en forma matricial como:

x ^T ℓ = 0 o ℓ ^T x = 0.

Utilizando notación vectorial, podemos escribir x ⋅ ℓ = 0 o ℓ ⋅ x = 0.

La ecuación k ( x ^T ℓ ) = 0 (donde k es un escalar distinto de cero) barre un plano que pasa por el cero en R ³ y k ( x ) barre una recta, que también pasa por el cero. El plano y la recta son subespacios lineales en R ³ que siempre pasan por el cero.

En P ² la ecuación de una línea es ax + by + cz = 0 y esta ecuación puede representar una línea en cualquier plano paralelo al plano x , y multiplicando la ecuación por k .

Si z = 1, tenemos una coordenada homogénea normalizada. Todos los puntos con z = 1 forman un plano. Imaginemos que observamos ese plano (desde una posición más alejada a lo largo del eje z y mirando hacia el origen) y que hay dos líneas paralelas dibujadas sobre él. Desde nuestra posición (dadas nuestras capacidades visuales), solo podemos ver una parte del plano, que representamos como el área delimitada en rojo en el diagrama. Si nos alejamos del plano a lo largo del eje z (aún mirando hacia el origen), podemos ver más del plano. En nuestro campo de visión, los puntos originales se han movido. Podemos reflejar este movimiento dividiendo la coordenada homogénea por una constante. En la imagen adyacente, hemos dividido por 2, por lo que el valor de z ahora es 0,5. Si nos alejamos lo suficiente, lo que estamos viendo se convierte en un punto en la distancia. A medida que nos alejamos, vemos cada vez más líneas paralelas. Las líneas se encontrarán en una línea en el infinito (una línea que pasa por el cero en el plano en z = 0 ). Las líneas en el plano cuando z = 0 son puntos ideales. El plano en z = 0 es la línea en el infinito.

El punto homogéneo (0, 0, 0) es donde se encuentran todos los puntos reales cuando se observa el plano desde una distancia infinita; una línea en el plano z = 0 es donde se intersecan las líneas paralelas.

En la ecuación x ^T ℓ = 0 hay dos vectores columna . Se puede mantener uno constante y variar el otro. Si mantenemos el punto x constante y variamos los coeficientes ℓ, creamos nuevas líneas que pasan por el punto. Si mantenemos los coeficientes constantes y variamos los puntos que satisfacen la ecuación, creamos una línea. Consideramos x como un punto porque los ejes que usamos son x , y y z . Si en cambio representáramos los coeficientes usando los ejes marcados con a , b y c, los puntos se convertirían en líneas y las líneas en puntos. Si se demuestra algo con los datos representados en los ejes marcados con x , y y z, el mismo argumento se puede usar para los datos representados en los ejes marcados con a , b y c . Eso es dualidad.