espacio afín

{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} — En $\mathbb {R} ^{3}$ ⁠ , el plano superior (en azul) $P_{2}$ no es un subespacio vectorial, ya que $\mathbf {0} \notin P_ {2}$ y $\mathbf {a} +\mathbf {b} \notin P_ {2}$ ; es un subespacio afín . Su dirección (el subespacio lineal asociado a este subespacio afín) es el plano inferior (verde) . $P_{1}$ ⁠ , que es un subespacio vectorial. Aunque $\mathbf {a}$ y $\mathbf {b}$ están en $P_{2}$ ⁠ , su diferencia es un vector de desplazamiento , que no pertenece a $P_{2},$ pero pertenece al espacio vectorial $P_{1}$ .

En matemáticas , un espacio afín es una estructura geométrica que generaliza algunas de las propiedades de los espacios euclidianos de tal manera que estas son independientes de los conceptos de distancia y medida de ángulos , conservando únicamente las propiedades relacionadas con el paralelismo y la razón de longitudes de segmentos de línea paralelos . El espacio afín es el marco de la geometría afín .

Como en el espacio euclidiano, los objetos fundamentales en un espacio afín se llaman puntos , que pueden pensarse como ubicaciones en el espacio sin tamaño ni forma: cero- dimensionales . A través de cualquier par de puntos se puede trazar una línea recta infinita , un conjunto unidimensional de puntos; a través de cualesquiera tres puntos que no sean colineales, se puede trazar un plano bidimensional ; y, en general, a través de $k + 1$ puntos en posición general , se puede trazar un subespacio plano o afín $k$ -dimensional . El espacio afín se caracteriza por la noción de pares de líneas paralelas que se encuentran dentro del mismo plano pero nunca se cruzan (las líneas no paralelas dentro del mismo plano se intersecan en un punto). Dada cualquier línea, se puede trazar una línea paralela a ella que pase por cualquier punto del espacio, y se dice que la clase de equivalencia de líneas paralelas comparte una dirección .

A diferencia de los vectores en un espacio vectorial , en un espacio afín no existe un punto distinguido que sirva como origen . No hay un concepto predefinido de sumar o multiplicar puntos, ni de multiplicar un punto por un número escalar. Sin embargo, para cualquier espacio afín, se puede construir un espacio vectorial asociado a partir de las diferencias entre los puntos inicial y final, que se denominan vectores libres , vectores de desplazamiento , vectores de traslación o simplemente traslaciones . ^{[ 1 ]} De igual modo, tiene sentido sumar un vector de desplazamiento a un punto de un espacio afín, lo que da como resultado un nuevo punto (del mismo espacio afín) trasladado desde el punto inicial por dicho vector. Si bien los puntos no se pueden sumar arbitrariamente, es útil tomar combinaciones afines de puntos: sumas ponderadas con coeficientes numéricos que suman 1, lo que da como resultado otro punto. Estos coeficientes definen un sistema de coordenadas baricéntricas para el plano que pasa por los puntos.

Cualquier espacio vectorial puede considerarse un espacio afín; esto equivale a "olvidar" el papel especial que desempeña el vector cero . En este caso, los elementos del espacio vectorial pueden considerarse puntos del espacio afín o vectores de desplazamiento o traslaciones . Cuando se considera un punto, el vector cero se denomina origen . Al sumar un vector fijo a los elementos de un subespacio lineal (subespacio vectorial) de un espacio vectorial, se obtiene un subespacio afín del espacio vectorial. Se suele decir que este subespacio afín se ha obtenido trasladando (alejándose del origen) el subespacio lineal mediante el vector de traslación (el vector sumado a todos los elementos del subespacio lineal). En dimensiones finitas, dicho subespacio afín es el conjunto solución de un sistema lineal no homogéneo . Los vectores de desplazamiento para ese espacio afín son las soluciones del sistema lineal homogéneo correspondiente , que es un subespacio lineal. Los subespacios lineales, en cambio, siempre contienen el origen del espacio vectorial.

La dimensión de un espacio afín se define como la dimensión del espacio vectorial de sus traslaciones. Un espacio afín de dimensión uno es una línea afín . Un espacio afín de dimensión dos es un plano afín . Un subespacio afín de dimensión $n - 1$ en un espacio afín o en un espacio vectorial de dimensión $n$ es un hiperplano afín .

Descripción informal

La siguiente caracterización puede ser más fácil de entender que la definición formal habitual: un espacio afín es lo que queda de un espacio vectorial después de haber olvidado cuál es el origen (o, en palabras del matemático francés Marcel Berger , "Un espacio afín no es más que un espacio vectorial cuyo origen intentamos olvidar, añadiendo traslaciones a las aplicaciones lineales" ^{[ 2 ]} ). Imaginemos que Alice sabe que un punto determinado es el origen real, pero Bob cree que otro punto —llamémoslo $p—$ es el origen. Se deben sumar dos vectores, $a$ y $b . Bob dibuja una flecha del punto$ $p$ al punto $a$ y otra flecha del punto $p$ al punto $b$ , y completa el paralelogramo para hallar lo que Bob cree que es $a + b$ , pero Alice sabe que en realidad ha calculado

p + (a - p) + (b - p)

.

De igual modo, Alice y Bob pueden evaluar cualquier combinación lineal de $a$ y $b$ , o de cualquier conjunto finito de vectores, y generalmente obtendrán respuestas diferentes. Sin embargo, si la suma de los coeficientes de una combinación lineal es 1, entonces Alice y Bob llegarán a la misma respuesta.

Si Alicia viaja a

λ a + (1 - λ) b

Entonces Bob puede viajar de manera similar a

p + λ (a - p) + (1 - λ)(segundo - p) = λ a + (1 - λ) segundo

.

Bajo esta condición, para todos los coeficientes $λ + (1 - λ) = 1$ , Alice y Bob describen el mismo punto con la misma combinación lineal, a pesar de usar orígenes diferentes.

Si bien solo Alice conoce la "estructura lineal", tanto Alice como Bob conocen la "estructura afín", es decir, los valores de las combinaciones afines , definidas como combinaciones lineales en las que la suma de los coeficientes es 1. Un conjunto con una estructura afín es un espacio afín.

Definición

Si bien el espacio afín puede definirse axiomáticamente (véase la sección Axiomas más adelante), de forma análoga a la definición de espacio euclidiano implícita en los Elementos de Euclides , por conveniencia la mayoría de las fuentes modernas definen los espacios afines en términos de la teoría bien desarrollada de los espacios vectoriales.

Un espacio afín es un conjunto $A$ junto con un espacio vectorial. ${\overrightarrow {A}}$ y una acción transitiva y libre del grupo aditivo de ${\overrightarrow {A}}$ en el conjunto $A$ . ^{[ 3 ]} Los elementos del espacio afín $A$ se llaman puntos . El espacio vectorial ${\overrightarrow {A}}$ Se dice que está asociado al espacio afín, y sus elementos se denominan vectores , traslaciones o, a veces, vectores libres .

Explícitamente, la definición anterior significa que la acción es un mapeo, generalmente denotado como una adición,

{\begin{aligned}A\times {\overrightarrow {A}}&\to A\\(a,v)\;&\mapsto a+v,\end{aligned}}

que tiene las siguientes propiedades. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Identidad correcta :
$\forall a\in A,\;a+0=a$ , donde $0$ es el vector cero en ${\overrightarrow {A}}$
Asociatividad :
$\forall v,w\in {\overrightarrow {A}},\forall a\in A,\;(a+v)+w=a+(v+w)$ (aquí el último $+$ es la suma en ${\overrightarrow {A}}$ )
Acción libre y transitiva :
Por cada $a\in A$ , el mapeo ${\overrightarrow {A}}\to A\colon v\mapsto a+v$ es una biyección .

Las dos primeras propiedades son simplemente propiedades definitorias de una acción de grupo (derecha). La tercera propiedad caracteriza las acciones libres y transitivas; el carácter ontológico proviene de la transitividad, y el carácter inyectivo se deriva de que la acción sea libre. Existe una cuarta propiedad que se deriva de las propiedades 1 y 2 anteriores:

Existencia de traducciones uno a uno

A pesar de

v\in {\overrightarrow {A}}

, el mapeo

A\to A\colon a\mapsto a+v

es una biyección.

La propiedad 3 se usa a menudo en la siguiente forma equivalente (la quinta propiedad).

Sustracción:

Para cada

a, b

en

A

, existe un único

v\in {\overrightarrow {A}}

, denotado

b - a

, de tal manera que

b=a+v

.

Otra forma de expresar la definición es que un espacio afín es un espacio homogéneo principal para la acción del grupo aditivo de un espacio vectorial. Los espacios homogéneos están, por definición, dotados de una acción de grupo transitiva, y para un espacio homogéneo principal, dicha acción transitiva es, por definición, libre.

La resta y los axiomas de Weyl

Las propiedades de la acción de grupo permiten definir la resta para cualquier par ordenado dado $(b, a)$ de puntos en $A$ , produciendo un vector de ${\overrightarrow {A}}$ . Este vector, denotado $ba$ o ${\overrightarrow {ab}}$ , se define como el vector único en ${\overrightarrow {A}}$ de tal manera que

a+(ba)=b.

La existencia se deduce de la transitividad de la acción, y la unicidad se deduce porque la acción es libre.

Esta resta tiene las dos propiedades siguientes, llamadas axiomas de Weyl : ^{[ 7 ]}

$\forall a\in A,\;\forall v\in {\overrightarrow {A}}$ , hay un punto único $b\in A$ de tal manera que $ba=v.$
$\forall a,b,c\in A,\;(cb)+(ba)=ca.$

La propiedad del paralelogramo se satisface en espacios afines, donde se expresa como: dados cuatro puntos $a,b,c,d,$ las igualdades $ba=dc$ y $ca=db$ son equivalentes. Esto resulta del segundo axioma de Weyl, ya que $da=(db)+(ba)=(dc)+(ca).$

Los espacios afines pueden definirse de forma equivalente como un conjunto de puntos $A$ , junto con un espacio vectorial. ${\overrightarrow {A}}$ y una resta que satisface los axiomas de Weyl. En este caso, la suma de un vector a un punto se define a partir del primero de los axiomas de Weyl.

Subespacios afines y paralelismo

Un subespacio afín (también llamado, en algunos contextos, variedad lineal , plano o, sobre los números reales , variedad lineal ) $B$ de un espacio afín $A$ es un subconjunto de $A$ para el cual existe un punto ⁠ $a\in B$ de tal manera que el conjunto de vectores ${\overrightarrow {B}}=\{ba\mid b\in B\}$ es un subespacio lineal de ⁠ ${\overrightarrow {A}}$ ⁠ . Si $B$ es un subespacio afín entonces el conjunto ${\overrightarrow {B}}=\{ba\mid b\in B\}$ es un subespacio lineal para todo ⁠ $a\in B$ ( es decir, la elección del punto) $a$ es irrelevante). Un subespacio afín $B$ es un espacio afín que tiene ${\overrightarrow {B}}$ como su espacio vectorial asociado.

Los subespacios afines de $A$ son los subconjuntos de $A$ de la forma

a+V=\{a+w:w\in V\},

donde $a$ es un punto de $A$ y $V$ un subespacio lineal de ⁠ ${\overrightarrow {A}}$ .

El subespacio lineal asociado a un subespacio afín se denomina a menudo sudirección , y se dice que dos subespacios que comparten la misma dirección sonparalelos.

Esto implica la siguiente generalización del axioma de Playfair : Dada una dirección $V$ , para cualquier punto $a$ de $A$ hay un único subespacio afín de dirección $V$ que pasa por $a$ , a saber , el subespacio $a + V.$

Cada traducción $A\to A:a\mapsto a+v$ mapea cualquier subespacio afín a un subespacio paralelo.

El término paralelo también se utiliza para referirse a dos subespacios afines tales que la dirección de uno está incluida en la dirección del otro.

Mapa afín

Dados dos espacios afines $A$ y $B$ cuyos espacios vectoriales asociados son ${\overrightarrow {A}}$ y ${\overrightarrow {B}}$ ⁠ , un mapeo afín u homomorfismo afín de $A$ a $B$ es un mapeo

f:A\to B

de tal manera que

{\begin{aligned}{\overrightarrow {f}}:{\overrightarrow {A}}&\to {\overrightarrow {B}}\\ba&\mapsto f(b)-f(a)\end{aligned}}

es un mapa lineal bien definido . Por $f$ Que esté bien definido significa que $b - a = d - c$ implica $f (b) - f (a) = f (d) - f (c)$ .

Esto implica que, por un punto $a\in A$ y un vector $v\in {\overrightarrow {A}}$ , uno tiene

f(a+v)=f(a)+{\overrightarrow {f}}(v).

$Por lo tanto, puesto que para cualquier b$ dado en $A$ , $b = a + v$ para un único $v$ , $f$ está completamente definido por su valor en un solo punto y el mapeo lineal asociado . ${\overrightarrow {f}}$ .

Endomorfismos

Una transformación afín o endomorfismo de un espacio afín $A$ es una aplicación afín de ese espacio a sí mismo. Una familia importante de ejemplos son las traslaciones: dado un vector ⁠ ${\overrightarrow {v}}$ ⁠ , el mapa de traducción $T_{\overrightarrow {v}}:A\rightarrow A$ que envía $a\mapsto a+{\overrightarrow {v}}$ por cada $a$ en $A$ es una aplicación afín. Otra familia importante de ejemplos son las aplicaciones lineales centradas en un origen: dado un punto $b$ y un mapa lineal $M$ , se puede definir un mapa afín $L_{M,b}:A\rightarrow A$ por $L_{M,b}(a)=b+M(ab)$ por cada $a$ en $A$ .

Después de elegir el origen $b$ ⁠ , cualquier mapa afín puede escribirse de forma única como una combinación de una traslación y un mapa lineal centrado en ⁠ $b$ .

Espacios vectoriales como espacios afines

Todo espacio vectorial $V$ puede considerarse como un espacio afín sobre sí mismo. Esto significa que cada elemento de $V$ puede considerarse como un punto o como un vector. Este espacio afín se denota a veces como $(V, V)$ para enfatizar el doble papel de los elementos de $V.$ Cuando se considera como un punto, el vector cero se suele denotar $como o$ (o $O$ , cuando se usan mayúsculas para los puntos) y se denomina origen .

Si $A$ es otro espacio afín sobre el mismo espacio vectorial (es decir, $V={\overrightarrow {A}}$ La elección de cualquier punto $a$ en $A$ define un isomorfismo afín único, que es la identidad de $V$ y mapea $a$ en $o$ . En otras palabras, la elección de un origen $a$ en $A$ nos permite identificar $A$ y $(V, V)$ salvo un isomorfismo canónico . La contraparte de esta propiedad es que el espacio afín $A$ puede identificarse con el espacio vectorial $V$ en el que "se ha olvidado la ubicación del origen".

Relación con los espacios euclidianos

Definición de espacios euclidianos

Los espacios euclidianos (que incluyen la línea unidimensional, el plano bidimensional y el espacio tridimensional que se estudian habitualmente en la geometría elemental, así como sus análogos de dimensiones superiores) son espacios afines.

De hecho, en la mayoría de las definiciones modernas, un espacio euclidiano se define como un espacio afín, tal que el espacio vectorial asociado es un espacio real con producto interno de dimensión finita, es decir, un espacio vectorial sobre los números reales con una forma cuadrática definida positiva $q (x)$ . El producto interno de dos vectores $x$ e $y$ es el valor de la forma bilineal simétrica.

x\cdot y={\frac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y)).

La distancia euclidiana habitual entre dos puntos $A$ y $B$ es

d(A,B)={\sqrt {q(B-A)}}.

En la definición clásica de espacios euclidianos mediante geometría sintética , los vectores se definen como clases de equivalencia de pares ordenados de puntos bajo la condición de equipollencia (los pares $(A, B)$ y $(C, D)$ son equipollentes si los puntos $A, B, D, C$ (en este orden) forman un paralelogramo ). Es sencillo verificar que los vectores forman un espacio vectorial, que el cuadrado de la distancia euclidiana es una forma cuadrática en el espacio de vectores y que ambas definiciones de espacios euclidianos son equivalentes.

Propiedades afines

En geometría euclidiana , la expresión común « propiedad afín » se refiere a una propiedad que puede demostrarse en espacios afines, es decir, que puede demostrarse sin utilizar la forma cuadrática ni su producto escalar. En otras palabras, una propiedad afín es una propiedad que no involucra longitudes ni ángulos. Ejemplos típicos son el paralelismo y la definición de tangente . Un contraejemplo es la definición de normal .

De forma equivalente, una propiedad afín es una propiedad que permanece invariante bajo transformaciones afines del espacio euclidiano.

Combinaciones afines y baricentro

Sea $a 1, ..., a n$ una colección de $n$ puntos en un espacio afín, y $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ sean $n$ elementos del campo base .

Supongamos que $\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=0$ . Para cualesquiera dos puntos $o$ y $o'$ se tiene

\lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}=\lambda _{1}{\overrightarrow {o'a_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {o'a_{n}}}.

Por lo tanto, esta suma es independiente de la elección del origen, y el vector resultante puede denotarse

\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.

Cuando $n=2,\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=-1$ , se recupera la definición de la resta de puntos.

Ahora supongamos que los elementos del campo satisfacen $\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1$ . Para alguna elección de un origen $o$ , denotemos por $g$ el punto único tal que

\lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}={\overrightarrow {og}}.

Se puede demostrar que $g$ es independiente de la elección de $o$ . Por lo tanto, si

\lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1,

uno puede escribir

g=\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.

El punto $g$ se denomina baricentro del $a_{i}$ para los pesos $\lambda _{i}$ . También se dice que $g$ es una combinación afín de la $a_{i}$ con coeficientes $\lambda _{i}$ .

Ejemplos

La recta numérica es un espacio afín unidimensional: cada número real se identifica con un punto en la recta. La suma o la resta de un número corresponde a una traslación de la recta. Los niños que aprenden aritmética básica pueden usar la recta como ayuda visual para calcular; por ejemplo, para hallar $4 + 3$ , comienzan en el punto que representa $el 4$ y cuentan $3$ unidades hacia la derecha.
El tiempo puede modelarse como un espacio afín unidimensional. Los puntos específicos en el tiempo (como una fecha en el calendario) son puntos en el espacio afín, mientras que las duraciones (como un número de días) son desplazamientos.
El espacio de energías es un espacio afín para $\mathbb {R}$ Dado que a menudo no tiene sentido hablar de energía absoluta, pero sí de diferencias de energía, la energía del vacío, cuando se define, establece un origen canónico.
El espacio físico se modela a menudo como un espacio afín para $\mathbb {R} ^{3}$ en entornos no relativistas y $\mathbb {R} ^{1,3}$ en el contexto relativista. Para distinguirlos del espacio vectorial, a veces se les llama espacios euclidianos. ${\text{E}}(3)$ y ${\text{E}}(1,3)$ .
Cualquier clase lateral de un subespacio $V$ de un espacio vectorial es un espacio afín sobre ese subespacio.
En particular, una línea en el plano que no pasa por el origen es un espacio afín que no es un espacio vectorial en relación con las operaciones que hereda de $\mathbb {R} ^{2}$ , aunque se le puede dar una estructura de espacio vectorial canónico eligiendo el punto más cercano al origen como vector cero; asimismo en dimensiones superiores y para cualquier espacio vectorial normado
Si $T$ es una matriz y $b$ se encuentra en su espacio columna , el conjunto de soluciones de la ecuación $T x = b$ es un espacio afín sobre el subespacio de soluciones de $T x = 0$ .
Las soluciones de una ecuación diferencial lineal no homogénea forman un espacio afín sobre las soluciones de la ecuación lineal homogénea correspondiente.
Generalizando todo lo anterior, si $T : V \to W$ es una aplicación lineal e $y$ se encuentra en su imagen , el conjunto de soluciones $x \in V$ de la ecuación $T x = y$ es una clase lateral del núcleo de $T$ , y por lo tanto es un espacio afín sobre $Ker T.$
El espacio de subespacios complementarios (lineales) de un subespacio vectorial $V$ en un espacio vectorial $W$ es un espacio afín sobre $Hom(W / V, V)$ . Es decir, si $0 \to V \to W \to X \to 0$ es una sucesión exacta corta de espacios vectoriales, entonces el espacio de todas las descomposiciones de la sucesión exacta posee naturalmente la estructura de un espacio afín sobre $Hom(X, V)$ .
El espacio de conexiones (visto desde el haz vectorial ) $E\xrightarrow {\pi } M$ , donde $M$ es una variedad diferenciable ) es un espacio afín para el espacio vectorial de ${\text{End}}(E)$ 1-formas valoradas . El espacio de conexiones (visto desde el haz principal ) $P\xrightarrow {\pi } M$ ) es un espacio afín para el espacio vectorial de ${\text{ad}}(P)$ 1-formas con valor, donde ${\text{ad}}(P)$ es el haz adjunto asociado .

lapso y bases afines

Para cualquier subconjunto no vacío $X$ de un espacio afín $A$ , existe un subespacio afín mínimo que lo contiene, llamado espacio afín generado por $X.$ Este subespacio afín es la intersección de todos los subespacios afines que contienen $a X$ , y su dirección es la intersección de las direcciones de los subespacios afines que contienen a $X.$

El espacio afín generado por $X$ es el conjunto de todas las combinaciones afines (finitas) de puntos de $X$ , y su dirección es el espacio lineal generado por $x - y$ para $x$ $e y$ en X. $Si$ se elige un punto particular $x 0$ , la dirección del espacio afín generado por $X$ es también el espacio lineal generado por $x - x 0$ para $x$ en $X.$

También se dice que el espacio afín de $X$ es generado por $X$ y que $X$ es un conjunto generador de su espacio afín.

Se dice que un conjunto $X de puntos de un espacio afín es$ afínmente independiente o, simplemente,independiente, si el espacio afín de cualquiersubconjunto estrictode $X$ es un subconjunto estricto del espacio afín de $X.$ UnLa base afín omarco baricéntrico(véase§ Coordenadas baricéntricas, más abajo) de un espacio afín es un conjunto generador que también es independiente (es decir, unconjunto generador mínimo).

Recordemos que la dimensión de un espacio afín es la dimensión de su espacio vectorial asociado. Las bases de un espacio afín de dimensión finita $n$ son los subconjuntos independientes de $n + 1$ elementos, o, equivalentemente, los subconjuntos generadores de $n + 1$ elementos. De forma equivalente, ${x 0, ..., x n$ } es una base afín de un espacio afín si y solo si ${x 1 - x 0, ..., x n - x 0$ } es una base lineal del espacio vectorial asociado.

Coordenadas

Existen dos tipos de sistemas de coordenadas estrechamente relacionados que pueden definirse en espacios afines.

Coordenadas baricéntricas

Sea $A$ un espacio afín de dimensión $n$ sobre un cuerpo $k$ , y $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ Sea una base afín de $A.$ Las propiedades de una base afín implican que para cada $x$ en $A$ existe una única $(n + 1)$ -tupla . $(\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n})$ de elementos $k$ tales que

\lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1

y

x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.

El $\lambda _{i}$ Se denominan coordenadas baricéntricas de $x$ sobre la base afín. $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ . Si los $x i$ se consideran como cuerpos que tienen pesos (o masas) $\lambda _{i}$ , el punto $x$ es, por lo tanto, el baricentro de $x i$ , y esto explica el origen del término coordenadas baricéntricas .

Las coordenadas baricéntricas definen un isomorfismo afín entre el espacio afín $A$ y el subespacio afín de $k n + 1$ definido por la ecuación $\lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1$ .

Para espacios afines de dimensión infinita, se aplica la misma definición, utilizando únicamente sumas finitas. Esto significa que, para cada punto, solo un número finito de coordenadas son distintas de cero.

Coordenadas afines

Un marco afín es un sistema de coordenadas de un espacio afín, que consta de un punto, llamado origen , y una base lineal del espacio vectorial asociado. Más precisamente, para un espacio afín $A$ con espacio vectorial asociado ${\overrightarrow {A}}$ , el origen $o$ pertenece a $A$ , y la base lineal es una base $(v 1, ..., v n)$ de ${\overrightarrow {A}}$ (Para simplificar la notación, consideramos únicamente el caso de dimensión finita; el caso general es similar).

Para cada punto $p$ de $A$ , existe una secuencia única. $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ de elementos del campo terrestre tales que

p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},

o equivalentemente

{\overrightarrow {op}}=\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n}.

El $\lambda _{i}$ Se denominan coordenadas afines de $p$ sobre el marco afín $(o, v1 , ..., vn)$ . Un sistema de coordenadas afines $es$ un sistema de coordenadas en un espacio afín donde cada coordenada es una aplicación afín a la recta numérica . En otras palabras, es una aplicación afín inyectiva de un espacio afín $A$ al espacio de coordenadas $Kn$ $,$ donde $K$ es el cuerpo de escalares , por ejemplo, los números reales R.

Un sistema de $n$ coordenadas en $un$ $espacio n$ -dimensional se define mediante una ( $n+1)-tupla (O, R1, \dots Rn$ $)$ de puntos $que no pertenecen a ningún subespacio afín$ de menor dimensión . Cualquier n-tupla de coordenadas dada $proporciona$ el punto mediante la fórmula:

(x 1, \dots x n) \mapsto O + x 1 (R 1 - O) + \dots + x n (R n - O)

.

Nótese que $R j - O$ son vectores de diferencia con origen en $O$ y final en $R$ $j$ .

Un espacio afín no puede tener un sistema de coordenadas con $n$ menor que su dimensión , pero $n$ puede ser mayor, lo que significa que la aplicación de coordenadas no es necesariamente sobreyectiva. Ejemplos de un sistema de coordenadas $n$ en un espacio ( $n$ -1)-dimensional son las coordenadas baricéntricas y las coordenadas afines "homogéneas" $(1,$ $x₁$ $, ...,$ $xₙ$ $-$ $₁$ $)$ . En este último caso, la $coordenada$ $x₀$ es igual a 1 en todo el espacio, pero esta coordenada "reservada" permite una representación matricial de _lasaplicaciones afines similar a la utilizada para las aplicaciones proyectivas .

El caso más importante de coordenadas afines en espacios euclidianos es el sistema de coordenadas cartesianas de valores reales , que son sistemas de coordenadas afines ortogonales , mientras que otros se denominan sistemas de coordenadas afines oblicuas . En otras palabras, las coordenadas cartesianas son coordenadas afines relativas a un marco ortonormal , es decir, un marco afín $($ $o, v₁, ..., vₙ)$ tal que $(v₁, ..., vₙ)$ es una base ortonormal . $Sin$ $embargo, los ejes de$ coordenadas afines generales no son necesariamente líneas rectas ortogonales.

Relación entre coordenadas baricéntricas y afines

Las coordenadas baricéntricas y las coordenadas afines están estrechamente relacionadas y pueden considerarse equivalentes.

De hecho, dado un marco baricéntrico

(x_{0},\dots ,x_{n}),

Se deduce inmediatamente el marco afín.

(x_{0},{\overrightarrow {x_{0}x_{1}}},\dots ,{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}})=\left(x_{0},x_{1}-x_{0},\dots ,x_{n}-x_{0}\right),

y, si

\left(\lambda _{0},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)

son las coordenadas baricéntricas de un punto sobre el sistema de referencia baricéntrico, entonces las coordenadas afines del mismo punto sobre el sistema de referencia afín son

\left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).

Por el contrario, si

\left(o,v_{1},\dots ,v_{n}\right)

es un marco afín, entonces

\left(o,o+v_{1},\dots ,o+v_{n}\right)

es un marco baricéntrico. Si

\left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)

son las coordenadas afines de un punto sobre el marco afín, entonces sus coordenadas baricéntricas sobre el marco baricéntrico son

\left(1-\lambda _{1}-\dots -\lambda _{n},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).

Por lo tanto, las coordenadas baricéntricas y afines son prácticamente equivalentes. En la mayoría de las aplicaciones, se prefieren las coordenadas afines, ya que implican menos coordenadas independientes. Sin embargo, en situaciones donde los puntos importantes del problema estudiado son afínmente independientes, las coordenadas baricéntricas pueden simplificar el cálculo, como en el siguiente ejemplo.

Ejemplo del triángulo

Los vértices de un triángulo no plano forman una base afín del plano euclidiano . Las coordenadas baricéntricas permiten caracterizar fácilmente los elementos del triángulo que no involucran ángulos ni distancias:

Los vértices son los puntos de coordenadas baricéntricas $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ y $(0, 0, 1)$ . Las líneas que sostienen las aristas son los puntos que tienen una coordenada cero. Las aristas mismas son los puntos que tienen una coordenada cero y dos coordenadas no negativas. El interior del triángulo son los puntos cuyas coordenadas son todas positivas. Las $medianas$ $son$ $los$ $puntos$ que $tienen$ $dos$ coordenadas iguales, $y$ $el$ $centroide$ $es$ el $punto$ de $coordenadas$ $(1/3, 1/3, 1/3)$ .

Cambio de coordenadas

Caso de coordenadas baricéntricas

Las coordenadas baricéntricas se pueden cambiar fácilmente de una base a otra. $\{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ y $\{x'_{0},\dots ,x'_{n}\}$ sean bases afines de $A.$ Para cada $x$ en $A$ hay alguna tupla $\{\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n}\}$ para qué

x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.

De manera similar, para cada $x_{i}\in \{x_{0},\dots ,x_{n}\}$ Desde la primera base, ahora tenemos en la segunda base

x_{i}=\lambda _{i,0}x'_{0}+\dots +\lambda _{i,j}x'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}x'_{n}

para alguna tupla $\{\lambda _{i,0},\dots ,\lambda _{i,n}\}$ . Ahora podemos reescribir nuestra expresión en la primera base como una en la segunda con

\,x=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}x_{i}=\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=0}^{n}\lambda _{i,j}x'_{j}=\sum _{j=0}^{n}{\biggl (}\sum _{i=0}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}x'_{j}\,,

lo que nos da las coordenadas en la segunda base como la tupla ${\textstyle {\bigl \{}\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,0},\,\dots ,\,{}}$ ${\textstyle \sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$ .

Caso de coordenadas afines

Las coordenadas afines también se pueden cambiar fácilmente de una base a otra. $o$ , $\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ y $o'$ , $\{v'_{1},\dots ,v'_{n}\}$ sean marcos afines de $A.$ Para cada punto $p$ de $A$ , existe una secuencia única. $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ de elementos del campo terrestre tales que

p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},

y de manera similar, para cada $v_{i}\in \{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ Desde la primera base, ahora tenemos en la segunda base

o=o'+\lambda _{o,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{o,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{o,n}v'_{n}\,

v_{i}=\lambda _{i,1}v'_{1}+\dots +\lambda _{i,j}v'_{j}+\dots +\lambda _{i,n}v'_{n}

para tupla $\{\lambda _{o,1},\dots ,\lambda _{o,n}\}$ y tuplas $\{\lambda _{i,1},\dots ,\lambda _{i,n}\}$ . Ahora podemos reescribir nuestra expresión en la primera base como una en la segunda con

{\begin{aligned}\,p&=o+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}={\biggl (}o'+\sum _{j=1}^{n}\lambda _{o,j}v'_{j}{\biggr )}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\sum _{j=1}^{n}\lambda _{i,j}v'_{j}\\&=o'+\sum _{j=1}^{n}{\biggl (}\lambda _{o,j}+\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\lambda _{i,j}{\biggr )}v'_{j}\,,\end{aligned}}

lo que nos da las coordenadas en la segunda base como la tupla ${\textstyle {\bigl \{}\lambda _{o,1}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,1},\,\dots ,\,{}}$ ${\textstyle \lambda _{o,n}+\sum _{i}\lambda _{i}\lambda _{i,n}{\bigr \}}}$ .

Propiedades de los homomorfismos afines

Representación matricial

Una transformación afín $T$ se ejecuta en un espacio proyectivo $\mathbb {P} ^{3}$ de $\mathbb {R} ^{3}$ , mediante una matriz de 4 por 4 con una cuarta columna especial ^{[ 8 ] :}

$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&0\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&0\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}T(1,0,0)&0\\T(0,1,0)&0\\T(0,0,1)&0\\T(0,0,0)&1\end{bmatrix}}$

La transformación es afín en lugar de lineal debido a la inclusión del punto $(0,0,0)$ , cuyo resultado transformado revela el desplazamiento afín.

Imagen y fibras

Dejar

f\colon E\to F

ser un homomorfismo afín, con

{\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}

su mapa lineal asociado. La imagen de $f$ es el subespacio afín. $f(E)=\{f(a)\mid a\in E\}$ de $F$ , que tiene ${\overrightarrow {f}}({\overrightarrow {E}})$ como espacio vectorial asociado. Como un espacio afín no tiene un elemento cero , un homomorfismo afín no tiene un núcleo . Sin embargo, el mapeo lineal ${\overrightarrow {f}}$ sí, y si denotamos por $K=\{v\in {\overrightarrow {E}}\mid {\overrightarrow {f}}(v)=0\}$ su núcleo, entonces para cualquier punto $x$ de $f(E)$ , la imagen inversa $f^{-1}(x)$ de $x$ es un subespacio afín de $E$ cuya dirección es $K$ . Este subespacio afín se llama fibra de $x$ .

Proyección

Un ejemplo importante es la proyección paralela a una dirección determinada sobre un subespacio afín. La importancia de este ejemplo radica en que los espacios euclidianos son espacios afines y que este tipo de proyecciones son fundamentales en la geometría euclidiana .

Más precisamente, dado un espacio afín $E$ con espacio vectorial asociado ${\overrightarrow {E}}$ , sea $F$ un subespacio afín de dirección ${\overrightarrow {F}}$ y sea $D$ un subespacio complementario de ${\overrightarrow {F}}$ en ${\overrightarrow {E}}$ (esto significa que cada vector de ${\overrightarrow {E}}$ puede descomponerse de una manera única como la suma de un elemento de ${\overrightarrow {F}}$ y un elemento de $D$ ). Para cada punto $x$ de $E$ , su proyección sobre $F$ paralela a $D$ es el único punto $p (x)$ en $F$ tal que

p(x)-x\in D.

Este es un homomorfismo afín cuyo mapa lineal asociado ${\overrightarrow {p}}$ se define por

{\overrightarrow {p}}(x-y)=p(x)-p(y),

para $x$ $e$ y en $E.$

La imagen de esta proyección es F $,$ y sus fibras son los subespacios de dirección $D.$

espacio cociente

Si bien no se definen núcleos para espacios afines, sí se definen espacios cociente . Esto se debe a que "pertenecer a la misma fibra de un homomorfismo afín" es una relación de equivalencia.

Sea $E$ un espacio afín y $D$ un subespacio lineal del espacio vectorial asociado. ${\overrightarrow {E}}$ . El cociente $E / D$ de $E$ por $D$ es el cociente de $E$ por la relación de equivalencia tal que $x$ $e y$ son equivalentes si

x-y\in D.

Este cociente es un espacio afín, que tiene ${\overrightarrow {E}}/D$ como espacio vectorial asociado.

Para cada homomorfismo afín $E\to F$ La imagen es isomorfa al cociente de $E$ por el núcleo de la aplicación lineal asociada. Este es el primer teorema de isomorfismo para espacios afines.

Axiomas

Los espacios afines se estudian habitualmente mediante geometría analítica utilizando coordenadas o, equivalentemente, espacios vectoriales. También pueden estudiarse mediante geometría sintética, formulando axiomas, aunque este enfoque es mucho menos común. Existen varios sistemas de axiomas diferentes para espacios afines.

Coxeter (1969 , p. 192) axiomatiza el caso especial de la geometría afín sobre los números reales como geometría ordenada junto con una forma afín del teorema de Desargues y un axioma que establece que en un plano hay como máximo una línea que pasa por un punto dado y que no interseca ninguna línea dada.

Los planos afines satisfacen los siguientes axiomas ( Cameron 1991 , capítulo 2) : (en los que dos líneas se denominan paralelas si son iguales o disjuntas):

Dos puntos cualesquiera distintos se encuentran sobre una línea única.
Dado un punto y una recta, existe una recta única que contiene el punto y es paralela a la recta.
Existen tres puntos no colineales.

Además de los planos afines sobre cuerpos (o anillos de división ), también existen muchos planos no desarguesianos que satisfacen estos axiomas. Cameron (1991 , capítulo 3) proporciona axiomas para espacios afines de dimensiones superiores.

La geometría afín puramente axiomática es más general que los espacios afines y se trata en el artículo Geometría afín .

Relación con los espacios proyectivos

Los espacios afines están contenidos en espacios proyectivos . Por ejemplo, se puede obtener un plano afín a partir de cualquier plano proyectivo eliminando una recta y todos sus puntos, y, a la inversa, cualquier plano afín puede utilizarse para construir un plano proyectivo como clausura añadiendo una recta en el infinito cuyos puntos corresponden a clases de equivalencia de rectas paralelas . Construcciones similares son válidas en dimensiones superiores.

Además, las transformaciones del espacio proyectivo que preservan el espacio afín (o, equivalentemente, que dejan el hiperplano en el infinito invariante como un conjunto ) producen transformaciones del espacio afín. Recíprocamente, cualquier transformación lineal afín se extiende de forma única a una transformación lineal proyectiva , por lo que el grupo afín es un subgrupo del grupo proyectivo . Por ejemplo, las transformaciones de Möbius (transformaciones de la recta proyectiva compleja o esfera de Riemann ) son afines (transformaciones del plano complejo ) si y solo si fijan el punto en el infinito .

geometría algebraica afín

En geometría algebraica , una variedad afín (o, más generalmente, un conjunto algebraico afín ) se define como el subconjunto de un espacio afín que es el conjunto de los ceros comunes de un conjunto de funciones polinómicas sobre dicho espacio . Para definir una función polinómica sobre el espacio afín , es necesario elegir un marco afín . Entonces, una función polinómica es una función tal que la imagen de cualquier punto es el valor de alguna función polinómica multivariada de las coordenadas de dicho punto. Dado que un cambio de coordenadas afines puede expresarse mediante funciones lineales (más precisamente, funciones afines) de las coordenadas, esta definición es independiente de la elección particular de coordenadas.

La elección de un sistema de coordenadas afines para un espacio afín $\mathbb {A} _{k}^{n}$ de dimensión $n$ sobre un cuerpo $k$ induce un isomorfismo afín entre $\mathbb {A} _{k}^{n}$ y el espacio de coordenadas afines $k n$ . Esto explica por qué, para simplificar, muchos libros de texto escriben $\mathbb {A} _{k}^{n}=k^{n}$ y se introducen variedades algebraicas afines como los ceros comunes de funciones polinómicas sobre $k n$ . ^{[ 9 ]}

Como todo el espacio afín es el conjunto de los ceros comunes del polinomio cero , los espacios afines son variedades algebraicas afines.

Anillo de funciones polinómicas

Según la definición anterior, la elección de un marco afín de un espacio afín $\mathbb {A} _{k}^{n}$ permite identificar las funciones polinómicas en $\mathbb {A} _{k}^{n}$ con polinomios en $n$ variables, donde la i- ésima variable representa la función que asigna un punto a su $i-$ ésima coordenada. De ello se deduce que el conjunto de funciones polinómicas sobre $\mathbb {A} _{k}^{n}$ es un $k$ -álgebra , denotada $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$ , que es isomorfo al anillo de polinomios $k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]$ .

Cuando se cambian las coordenadas, el isomorfismo entre $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$ y $k[X_{1},\dots ,X_{n}]$ cambia en consecuencia, y esto induce un automorfismo de $k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]$ , que asigna a cada indeterminada un polinomio de grado uno. De ello se deduce que el grado total define una filtración de $k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]$ , que es independiente de la elección de coordenadas. El grado total también define una graduación , pero depende de la elección de coordenadas, ya que un cambio de coordenadas afines puede mapear indeterminadas en polinomios no homogéneos .

Topología de Zariski

Los espacios afines sobre cuerpos topológicos , como los números reales o complejos, poseen una topología natural . La topología de Zariski , definida para espacios afines sobre cualquier cuerpo, permite el uso de métodos topológicos en cualquier caso. La topología de Zariski es la única topología en un espacio afín cuyos conjuntos cerrados son conjuntos algebraicos afines (es decir, conjuntos de las raíces comunes de funciones polinómicas sobre el conjunto afín). Dado que, sobre un cuerpo topológico, las funciones polinómicas son continuas, todo conjunto cerrado de Zariski es cerrado para la topología usual, si la hay. En otras palabras, sobre un cuerpo topológico, la topología de Zariski es más gruesa que la topología natural.

Existe una función inyectiva natural de un espacio afín al conjunto de ideales primos (es decir, el espectro ) de su anillo de funciones polinómicas. Cuando se han elegido coordenadas afines, esta función mapea el punto de coordenadas. $\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)$ al ideal máximo $\left\langle X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}\right\rangle$ . Esta función es un homeomorfismo (para la topología de Zariski del espacio afín y del espectro del anillo de funciones polinómicas) del espacio afín sobre la imagen de la función.

El caso de un campo base algebraicamente cerrado es especialmente importante en geometría algebraica, porque, en este caso, el homeomorfismo anterior es un mapa entre el espacio afín y el conjunto de todos los ideales máximos del anillo de funciones (este es el Nullstellensatz de Hilbert ).

Esta es la idea inicial de la teoría de esquemas de Grothendieck , que consiste, para el estudio de las variedades algebraicas, en considerar como "puntos" no solo los puntos del espacio afín, sino también todos los ideales primos del espectro. Esto permite unir variedades algebraicas de forma similar a como, para las variedades , se unen cartas para construir una variedad.

Cohomología

Como todas las variedades afines, los datos locales en un espacio afín siempre se pueden unir globalmente: la cohomología del espacio afín es trivial. Más precisamente, $H^{i}\left(\mathbb {A} _{k}^{n},\mathbf {F} \right)=0$ para todos los haces coherentes F y enteros $i>0$ Esta propiedad también la poseen todas las demás variedades afines (véase el teorema de Serre sobre la afinidad ). Además, todos los grupos de cohomología étale sobre espacios afines son triviales. En particular, todo fibrado lineal es trivial. De forma más general, el teorema de Quillen-Suslin implica que todo fibrado vectorial algebraico sobre un espacio afín es trivial.

Véase también

Envoltura afín : subespacio afín más pequeño que contiene un subconjunto
Sistema de coordenadas baricéntricas : sistema de coordenadas definido por puntos en lugar de vectores.
Espacio afín complejo – Espacio afín sobre los números complejos
Análisis dimensional § Geometría: posición vs. desplazamiento
Espacio afín exótico : espacio afín real de dimensión par que no es isomorfo a un espacio afín complejo.
Espacio (matemáticas) – Conjunto matemático con alguna estructura añadida
Coordenadas oblicuas – Sistema de coordenadas curvilíneas

Notas

↑ Generalmente se prefierela palabra traslación a vector de desplazamiento , lo que puede resultar confuso, ya que los desplazamientos también incluyen rotaciones .
↑ Berger 1987 , pág. 32
↑ Berger, Marcel (1984), "Espacios afines" , Problemas en geometría , Springer, pág. 11, ISBN 9780387909714
↑ Berger 1987 , pág. 33
↑ Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989), Geometría afín métrica , pág. 6
↑ Tarrida, Agusti R. (2011), "Espacios afines", Mapas afines, movimientos euclidianos y cuádricas , Springer, pp. 1–2 , ISBN 9780857297105
^ Nomizu y Sasaki 1994 , pág. 7
↑ Strang, Gilbert (2009). Introducción al álgebra lineal (4.ª ed.). Wellesley: Wellesley-Cambridge Press. pág. 460. ISBN 978-0-9802327-1-4.
↑ Hartshorne 1977 , Cap. I, § 1.

Referencias

Berger, Marcel (1984), "Espacios afines" , Problemas de geometría , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90971-4
Berger, Marcel (1987), Geometría I , Berlín: Springer, ISBN 3-540-11658-3
Cameron, Peter J. (1991), Espacios proyectivos y polares , QMW Maths Notes, vol. 13, Londres: Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, MR 1153019
Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Introducción a la geometría (2.ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0, MR 0123930
Dolgachev, IV ; Shirokov, AP (2001) [1994], "Espacio afín" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90244-9. Zbl 0367.14001 .
Nomizu, K. ; Sasaki, S. (1994), Geometría diferencial afín (Nueva ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3
Snapper, Ernst ; Troyer, Robert J. (1989), Geometría afín métrica (edición de Dover, publicada por primera vez en 1989 ), Dover Publications, ISBN 0-486-66108-3
Reventós Tarrida, Agustí (2011), "Espacios afines", Mapas afines, movimientos euclidianos y cuadricas , Springer, ISBN 978-0-85729-709-9

[1] Generalmente se prefierela palabra traslación a vector de desplazamiento , lo que puede resultar confuso, ya que los desplazamientos también incluyen rotaciones .

[2] Berger 1987 , pág. 32

[3] Berger, Marcel (1984), "Espacios afines" , Problemas en geometría , Springer, pág. 11, ISBN 9780387909714

[Berger1987-4] Berger 1987 , pág. 33

[5] Snapper, Ernst; Troyer, Robert J. (1989), Geometría afín métrica , pág. 6

[6] Tarrida, Agusti R. (2011), "Espacios afines", Mapas afines, movimientos euclidianos y cuádricas , Springer, pp. 1–2 , ISBN 9780857297105

[7] Nomizu y Sasaki 1994 , pág. 7

[8] Strang, Gilbert (2009). Introducción al álgebra lineal (4.ª ed.). Wellesley: Wellesley-Cambridge Press. pág. 460. ISBN 978-0-9802327-1-4.

[9] Hartshorne 1977 , Cap. I, § 1.

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