Categoría de modelo

En matemáticas , particularmente en teoría de homotopía , una categoría modelo es una categoría con clases distinguidas de morfismos («flechas») llamadas « equivalencias débiles », « fibraciones » y « cofibraciones », que satisfacen ciertos axiomas que las relacionan. Estas abstraen de la categoría de espacios topológicos o de complejos de cadenas ( teoría de categorías derivadas ). El concepto fue introducido por Daniel G. Quillen ( 1967 ) .

En las últimas décadas, el lenguaje de las categorías modelo se ha utilizado en algunas partes de la K- teoría algebraica y la geometría algebraica , donde los enfoques basados en la teoría de la homotopía han dado lugar a resultados profundos.

Motivación

Las categorías modelo pueden proporcionar un entorno natural para la teoría de la homotopía : la categoría de espacios topológicos es una categoría modelo, cuya homotopía corresponde a la teoría usual. De manera similar, los objetos que se conciben como espacios suelen admitir una estructura de categoría modelo, como la categoría de conjuntos simpliciales .

Otra categoría de modelos es la de complejos de cadenas de R -módulos para un anillo conmutativo R. La teoría de la homotopía en este contexto es el álgebra homológica . La homología puede considerarse entonces un tipo de homotopía, lo que permite generalizarla a otros objetos, como grupos y R -álgebras , una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría. Debido al ejemplo anterior sobre la homología, el estudio de las categorías de modelos cerradas se considera a veces álgebra homotópica .

Definición formal

La definición inicial propuesta por Quillen fue la de una categoría de modelo cerrada, cuyos supuestos parecían sólidos en aquel momento, lo que motivó a otros a debilitar algunos de ellos para definir una categoría de modelo. En la práctica, esta distinción no ha resultado significativa y la mayoría de los autores recientes (por ejemplo, Mark Hovey y Philip Hirschhorn) trabajan con categorías de modelo cerradas y simplemente omiten el adjetivo «cerrada».

La definición se ha dividido en la de una estructura de modelo sobre una categoría y, posteriormente, en condiciones categóricas adicionales sobre dicha categoría, cuya necesidad puede parecer irrelevante al principio, pero que cobra importancia más adelante. La siguiente definición sigue la propuesta por Hovey.

Una estructura de modelo en una categoría C consta de tres clases distinguidas de morfismos (o subcategorías equivalentes): equivalencias débiles , fibraciones y cofibraciones , y dos factorizaciones funtoriales. $(\alpha,\beta)$ y $(\gamma,\delta)$ sujeto a los siguientes axiomas. Una fibración que también es una equivalencia débil se llama fibración acíclica (o trivial ) ^[¹^] y una cofibración que también es una equivalencia débil se llama cofibración acíclica (o trivial ) (o a veces llamada morfismo anodino ).

Axiomas

Retracciones : si g es un morfismo perteneciente a una de las clases distinguidas, y f es una retracción de g (como objetos en la categoría de flechas). $C^{2}$ , donde 2 es el conjunto ordenado de 2 elementos), entonces f pertenece a la misma clase distinguida. Explícitamente, el requisito de que f sea un retracto de g significa que existen i , j , r , y s , tales que el siguiente diagrama conmuta:
2 de 3 : si f y g son aplicaciones en C tales que gf está definida y cualesquiera dos de ellas son equivalencias débiles, entonces la tercera también lo es.
Elevación : las cofibraciones acíclicas tienen la propiedad de elevación izquierda con respecto a las fibraciones, y las cofibraciones tienen la propiedad de elevación izquierda con respecto a las fibraciones acíclicas. Explícitamente, si el cuadrado exterior del siguiente diagrama conmuta, donde i es una cofibración y p es una fibración, y i o p es acíclico, entonces existe h que completa el diagrama.
Factorización :
- Cada morfismo f en C se puede escribir como $p\circ i$ para una fibración p y una cofibración acíclica i ;
- Cada morfismo f en C se puede escribir como $p\circ i$ para una fibración acíclica p y una cofibración i .

Una categoría modelo es una categoría que tiene una estructura modelo y todos los límites y colímites (pequeños) , es decir, una categoría completa y cocompleta con una estructura modelo.

Definición mediante sistemas de factorización débil

La definición anterior puede expresarse sucintamente mediante la siguiente definición equivalente: una categoría modelo es una categoría C y tres clases de (llamadas) equivalencias débiles W , fibraciones F y cofibraciones C tales que

C tiene todos los límites y colímites,

$(C\cap W,F)$ es un sistema de factorización débil ,

$(C,F\cap W)$ es un sistema de factorización débil
$W$ Satisface la propiedad 2 de 3. ^{[ 2 ]}

Primeras consecuencias de la definición

Los axiomas implican que cualesquiera dos de las tres clases de aplicaciones determinan la tercera (por ejemplo, las cofibraciones y las equivalencias débiles determinan las fibraciones).

Además, la definición es autodual: si C es una categoría modelo, entonces su categoría opuesta también lo es. ${\mathcal {C}}^{op}$ También admite una estructura de modelo de modo que las equivalencias débiles se correspondan con sus opuestos, las fibraciones con los opuestos de las cofibraciones y las cofibraciones con los opuestos de las fibraciones.

Ejemplos

Espacios topológicos

La categoría de espacios topológicos , Top , admite una estructura de categoría modelo estándar con las fibraciones usuales (de Serre) y con equivalencias débiles como equivalencias de homotopía débiles. Las cofibraciones no son la noción usual que se encuentra aquí , sino más bien la clase más restringida de aplicaciones que tienen la propiedad de elevación izquierda con respecto a las fibraciones de Serre acíclicas. Equivalentemente, son los retractos de los complejos celulares relativos, como se explica, por ejemplo, en Model Categories de Hovey . Esta estructura no es única; en general puede haber muchas estructuras de categoría modelo en una categoría dada. Para la categoría de espacios topológicos, otra estructura de este tipo viene dada por las fibraciones de Hurewicz y las cofibraciones estándar, y las equivalencias débiles son las equivalencias de homotopía (fuertes) .

complejos de cadena

La categoría de complejos de cadenas (graduadas no negativamente) de R -módulos contiene al menos dos estructuras modelo, las cuales ocupan un lugar destacado en el álgebra homológica:

Las equivalencias débiles son aplicaciones que inducen isomorfismos en homología;
Las cofibraciones son aplicaciones que son monomorfismos en cada grado con conúcleo proyectivo ; y
Las fibraciones son aplicaciones que son epimorfismos en cada grado distinto de cero.

o

Las equivalencias débiles son aplicaciones que inducen isomorfismos en homología;
Las fibraciones son aplicaciones que son epimorfismos en cada grado con núcleo inyectivo ; y
Las cofibraciones son aplicaciones que son monomorfismos en cada grado distinto de cero.

Esto explica por qué los grupos Ext de los R -módulos pueden calcularse resolviendo la fuente de forma proyectiva o la meta de forma inyectiva. Se trata de sustituciones cofibrantes o fibrantes en las estructuras de modelo correspondientes.

La categoría de complejos de cadena arbitrarios de R -módulos tiene una estructura de modelo que se define por

Las equivalencias débiles son equivalencias de homotopía de cadena de complejos de cadena;
Las cofibraciones son monomorfismos que se dividen como morfismos de R -módulos subyacentes; y
Las fibraciones son epimorfismos que se dividen como morfismos de R -módulos subyacentes.

Otros ejemplos

Otros ejemplos de categorías que admiten estructuras de modelo incluyen la categoría de todas las categorías pequeñas, la categoría de conjuntos simpliciales o prehaces simpliciales en cualquier sitio pequeño de Grothendieck , la categoría de espectros topológicos y las categorías de espectros simpliciales o prehaces de espectros simpliciales en un sitio pequeño de Grothendieck.

Los objetos simpliciales en una categoría son una fuente frecuente de categorías modelo; por ejemplo, los anillos conmutativos simpliciales o los R -módulos simpliciales admiten estructuras modelo naturales. Esto se debe a que existe una adjunción entre conjuntos simpliciales y anillos conmutativos simpliciales (dada por los functores de olvido y libre), y en casos favorables se pueden elevar estructuras modelo bajo una adjunción.

Una categoría de modelo simplicial es una categoría simplicial con una estructura de modelo que es compatible con la estructura simplicial. ^{[ 3 ]}

Dada cualquier categoría C y una categoría modelo M , bajo ciertas hipótesis adicionales, la categoría de functores Fun( C , M ) (también llamados diagramas C en M ) es también una categoría modelo. De hecho, siempre hay dos candidatos para estructuras modelo distintas: en una, la llamada estructura modelo proyectiva , las fibraciones y las equivalencias débiles son aquellos mapas de functores que son fibraciones y equivalencias débiles cuando se evalúan en cada objeto de C. De manera dual, la estructura modelo inyectiva es similar, pero con cofibraciones y equivalencias débiles. En ambos casos, la tercera clase de morfismos viene dada por una condición de elevación (véase más adelante). En algunos casos, cuando la categoría C es una categoría de Reedy , hay una tercera estructura modelo que se encuentra entre la proyectiva y la inyectiva.

El proceso de forzar que ciertos mapas se conviertan en equivalencias débiles en una nueva estructura de categoría modelo sobre la misma categoría subyacente se conoce como localización de Bousfield . Por ejemplo, la categoría de haces simpliciales se puede obtener como una localización de Bousfield de la categoría modelo de prehaces simpliciales .

Denis-Charles Cisinski ha desarrollado ^{[ 4 ]} una teoría general de estructuras de modelos en categorías de prehaces (generalizando conjuntos simpliciales, que son prehaces en la categoría simplex ).

Si C es una categoría modelo, entonces también lo es la categoría Pro( C ) de pro-objetos en C. Sin embargo, una estructura modelo en Pro( C ) también puede construirse imponiendo un conjunto más débil de axiomas a C. ^{[ 5 ]}

Algunas construcciones

Cada categoría de modelo cerrada tiene un objeto terminal por completitud y un objeto inicial por cocompletitud, ya que estos objetos son el límite y el colímite, respectivamente, del diagrama vacío. Dado un objeto X en la categoría de modelo, si la aplicación única del objeto inicial a X es una cofibración, entonces se dice que X es cofibrante . Análogamente, si la aplicación única de X al objeto terminal es una fibración, entonces se dice que X es fibrante .

Si Z y X son objetos de una categoría modelo tal que Z es cofibrante y existe una equivalencia débil de Z a X , entonces se dice que Z es un reemplazo cofibrante de X. De manera similar, si Z es fibrante y existe una equivalencia débil de X a Z, entonces se dice que Z es un reemplazo fibrante de X. En general, no todos los objetos son fibrantes o cofibrantes, aunque a veces ocurre. Por ejemplo, todos los objetos son cofibrantes en la categoría modelo estándar de conjuntos simpliciales y todos los objetos son fibrantes para la estructura de categoría modelo estándar dada anteriormente para espacios topológicos.

La homotopía izquierda se define con respecto a los objetos cilíndricos y la homotopía derecha con respecto a los objetos del espacio de caminos . Estas nociones coinciden cuando el dominio es cofibrante y el codominio es fibrante. En ese caso, la homotopía define una relación de equivalencia en los conjuntos hom de la categoría modelo, dando lugar a clases de homotopía.

Caracterización de fibraciones y cofibraciones mediante propiedades de elevación.

Las cofibraciones se caracterizan como las aplicaciones que poseen la propiedad de elevación izquierda respecto a las fibraciones acíclicas, y las cofibraciones acíclicas se caracterizan como las aplicaciones que poseen la propiedad de elevación izquierda respecto a las fibraciones. De manera similar, las fibraciones se caracterizan como las aplicaciones que poseen la propiedad de elevación derecha respecto a las cofibraciones acíclicas, y las fibraciones acíclicas se caracterizan como las aplicaciones que poseen la propiedad de elevación derecha respecto a las cofibraciones.

Homotopía y la categoría de homotopía

La categoría de homotopía de una categoría modelo C es la localización de C con respecto a la clase de equivalencias débiles. Esta definición de categoría de homotopía no depende de la elección de fibraciones y cofibraciones. Sin embargo, las clases de fibraciones y cofibraciones son útiles para describir la categoría de homotopía de una manera diferente y, en particular, para evitar problemas de teoría de conjuntos que surgen en localizaciones generales de categorías. Más precisamente, el "teorema fundamental de las categorías modelo" establece que la categoría de homotopía de C es equivalente a la categoría cuyos objetos son los objetos de C que son a la vez fibrantes y cofibrantes, y cuyos morfismos son clases de homotopía izquierda de aplicaciones (o, equivalentemente, clases de homotopía derecha de aplicaciones) como se definió anteriormente. (Véase, por ejemplo, Model Categories de Hovey, Thm 1.2.10).

Aplicando esto a la categoría de espacios topológicos con la estructura del modelo dada anteriormente, la categoría de homotopía resultante es equivalente a la categoría de complejos CW y clases de homotopía de aplicaciones continuas, de ahí su nombre.

Adjuntos de Quillen

Un par de functores adjuntos

F:C\leftrightarrows D:G

Entre dos categorías de modelos C y D se denomina adjunción de Quillen si F preserva las cofibraciones y las cofibraciones acíclicas o, equivalentemente por los axiomas del modelo cerrado, de tal manera que G preserva las fibraciones y las fibraciones acíclicas. En este caso, F y G inducen una adjunción.

LF:Ho(C)\leftrightarrows Ho(D):RG

entre las categorías de homotopía. También existe un criterio explícito para que esta última sea una equivalencia ( F y G se denominan entonces una equivalencia de Quillen ).

Un ejemplo típico es la adjunción estándar entre conjuntos simpliciales y espacios topológicos:

|-|:\mathbf {sSet} \leftrightarrows \mathbf {Top} :Sing

Esto implica la realización geométrica de un conjunto simplicial y las cadenas singulares en algún espacio topológico. Las categorías sSet y Top no son equivalentes, pero sus categorías de homotopía sí lo son. Por lo tanto, los conjuntos simpliciales se utilizan a menudo como modelos para espacios topológicos debido a esta equivalencia de categorías de homotopía.

Véase también

Notas

↑ Algunos lectores encuentran ambiguo el término "trivial" y prefieren usar "acíclico".
↑ Riehl (2014 , §11.3)
↑ Definición 2.1. de.
^ Cisinski, Denis-Charles. Los préfaisceaux como modelos de tipos de homomotopie. (Francés) [Presheaves como modelos para tipos de homotopía] Astérisque No. 308 (2006), xxiv+390 págs. ISBN 978-2-85629-225-9MR 2294028
↑ Barnea, Ilan; Schlank, Tomer M. (2016), "Una estructura de modelo proyectivo en haces prosimpliciales y el tipo de homotopía étale relativo", Advances in Mathematics , 291 : 784–858 , arXiv : 1109.5477 , Bibcode : 2011arXiv1109.5477B , doi : 10.1016/j.aim.2015.11.014 , MR 3459031

Referencias

Denis-Charles Cisinski : Les préfaisceaux commes modèles des type d'homotopie , Astérisque, (308) 2006, xxiv+392 págs.
Dwyer, William G.; Spaliński, Jan (1995), "Teorías de homotopía y categorías de modelos" (PDF) , Handbook of algebraic topology , Ámsterdam: North-Holland, pp. 73–126 , doi : 10.1016/B978-044481779-2/50003-1 , ISBN 9780444817792, MR 1361887
Philip S. Hirschhorn: Categorías de modelos y sus localizaciones , 2003, ISBN 0-8218-3279-4.
Mark Hovey: Categorías de modelos , 1999, ISBN 0-8218-1359-5.
Klaus Heiner Kamps y Timothy Porter: Teoría de la homotopía abstracta y simple , 1997, World Scientific, ISBN 981-02-1602-5.
Georges Maltsiniotis: La teoría del homomotopie de Grothendieck . Astérisque, (301) 2005, vi+140 págs.

Riehl, Emily (2014), Teoría de la homotopía categórica , Cambridge University Press, doi : 10.1017/CBO9781107261457 , ISBN 978-1-107-04845-4, MR 3221774

Quillen, Daniel G. (1967), Álgebra homotópica , Lecture Notes in Mathematics, No. 43, vol. 43, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0097438 , ISBN 978-3-540-03914-3, MR 0223432

Balchin, Scott (2021), A Handbook of Model Categories , Algebra and Applications, vol. 27, Springer, doi : 10.1007/978-3-030-75035-0 , ISBN 978-3-030-75034-3, MR 4385504 , S2CID 240268465

Lecturas adicionales

"¿Seguimos necesitando categorías de modelos?"
"(infinito,1)-categorías directamente a partir de categorías modelo"
Paul Goerss y Kristen Schemmerhorn, Categorías de modelos y métodos simples

Enlaces externos

Categoría de modelo en el Laboratorio n
Categoría de modelo en el laboratorio de gatos de Joyal

[1] Algunos lectores encuentran ambiguo el término "trivial" y prefieren usar "acíclico".

[2] Riehl (2014 , §11.3)

[3] Definición 2.1. de.

[4] Cisinski, Denis-Charles. Los préfaisceaux como modelos de tipos de homomotopie. (Francés) [Presheaves como modelos para tipos de homotopía] Astérisque No. 308 (2006), xxiv+390 págs. ISBN 978-2-85629-225-9MR 2294028

[5] Barnea, Ilan; Schlank, Tomer M. (2016), "Una estructura de modelo proyectivo en haces prosimpliciales y el tipo de homotopía étale relativo", Advances in Mathematics , 291 : 784–858 , arXiv : 1109.5477 , Bibcode : 2011arXiv1109.5477B , doi : 10.1016/j.aim.2015.11.014 , MR 3459031

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