Argumento del agujero

El argumento del agujero fue el argumento, desarrollado por el físico de origen alemán Albert Einstein , de que la covarianza general no era aplicable a las ecuaciones de los campos gravitatorios . ^{[ 1 ]}

En una ecuación de campo convencional, conocer la fuente del campo y las condiciones de contorno permite determinar el campo en todas partes. Por ejemplo, si se nos dan la corriente, la densidad de carga y las condiciones de contorno adecuadas, las ecuaciones de Maxwell determinan los campos eléctrico y magnético. Sin embargo, no determinan de forma unívoca el potencial vectorial, ya que este depende de una elección arbitraria de calibre.

Einstein observó que si las ecuaciones de la gravedad son generalmente covariantes , entonces la métrica no puede determinarse de forma única a partir de sus fuentes como función de las coordenadas del espacio-tiempo. Como ejemplo: consideremos una fuente gravitacional, como el Sol . Entonces existe un campo gravitacional descrito por una métrica g(r). Ahora realicemos una transformación de coordenadas r.${\displaystyle \to }$donde r' es igual a r para los puntos que están dentro del Sol, pero r' es diferente de r fuera del Sol. La descripción de coordenadas del interior del Sol no se ve afectada por la transformación, pero la forma funcional de la métrica g' para los nuevos valores de coordenadas fuera del Sol cambia. Debido a la covarianza general de las ecuaciones de campo, esta métrica transformada g' también es una solución en el sistema de coordenadas sin transformar.

Esto significa que una misma fuente, el Sol, puede ser la fuente de muchas métricas aparentemente diferentes. La solución es inmediata: dos campos cualesquiera que solo se diferencian por una transformación de "agujero" son físicamente equivalentes, del mismo modo que dos potenciales vectoriales diferentes que se diferencian por una transformación de gauge son físicamente equivalentes. Por lo tanto, todas estas soluciones matemáticamente distintas no son físicamente distinguibles: representan una misma solución física de las ecuaciones de campo.

Existen muchas variantes de esta aparente paradoja. En una versión, se considera una superficie de valores iniciales con algunos datos y se halla la métrica en función del tiempo. A continuación, se realiza una transformación de coordenadas que desplaza los puntos en el futuro de la superficie de valores iniciales, pero que no afecta a la superficie inicial ni a ningún punto en el infinito. La conclusión puede ser que las ecuaciones de campo generalmente covariantes no determinan el futuro de forma unívoca, puesto que esta nueva métrica transformada en coordenadas es una solución igualmente válida de las mismas ecuaciones de campo en el sistema de coordenadas original. Por lo tanto, el problema de valores iniciales no tiene una solución única en la relatividad general. Esto también es cierto en electrodinámica, ya que se puede realizar una transformación de calibre que solo afectará al potencial vectorial en el futuro. La solución en ambos casos consiste en utilizar condiciones adicionales para fijar un calibre.

La derivación de las ecuaciones del campo gravitatorio por parte de Einstein se retrasó debido al argumento del agujero que creó en 1913. ^{[ 2 ]} Sin embargo, el problema no era como se presenta en la sección anterior. Para 1912, cuando Einstein comenzó lo que llamó su "lucha con el significado de las coordenadas", ^{[ 3 ]} ya sabía que debía buscar ecuaciones tensoriales, ya que estas no se ven afectadas por el cambio de coordenadas. Ya había encontrado la forma del campo gravitatorio (es decir, como una tétrada o campo de marco) .${\displaystyle e_{\mu }^{I}(x)}$o métrica${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$), y las ecuaciones de movimiento de la materia en un campo gravitatorio dado (que se derivan de maximizar el tiempo propio dado por${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }(x)dx^{\mu }dx^{\nu }}$). ^{[ 4 ]} Es evidente que esto es invariante bajo transformaciones de coordenadas.

Lo que le perturbaba era una consecuencia de su principio de covarianza general y surge de lo siguiente. ^{[ 5 ]} La covarianza general establece que las leyes de la física deben adoptar la misma forma matemática en todos los sistemas de referencia (acelerados o no) y, por lo tanto, en todos los sistemas de coordenadas, de modo que las ecuaciones diferenciales que son las ecuaciones de campo del campo gravitatorio deben adoptar la misma forma matemática en todos los sistemas de coordenadas. En otras palabras, dados dos sistemas de coordenadas, digamos${\displaystyle x}$coordenadas y${\displaystyle y}$coordenadas, se tiene exactamente la misma ecuación diferencial que resolver en ambos, excepto que en uno la variable independiente es${\displaystyle x}$y en el otro la variable independiente es${\displaystyle y}$. Esto implica que tan pronto como se encuentre una función métrica en el${\displaystyle x}$sistema de coordenadas que resuelve las ecuaciones de campo, uno puede simplemente escribir la misma función pero reemplazar todas las${\displaystyle x}$de con${\displaystyle y}$'s, que resuelve las ecuaciones de campo en el${\displaystyle y}$sistema de coordenadas. Como estas dos soluciones tienen la misma forma funcional pero pertenecen a sistemas de coordenadas diferentes, imponen geometrías espaciotemporales diferentes. Nótese que esta segunda solución no está relacionada con la primera mediante una transformación de coordenadas, pero es una solución de todos modos. He aquí el problema que tanto perturbó a Einstein: si estos sistemas de coordenadas difieren solo después${\displaystyle t=0}$Entonces hay dos soluciones; tienen las mismas condiciones iniciales pero imponen geometrías diferentes después.${\displaystyle t=0}$. Sobre la base de esta observación, Einstein pasó tres años buscando ecuaciones de campo no covariantes en general en una carrera frenética contra Hilbert . ^{[ 6 ]}

Para ser más precisos, Einstein concibió una situación en la que la distribución de la materia se conoce en todas partes fuera de una región cerrada del espacio-tiempo desprovista de materia, el agujero. Entonces, las ecuaciones de campo junto con las condiciones de contorno supuestamente permiten determinar el campo métrico dentro del agujero. Uno toma el${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$Las coordenadas difieren dentro del agujero, pero coinciden fuera de él. El argumento continúa como en el párrafo anterior.

Como estas dos soluciones tienen la misma forma funcional, asumen los mismos valores; simplemente los asumen en lugares diferentes. Por lo tanto, una solución se obtiene de la otra arrastrando activamente la función métrica sobre la variedad espaciotemporal hacia la nueva configuración. Esto se conoce como difeomorfismo , a veces llamado difeomorfismo activo por los físicos para distinguirlo de las transformaciones de coordenadas (difeomorfismos pasivos). Einstein no logró encontrar ecuaciones de campo no covariantes generales, solo para volver al argumento del agujero y resolverlo. Básicamente, implicaba aceptar que estas dos soluciones son físicamente equivalentes al afirmar que la forma en que la métrica se localiza sobre la variedad espaciotemporal es físicamente irrelevante y que los puntos individuales del espaciotemporal definidos en términos de coordenadas espaciotemporales no tienen significado físico en sí mismos (esta es la fuente del problema para el sustancialismo de variedades). Para dar significado a la "ubicación", Einstein generalizó la situación descrita en los párrafos anteriores introduciendo dos partículas; entonces, los puntos físicos (dentro del agujero) pueden definirse en términos de sus líneas de universo coincidentes. Esto funciona porque la materia se desplaza junto con la métrica bajo difeomorfismos activos. Sin la introducción de estas partículas, no sería posible definir puntos del espaciotiempo físico (dentro del agujero); véanse las citas de Einstein que aparecen más adelante en la sección «La resolución de Einstein».

Para quienes tienen inclinaciones filosóficas, aún existe cierta sutileza. Si se consideran los componentes métricos como las variables dinámicas de la Relatividad General , la condición de que las ecuaciones sean invariantes bajo transformaciones de coordenadas carece de significado por sí misma. Todas las teorías físicas son invariantes bajo transformaciones de coordenadas si se formulan correctamente. Es posible escribir las ecuaciones de Maxwell en cualquier sistema de coordenadas y predecir el futuro de la misma manera.

Para formular el electromagnetismo en un sistema de coordenadas arbitrario, es necesario introducir una descripción de la geometría espacio-temporal que no esté ligada a un sistema de coordenadas específico. Esta descripción consiste en un tensor métrico en cada punto, o una relación que define qué vectores cercanos son paralelos. El objeto matemático introducido, la métrica de Minkowski, cambia de forma entre sistemas de coordenadas, pero no forma parte de la dinámica ni obedece a ecuaciones de movimiento. Independientemente de lo que le ocurra al campo electromagnético, este permanece inmutable. Actúa sin ser afectado por ninguna acción externa.

En la relatividad general, cada magnitud local que se utiliza para describir la geometría es, en sí misma, un campo dinámico local con su propia ecuación de movimiento. Esto impone severas restricciones, ya que la ecuación de movimiento debe ser coherente. Debe determinar el futuro a partir de las condiciones iniciales, no debe presentar inestabilidades descontroladas ante pequeñas perturbaciones y debe definir una energía definida positiva para pequeñas desviaciones. Si se parte de la premisa de que la invariancia de coordenadas es trivial, el principio de invariancia de coordenadas simplemente establece que la métrica en sí misma es dinámica y que su ecuación de movimiento no depende de una geometría de fondo fija.

En 1915, Einstein se percató de que el argumento del agujero presupone una naturaleza del espaciotiempo: da por sentado que tiene sentido hablar del valor del campo gravitatorio (salvo transformaciones de coordenadas) en un punto del espaciotiempo definido por una coordenada espaciotemporal; más precisamente, presupone que tiene sentido hablar de las propiedades físicas del campo gravitatorio, por ejemplo, si es plano o curvo (una propiedad del campo gravitatorio independiente de las coordenadas), en un punto del espaciotiempo. Al abandonar esta suposición, la covarianza general se volvió compatible con el determinismo. Si bien dos campos gravitatorios que difieren por un difeomorfismo activo parecen diferentes geométricamente, tras recalcular las trayectorias de todas las partículas, sus interacciones definen manifiestamente ubicaciones «físicas» con respecto a las cuales el campo gravitatorio toma el mismo valor bajo todos los difeomorfismos activos. ^{[ 7 ]} (Nótese que si las dos métricas estuvieran relacionadas entre sí mediante una simple transformación de coordenadas, las líneas de universo de las partículas no se transpondrían; esto se debe a que ambas métricas imponen la misma geometría espaciotemporal y a que las líneas de universo se definen geométricamente como trayectorias de tiempo propio máximo; solo con un difeomorfismo activo se modifica la geometría y se alteran las trayectorias). Esta fue la primera formulación clara del principio de invariancia de gauge en la ley física.

Einstein creía que el argumento del agujero implica que la única definición significativa de lugar y tiempo es a través de la materia. Un punto en el espacio-tiempo carece de significado en sí mismo, porque la etiqueta que se le da a dicho punto es indeterminada. Los puntos del espacio-tiempo solo adquieren su significado físico porque la materia se mueve a través de ellos. En sus palabras:

"Todas nuestras verificaciones espaciotemporales invariablemente se reducen a una determinación de coincidencias espaciotemporales. Si, por ejemplo, los eventos consistieran simplemente en el movimiento de puntos materiales, entonces, en última instancia, nada sería observable salvo el encuentro de dos o más de estos puntos." ^{[ 8 ]}

Consideraba que esta era la idea más profunda de la relatividad general. Según esta idea, el contenido físico de cualquier teoría se agota con el catálogo de coincidencias espaciotemporales que permite. John Stachel denominó a este principio el argumento de la coincidencia puntual . ^{[ 2 ]}

En general, lo que es invariante bajo difeomorfismos activos, y por lo tanto invariante de gauge, son las coincidencias entre el valor del campo gravitatorio y el valor del campo de materia en el mismo "lugar", porque el campo gravitatorio y el campo de materia se arrastran juntos bajo un difeomorfismo activo. A partir de estas coincidencias se puede formar una noción de la materia ubicada con respecto al campo gravitatorio. Como dice Carlo Rovelli : "No más campos en el espaciotiempo: solo campos sobre campos". ^{[ 5 ]} Este es el verdadero significado del dicho "El escenario desaparece y se convierte en uno de los actores"; el espaciotiempo como un "contenedor" sobre el cual se desarrolla la física no tiene un significado físico objetivo y, en cambio, la interacción gravitatoria se representa como solo uno de los campos que forman el mundo.

Einstein se refirió a su resolución como algo que "superó mis expectativas más descabelladas".

La gravedad cuántica de bucles (LQG) es un enfoque de la gravedad cuántica que intenta combinar los principios fundamentales de la GR clásica con las características esenciales mínimas de la mecánica cuántica y sin exigir ninguna hipótesis nueva. Los físicos de la gravedad cuántica de bucles consideran la independencia del fondo como un principio central en su enfoque de cuantización de la gravedad: una simetría clásica que debería ser preservada por la teoría cuántica si queremos estar cuantizando verdaderamente la geometría (=gravedad). Una consecuencia inmediata es que la LQG es UV-finita porque las distancias pequeñas y grandes son equivalentes de gauge, ya que se puede reemplazar una función métrica por otra relacionada con la primera por un difeomorfismo activo. Se puede dar un argumento más preciso. ^{[ 9 ]} La prueba directa de la finitud de la LQG canónica en presencia de todas las formas de materia ha sido proporcionada por Thiemann. ^{[ 10 ]} Sin embargo, se ha sugerido que la gravedad cuántica de bucles viola la independencia del fondo al introducir un marco de referencia preferido (' espumas de espín ').

La teoría de cuerdas perturbativa (además de varias formulaciones no perturbativas) no es «obviamente» independiente del fondo, ya que depende de las condiciones de contorno en el infinito, de forma similar a como la relatividad general perturbativa no depende «obviamente» del fondo. Sin embargo, algunos sectores de la teoría de cuerdas admiten formulaciones en las que la independencia del fondo es manifiesta, incluyendo, sobre todo, la AdS/CFT . Se cree que la teoría de cuerdas es independiente del fondo en general, aunque muchas formulaciones útiles no lo manifiesten. ^{[ 11 ]} Para una opinión contraria, véase Smolin. ^{[ 12 ]}

• Erich Kretschmann
• Filosofía del espacio y del tiempo

• Albert Einstein , HA Lorentz, H. Weyl y H. Minkowski, El principio de la relatividad (1952): Einstein, Albert (1916) "Los fundamentos de la teoría general de la relatividad", págs.  111-164.
• Carlo Rovelli , Gravedad cuántica , publicado por Cambridge University Press (2004) ISBN 0-521-83733-2. Una versión preliminar puede descargarse gratuitamente en http://www.cpt.univ-mrs.fr/~rovelli/book.pdf .
• Norton, John, El argumento del agujero , La enciclopedia de filosofía de Stanford (edición de primavera de 2004), Edward N. Zalta (ed.)
• d'Inverno, Ray (1992). Introducción a la relatividad de Einstein . Oxford: Oxford University Press . ISBN 0-19-859686-3. Véase la sección 13.6 .
• La física se encuentra con la filosofía a la escala de Planck (Cambridge University Press).
• Joy Christian , Por qué lo cuántico debe ceder ante la gravedad , preimpresión disponible como gr-qc/9810078 . Aparece en Physics Meets Philosophy at the Planck Scale (Cambridge University Press).
• Carlo Rovelli y Marcus Gaul , Gravedad cuántica de bucles y el significado de la invariancia de difeomorfismos , preimpresión disponible como gr-qc/9910079 .
• Robert Rynasiewicz : Las lecciones del argumento del agujero , Brit.J.Phil.Sci. vol.  45, no.  2 (1994), pp.  407–437.
• Alan Macdonald, El argumento del agujero de Einstein American Journal of Physics (febrero de 2001) Vol. 69, número 2, págs.  223–225.

• Stachel, John, "El argumento del agujero y algunas implicaciones físicas y filosóficas" , Living Rev. Relativ. 17 (1) (2014).