Pseudovector

Un bucle de alambre (negro), por el que circula una corriente I , crea un campo magnético B (azul). Si la posición y la corriente del alambre se reflejan a través del plano indicado por la línea discontinua, el campo magnético que genera no se reflejaría: en cambio, se reflejaría *e invertiría* . La posición y la corriente en cualquier punto del alambre son vectores "reales", pero el campo magnético B es un pseudovector. ^{[ 1 ]}

En física y matemáticas , un pseudovector (o vector axial ) ^{[ 2 ]} es una magnitud que se transforma como un vector bajo transformaciones rígidas continuas , como rotaciones o traslaciones , pero que no se transforma como un vector bajo ciertas transformaciones rígidas discontinuas , como reflexiones . Por ejemplo, la velocidad angular de un objeto en rotación es un pseudovector porque, cuando el objeto se refleja en un espejo, la imagen reflejada rota de tal manera que su velocidad angular no es la imagen especular de la velocidad angular del objeto original . Para los vectores verdaderos (también conocidos como vectores polares ), el vector de reflexión y el vector original deben ser imágenes especulares. ^{[ 3 ]}

Un ejemplo de pseudovector es la normal a un plano orientado . Un plano orientado se puede definir mediante dos vectores no paralelos, a y b , ^[⁴^] que lo abarcan. El vector a × b es una normal al plano (hay dos normales, una a cada lado; la regla de la mano derecha determinará cuál), y es un pseudovector. Esto tiene consecuencias en los gráficos por computadora, donde debe considerarse al transformar las normales de la superficie . En tres dimensiones, el rotacional de un campo vectorial polar en un punto y el producto vectorial de dos vectores polares son pseudovectores. ^[⁵^]

Varias magnitudes físicas vectoriales se comportan como pseudovectores en lugar de vectores polares, incluyendo el campo magnético y el torque . En matemáticas, en tres dimensiones, los pseudovectores son equivalentes a bivectores , a partir de los cuales se pueden derivar las reglas de transformación de los pseudovectores. De manera más general, en el álgebra exterior n- dimensional y el álgebra geométrica , los pseudovectores son los elementos del álgebra con dimensión n − 1 , escritos como ⋀ ⁿ⁻¹R ⁿ . La etiqueta "pseudo-" puede generalizarse aún más a pseudoescalares y pseudotensores , los cuales obtienen un cambio de signo adicional bajo rotaciones impropias en comparación con un escalar o tensor verdadero .

Ejemplos físicos

Ejemplos físicos de pseudovectores incluyen la velocidad angular , ^{[ 4 ]} la aceleración angular , el momento angular , ^{[ 4 ]} el par , ^{[ 4 ]} el campo magnético , ^{[ 4 ]} y el momento dipolar magnético .

Consideremos el momento angular pseudovectorial L = Σ( r × p ) . Al conducir un automóvil y mirar hacia adelante, cada una de las ruedas tiene un vector de momento angular que apunta hacia la izquierda (según la regla de la mano derecha ). Si el mundo se refleja en un espejo que invierte el lado izquierdo y derecho del automóvil, el "reflejo" de este "vector" de momento angular (visto como un vector ordinario) apunta hacia la derecha, pero el vector de momento angular real de la rueda (que aún gira hacia adelante en el reflejo) aún apunta hacia la izquierda (según la regla de la mano derecha ), lo que corresponde al cambio de signo adicional en la reflexión de un pseudovector.

La distinción entre vectores polares y pseudovectores cobra importancia para comprender el efecto de la simetría en la solución de sistemas físicos . Consideremos una espira de corriente eléctrica en el plano z = 0 que, en su interior, genera un campo magnético orientado en la dirección z . Este sistema es simétrico (invariante) ante reflexiones especulares a través de este plano, permaneciendo el campo magnético inalterado por la reflexión. Sin embargo, cabría esperar que la reflexión del campo magnético como vector a través de dicho plano lo invirtiera; esta expectativa se corrige al comprender que el campo magnético es un pseudovector, y que el cambio de signo adicional lo deja inalterado.

En física, los pseudovectores se obtienen generalmente mediante el producto vectorial de dos vectores polares o el rotacional de un campo vectorial polar. El producto vectorial y el rotacional se definen, por convención, según la regla de la mano derecha, pero podrían haberse definido igualmente bien mediante la regla de la mano izquierda. Todo el conjunto de principios físicos que utilizan pseudovectores (dextrógiros) y la regla de la mano derecha podría sustituirse sin problema por pseudovectores (levógiros) y la regla de la mano izquierda. Los pseudovectores (levógiros) así definidos tendrían una dirección opuesta a los definidos por la regla de la mano derecha.

Si bien las relaciones vectoriales en física pueden expresarse sin coordenadas, se requiere un sistema de coordenadas para expresar vectores y pseudovectores como cantidades numéricas. Los vectores se representan como tríos ordenados de números, por ejemplo: $\mathbf {a} =(a_{x},a_{y},a_{z})$ Los pseudovectores también se representan de esta forma. Al transformar entre sistemas de coordenadas zurdos y diestros, las representaciones de pseudovectores no se transforman como vectores, y tratarlas como tales provocará un cambio de signo incorrecto, por lo que es necesario tener cuidado de distinguir qué tripletas ordenadas representan vectores y cuáles representan pseudovectores. Este problema desaparece si el producto vectorial de dos vectores se reemplaza por el producto exterior de los mismos, lo que da como resultado un bivector que es un tensor de segundo orden y se representa mediante una matriz de 3×3. Esta representación del 2-tensor se transforma correctamente entre cualquier par de sistemas de coordenadas, independientemente de su quiralidad.

Detalles

La definición de "vector" en física (que incluye tanto vectores polares como pseudovectores) es más específica que la definición matemática de "vector" (es decir, cualquier elemento de un espacio vectorial abstracto ). Según la definición física, un "vector" debe tener componentes que se "transformen" de cierta manera bajo una rotación adecuada : en particular, si todo en el universo rotara, el vector rotaría exactamente de la misma manera. (El sistema de coordenadas es fijo en esta discusión; en otras palabras, esta es la perspectiva de las transformaciones activas ). Matemáticamente, si todo en el universo experimenta una rotación descrita por una matriz de rotación R , de modo que un vector de desplazamiento x se transforma en x ′ = R x , entonces cualquier "vector" v debe transformarse de manera similar en v ′ = R v . Este requisito importante es lo que distingue a un vector (que podría estar compuesto, por ejemplo, por las componentes x , y y z de la velocidad ) de cualquier otra terna de magnitudes físicas (por ejemplo, la longitud, el ancho y la altura de una caja rectangular no pueden considerarse las tres componentes de un vector, ya que al rotar la caja estas tres componentes no se transforman adecuadamente).

(En el lenguaje de la geometría diferencial , este requisito equivale a definir un vector como un tensor de rango contravariante uno. En este marco más general, los tensores de rango superior también pueden tener rangos covariantes y contravariantes mixtos de forma arbitraria, lo que se denota mediante índices elevados y descendidos según la convención de suma de Einstein ).

Un ejemplo básico y bastante concreto es el de los vectores fila y columna bajo el operador usual de multiplicación de matrices : en un orden dan como resultado el producto escalar, que es simplemente un escalar y, como tal, un tensor de rango cero, mientras que en el otro dan como resultado el producto diádico , que es una matriz que representa un tensor mixto de rango dos , con un índice contravariante y otro covariante. De este modo, la no conmutatividad del álgebra matricial estándar puede utilizarse para mantener el control de la distinción entre vectores covariantes y contravariantes. De hecho, así es como se llevaba la contabilidad antes de que surgiera la notación tensorial más formal y generalizada. Todavía se manifiesta en la forma en que se muestran los vectores base de los espacios tensoriales generales para su manipulación práctica.

La discusión hasta ahora solo se refiere a rotaciones propias, es decir, rotaciones alrededor de un eje. Sin embargo, también se pueden considerar rotaciones impropias , es decir, una reflexión especular posiblemente seguida de una rotación propia. (Un ejemplo de una rotación impropia es la inversión a través de un punto en el espacio tridimensional). Supongamos que todo en el universo experimenta una rotación impropia descrita por la matriz de rotación impropia R , de modo que un vector de posición x se transforma en x ′ = R x . Si el vector v es un vector polar, se transformará en v ′ = R v . Si es un pseudovector, se transformará en v ′ = − R v .

Las reglas de transformación para vectores polares y pseudovectores se pueden enunciar de forma compacta como:

{\begin{aligned}\mathbf {v} '&=R\mathbf {v} &&{\text{(vector polar)}}\\\mathbf {v} '&=(\det R)(R\mathbf {v} )&&{\text{(pseudovector)}}\end{aligned}}

donde los símbolos son los descritos anteriormente, y la matriz de rotación R puede ser propia o impropia. El símbolo det denota el determinante ; esta fórmula funciona porque el determinante de las matrices de rotación propias e impropias es +1 y −1, respectivamente.

Comportamiento ante la suma, la resta y la multiplicación escalar.

Supongamos que v ₁ y v ₂ son pseudovectores conocidos, y v ₃ se define como su suma, v ₃ = v ₁ + v ₂ . Si el universo se transforma mediante una matriz de rotación R , entonces v ₃ se transforma en

{\begin{aligned}\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '&=(\det R)(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )\\&=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).\end{aligned}}

Así pues, v ₃ también es un pseudovector. De manera similar, se puede demostrar que la diferencia entre dos pseudovectores es un pseudovector, que la suma o la diferencia de dos vectores polares es un vector polar, que al multiplicar un vector polar por cualquier número real se obtiene otro vector polar, y que al multiplicar un pseudovector por cualquier número real se obtiene otro pseudovector.

Por otro lado, supongamos que se sabe que v ₁ es un vector polar, se sabe que v ₂ es un pseudovector y v ₃ se define como su suma, v ₃ = v ₁ + v ₂ . Si el universo se transforma mediante una matriz de rotación impropia R , entonces v ₃ se transforma en

\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '+\mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )+(\det R)(R\mathbf {v_{2}} )=R(\mathbf {v_{1}} +(\det R)\mathbf {v_{2}} ).

Por lo tanto, v ₃ no es ni un vector polar ni un pseudovector (aunque sigue siendo un vector, según la definición física). Para una rotación impropia, v ₃ generalmente ni siquiera mantiene la misma magnitud:

|\mathbf {v_{3}} |=|\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} |,{\text{ pero }}\left|\mathbf {v_{3}} '\right|=\left|\mathbf {v_{1}} '-\mathbf {v_{2}} '\right|

.

Si la magnitud de v³ describiera una cantidad física medible , eso significaría que las leyes de la física no se verían iguales si el universo se observara como en un espejo. De hecho, esto es precisamente lo que ocurre en la _interaccióndébil : ciertas desintegraciones radiactivas tratan a la izquierda y a la derecha de forma diferente, un fenómeno que se puede atribuir a la suma de un vector polar con un pseudovector en la teoría subyacente. (Véase violación de la paridad ).

Comportamiento bajo productos cruzados y rotaciones

Para una matriz de rotación R , ya sea propia o impropia, la siguiente ecuación matemática siempre es verdadera:

(R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))

,

donde v ₁ y v ₂ son vectores tridimensionales cualesquiera. (Esta ecuación puede demostrarse mediante un argumento geométrico o mediante un cálculo algebraico). De manera similar, si v es cualquier campo vectorial, la siguiente ecuación siempre es verdadera:

\nabla \times (R\mathbf {v} )=(\det R)(R(\nabla \times \mathbf {v} ))

donde ∇ × denota la operación rotacional del cálculo vectorial .

Supongamos que v ₁ y v ₂ son vectores polares conocidos, y v ₃ se define como su producto vectorial, v ₃ = v ₁ × v ₂ . Si el universo se transforma mediante una matriz de rotación R , entonces v ₃ se transforma en

\mathbf {v_{3}} '=\mathbf {v_{1}} '\times \mathbf {v_{2}} '=(R\mathbf {v_{1}} )\times (R\mathbf {v_{2}} )=(\det R)(R(\mathbf {v_{1}} \times \mathbf {v_{2}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{3}} ).

Por lo tanto, v ₃ es un pseudovector. De igual manera, se puede demostrar que el producto vectorial de dos pseudovectores es un pseudovector y que el producto vectorial de un vector polar con un pseudovector es un vector polar. En conclusión, tenemos:

vector polar × vector polar = pseudovector
pseudovector × pseudovector = pseudovector
vector polar × pseudovector = vector polar
pseudovector × vector polar = vector polar

Esto es isomorfo a la suma módulo 2, donde "polar" corresponde a 1 y "pseudo" a 0.

De manera similar, si v ₁ es cualquier campo vectorial polar conocido y v ₂ se define como su rotacional v ₂ = ∇ × v ₁ , entonces si el universo se transforma mediante la matriz de rotación R , v ₂ se transforma en

\mathbf {v_{2}} '=\nabla \times \mathbf {v_{1}} '=\nabla \times (R\mathbf {v_{1}} )=(\det R)(R(\nabla \times \mathbf {v_{1}} ))=(\det R)(R\mathbf {v_{2}} ).

Por lo tanto, _v²es un campo pseudovectorial. De igual modo, se puede demostrar que el rotacional de un campo pseudovectorial es un campo vectorial polar. En conclusión, tenemos:

∇ × campo vectorial polar = campo pseudovectorial
∇ × campo pseudovectorial = campo vectorial polar

Esto es similar a la regla anterior para productos cruzados si se interpreta el operador del ∇ como un vector polar.

Ejemplos

De la definición, queda claro que el desplazamiento lineal es un vector polar. La velocidad lineal es el desplazamiento lineal (un vector polar) dividido por el tiempo (un escalar), por lo que también es un vector polar. El momento lineal es la velocidad lineal (un vector polar) multiplicada por la masa (un escalar), por lo que también es un vector polar. El momento angular (en un objeto puntual) es el producto vectorial del desplazamiento lineal (un vector polar) y el momento lineal (un vector polar), y por lo tanto es un pseudovector. El torque es el momento angular (un pseudovector) dividido por el tiempo (un escalar), por lo que también es un pseudovector. La velocidad angular (en un cuerpo o fluido en rotación) es la mitad del rotacional de la velocidad lineal (un campo vectorial polar), y por lo tanto es un pseudovector. Siguiendo este razonamiento, es sencillo clasificar cualquiera de los vectores comunes en física como pseudovector o vector polar. (Existen vectores que violan la paridad en la teoría de las interacciones débiles, que no son ni vectores polares ni pseudovectores. Sin embargo, estos ocurren muy raramente en física).

La regla de la mano derecha

Anteriormente, se han analizado los pseudovectores mediante transformaciones activas . Un enfoque alternativo, más cercano a las transformaciones pasivas , consiste en mantener el universo fijo, pero intercambiar la regla de la mano derecha por la de la mano izquierda en todas partes en matemáticas y física, incluyendo la definición del producto vectorial y el rotacional . Cualquier vector polar (por ejemplo, un vector de traslación) permanecería inalterado, pero los pseudovectores (por ejemplo, el campo magnético en un punto) cambiarían de signo. Sin embargo, esto no tendría consecuencias físicas, salvo en los fenómenos que violan la paridad, como ciertas desintegraciones radiactivas . ^{[ 6 ]}

Formalización

Una forma de formalizar los pseudovectores es la siguiente: si V es un espacio vectorial n - dimensional , entonces un pseudovector de V es un elemento de la ( n - 1)-ésima potencia exterior de V : ⋀ ⁿ - ¹ ( V ). Los pseudovectores de V forman un espacio vectorial con la misma dimensión que V.

Esta definición no es equivalente a la que requiere un cambio de signo bajo rotaciones impropias, pero es general a todos los espacios vectoriales. En particular, cuando n es par , dicho pseudovector no experimenta un cambio de signo, y cuando la característica del campo subyacente de V es 2, un cambio de signo no tiene efecto. Por lo demás, las definiciones son equivalentes, aunque debe tenerse en cuenta que sin una estructura adicional (específicamente, ya sea una forma de volumen o una orientación ), no hay una identificación natural de ⋀ ^{n −1} ( V ) con V .

Otra forma de formalizarlos es considerándolos como elementos de un espacio de representación para ${\text{O}}(n)$ . Los vectores se transforman en la representación fundamental de ${\text{O}}(n)$ con datos proporcionados por $(\mathbb {R} ^{n},\rho _{\text{fund}},{\text{O}}(n))$ , de modo que para cualquier matriz $R$ en ${\text{O}}(n)$ , uno tiene $\rho _{\text{fondo}}(R)=R$ Los pseudovectores se transforman en una representación pseudofundamental. $(\mathbb {R} ^{n},\rho _{\text{pseudo}},{\text{O}}(n))$ , con $\rho _{\text{pseudo}}(R)=\det(R)R$ . Otra forma de ver este homomorfismo para $n$ Lo extraño es que en este caso ${\text{O}}(n)\cong {\text{SO}}(n)\times \mathbb {Z} _{2}$ . Entonces $\rho _{\text{pseudo}}$ es un producto directo de homomorfismos de grupo; es el producto directo del homomorfismo fundamental en ${\text{SO}}(n)$ con el homomorfismo trivial en $\mathbb {Z} _ {2}$ .

álgebra geométrica

En álgebra geométrica, los elementos básicos son los vectores, que se utilizan para construir una jerarquía de elementos mediante las definiciones de productos propias de esta álgebra. En particular, el álgebra construye pseudovectores a partir de vectores.

La multiplicación básica en el álgebra geométrica es el producto geométrico , que se denota simplemente yuxtaponiendo dos vectores como en ab . Este producto se expresa como:

\mathbf {ab} =\mathbf {a\cdot b} +\mathbf {a\wedge b} \ ,

donde el término principal es el producto escalar vectorial habitual y el segundo término se denomina producto exterior o producto exterior . Utilizando los postulados del álgebra, se pueden evaluar todas las combinaciones de productos escalares y exteriores. Se proporciona una terminología para describir las distintas combinaciones. Por ejemplo, un multivector es una suma de productos exteriores k -ésimos de varios valores k . Un producto exterior k -ésimo también se denomina k -hoja .

En el presente contexto, el pseudovector es una de estas combinaciones. Este término se adjunta a un multivector diferente dependiendo de las dimensiones del espacio (es decir, el número de vectores linealmente independientes en el espacio). En tres dimensiones, el 2-blade o bivector más general se puede expresar como el producto exterior de dos vectores y es un pseudovector. ^{[ 7 ]} En cuatro dimensiones, sin embargo, los pseudovectores son trivectores . ^{[ 8 ]} En general, es un ( n − 1) -blade, donde n es la dimensión del espacio y del álgebra. ^{[ 9 ]} Un espacio n -dimensional tiene n vectores base y también n pseudovectores base. Cada pseudovector base se forma a partir del producto exterior (cuña) de todos menos uno de los n vectores base. Por ejemplo, en cuatro dimensiones donde los vectores base se toman como { e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ }, los pseudovectores se pueden escribir como: { e ₂₃₄ , e ₁₃₄ , e ₁₂₄ , e ₁₂₃ }.

Transformaciones en tres dimensiones

Baylis comparó las propiedades de transformación del pseudovector en tres dimensiones con las del producto vectorial . ^{[ 10 ]} Afirma: "Los términos vector axial y pseudovector se suelen tratar como sinónimos, pero es muy útil poder distinguir un bivector de su dual". Parafraseando a Baylis: Dados dos vectores polares (es decir, vectores verdaderos) a y b en tres dimensiones, el producto vectorial compuesto por a y b es el vector normal a su plano dado por c = a × b . Dado un conjunto de vectores base ortonormales diestros { e _ℓ } , el producto vectorial se expresa en términos de sus componentes como:

\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\right)\mathbf {e} _ {1}+\left(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{2}+\left(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{3},

donde los superíndices etiquetan los componentes del vector. Por otro lado, el plano de los dos vectores está representado por el producto exterior o producto exterior, denotado por a ∧ b . En este contexto del álgebra geométrica, este bivector se llama pseudovector y es el dual de Hodge del producto vectorial. ^{[ 11 ]} El dual de e ₁ se introduce como e ₂₃ ≡ e ₂e ₃ = e ₂ ∧ e ₃ , y así sucesivamente. Es decir, el dual de e ₁ es el subespacio perpendicular a e ₁ , es decir, el subespacio generado por e ₂ y e ₃ . Con este entendimiento, ^{[ 12 ]}

\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =\left(a^{2}b^{3}-a^{3}b^{2}\right)\mathbf {e} _{23}+\left(a^{3}b^{1}-a^{1}b^{3}\right)\mathbf {e} _{31}+\left(a^{1}b^{2}-a^{2}b^{1}\right)\mathbf {e} _{12}\ .

Para más detalles, véase el operador estrella de Hodge § Tres dimensiones . El producto vectorial y el producto exterior se relacionan mediante:

\mathbf {a} \ \wedge \ \mathbf {b} ={\mathit {i}}\ \mathbf {a} \ \times \ \mathbf {b} \ ,

donde i = e ₁ ∧ e ₂ ∧ e ₃ se denomina pseudoescalar unitario . ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} Tiene la propiedad: ^{[ 15 ]}

{\mathit {i}}^{2}=-1\ .

Utilizando las relaciones anteriores, se observa que si los vectores a y b se invierten cambiando los signos de sus componentes mientras se mantienen fijos los vectores base, tanto el pseudovector como el producto vectorial permanecen invariantes. Por otro lado, si las componentes se mantienen fijas y los vectores base e _ℓ se invierten, entonces el pseudovector permanece invariante, pero el producto vectorial cambia de signo. Este comportamiento de los productos vectoriales es consistente con su definición como elementos de tipo vectorial que cambian de signo al transformarse de un sistema de coordenadas diestro a uno zurdo, a diferencia de los vectores polares.

Nota sobre el uso

Como nota al margen, cabe señalar que no todos los autores en el campo del álgebra geométrica utilizan el término pseudovector, y algunos autores siguen una terminología que no distingue entre el pseudovector y el producto vectorial. ^{[ 16 ]} Sin embargo, dado que el producto vectorial no se generaliza a más de tres dimensiones, ^{[ 17 ]} la noción de pseudovector basada en el producto vectorial tampoco puede extenderse a un espacio de otro número de dimensiones. El pseudovector como una ( n – 1) -hoja en un espacio n -dimensional no está restringido de esta manera.

Otro punto importante es que los pseudovectores, a pesar de su nombre, son "vectores" en el sentido de ser elementos de un espacio vectorial . La idea de que "un pseudovector es diferente de un vector" solo es cierta con una definición diferente y más específica del término "vector", como se explicó anteriormente.

Véase también

Álgebra exterior
Álgebra de Clifford
Antivector , una generalización del pseudovector en el álgebra de Clifford.
Orientabilidad : debate sobre espacios no orientables.
Densidad tensorial

Notas

↑ Stephen A. Fulling; Michael N. Sinyakov; Sergei V. Tischchenko (2000). Linealidad y matemáticas de varias variables . World Scientific. pág. 343. ISBN 981-02-4196-8.
↑ "Detalles para el IEV número 102-03-33: "vector axial"" . Vocabulario Electrotécnico Internacional (en japonés) . Consultado el 07-11-2023 .
↑ "Detalles para el IEV número 102-03-34: "vector polar"" . Vocabulario Electrotécnico Internacional (en japonés) . Consultado el 07-11-2023 .
1 2 3 4 5 RP Feynman: §52-5 Vectores polares y axiales, Lecciones de física de Feynman, vol. 1
↑ Aleksandr Ivanovich Borisenko; Ivan Evgenʹevich Tarapov (1979). Análisis vectorial y tensorial con aplicaciones (Reimpresión de la edición de 1968 de Prentice-Hall). Courier Dover. pág. 125. ISBN 0-486-63833-2.
↑ Véase Feynman Lectures, 52-7, "¡La paridad no se conserva!" .
↑ William M. Pezzaglia Jr. (1992). «Derivación del álgebra de Clifford de las hipersuperficies características de las ecuaciones de Maxwell» . En Julian Ławrynowicz (ed.). Deformaciones de estructuras matemáticas II . Springer. pág. 131 y ss . ISBN 0-7923-2576-1.
↑ En cuatro dimensiones, como en un álgebra de Dirac , los pseudovectores son trivectores . Venzo De Sabbata; Bidyut Kumar Datta (2007). Álgebra geométrica y aplicaciones a la física . CRC Press. pág. 64. ISBN 978-1-58488-772-0.
↑ William E Baylis (2004). "§4.2.3 Multivectores de grado superior en Cℓ _n : Duales" . Lecciones sobre álgebras de Clifford (geométricas) y aplicaciones . Birkhäuser. pág. 100. ISBN 0-8176-3257-3.
↑ William E Baylis (1994). Métodos teóricos en las ciencias físicas: una introducción a la resolución de problemas con Maple V. Birkhäuser. pág. 234 , véase la nota al pie. ISBN 0-8176-3715-X.
↑ R Wareham, J Cameron y J Lasenby (2005). «Aplicación del álgebra geométrica conforme en visión por computadora y gráficos» . Álgebra computacional y álgebra geométrica con aplicaciones . Springer. pág. 330. ISBN 3-540-26296-2. En tres dimensiones, un dual puede ser diestro o zurdo ; véase Leo Dorst; Daniel Fontijne; Stephen Mann (2007). "Figura 3.5: Dualidad de vectores y bivectores en 3-D" . Álgebra geométrica para la informática: un enfoque orientado a objetos de la geometría (2.ª ed.). Morgan Kaufmann. pág. 82. ISBN 978-0-12-374942-0.
↑ Christian Perwass (2009). "§1.5.2 Vectores generales" . Álgebra geométrica con aplicaciones en ingeniería . Springer. pág. 17. ISBN 978-3-540-89067-6.
↑ David Hestenes (1999). «El producto vectorial» . Nuevos fundamentos para la mecánica clásica: Teorías fundamentales de la física (2.ª ed.). Springer. pág. 60. ISBN 0-7923-5302-1.
↑ Venzo De Sabbata; Bidyut Kumar Datta (2007). "La unidad pseudoescalar e imaginaria" . Álgebra geométrica y aplicaciones a la física . CRC Press. pág. 53 y ss . ISBN 978-1-58488-772-0.
↑ Eduardo Bayro Corrochano; Garret Sobczyk (2001). Álgebra geométrica con aplicaciones en ciencia e ingeniería . Springer. pág. 126. ISBN 0-8176-4199-8.
↑ Por ejemplo, Bernard Jancewicz (1988). Multivectores y álgebra de Clifford en electrodinámica . World Scientific. pág. 11. ISBN 9971-5-0290-9.
↑ Stephen A. Fulling; Michael N. Sinyakov; Sergei V. Tischchenko (2000). Linealidad y matemáticas de varias variables . World Scientific. pág. 340. ISBN 981-02-4196-8.

Referencias

Arfken, George B.; Weber, Hans J. (2001). Métodos matemáticos para físicos . Harcourt. ISBN 0-12-059815-9.
Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2007). Álgebra geométrica para físicos . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71595-9.
Feynman, Richard . "§52-5: Vectores polares y axiales" . Lecciones de física de Feynman . Vol. 1. pág. 52-56.
Vector axial en la Enciclopedia de Matemáticas
Jackson, JD (1999). Electrodinámica clásica . Wiley. ISBN 0-471-30932-X.
Lea, Susan M. (2004). Matemáticas para físicos . Thompson. ISBN 0-534-37997-4.
Baylis, William E. (2004). «4. Aplicaciones de las álgebras de Clifford en física» . En Abłamowicz, Rafał; Sobczyk, Garret (eds.). Lecciones sobre álgebras de Clifford (geométricas) y aplicaciones . Birkhäuser. pág. 100 y ss . ISBN 0-8176-3257-3.: El dual del producto exterior a ∧ b es el producto cruzado a × b .
Weinreich, Gabriel (1998), Vectores geométricos , Chicago Lectures in Physics, The University of Chicago Press, p. 126, ISBN 9780226890487

[Tischchenko-1] Stephen A. Fulling; Michael N. Sinyakov; Sergei V. Tischchenko (2000). Linealidad y matemáticas de varias variables . World Scientific. pág. 343. ISBN 981-02-4196-8.

[IEV-u282-2] "Detalles para el IEV número 102-03-33: "vector axial"" . Vocabulario Electrotécnico Internacional (en japonés) . Consultado el 07-11-2023 .

[IEV-o617-3] "Detalles para el IEV número 102-03-34: "vector polar"" . Vocabulario Electrotécnico Internacional (en japonés) . Consultado el 07-11-2023 .

[FeynmanLectures-4] 1 2 3 4 5 RP Feynman: §52-5 Vectores polares y axiales, Lecciones de física de Feynman, vol. 1

[Tarapov-5] Aleksandr Ivanovich Borisenko; Ivan Evgenʹevich Tarapov (1979). Análisis vectorial y tensorial con aplicaciones (Reimpresión de la edición de 1968 de Prentice-Hall). Courier Dover. pág. 125. ISBN 0-486-63833-2.

[6] Véase Feynman Lectures, 52-7, "¡La paridad no se conserva!" .

[Pezzaglia-7] William M. Pezzaglia Jr. (1992). «Derivación del álgebra de Clifford de las hipersuperficies características de las ecuaciones de Maxwell» . En Julian Ławrynowicz (ed.). Deformaciones de estructuras matemáticas II . Springer. pág. 131 y ss . ISBN 0-7923-2576-1.

[DeSabbata-8] En cuatro dimensiones, como en un álgebra de Dirac , los pseudovectores son trivectores . Venzo De Sabbata; Bidyut Kumar Datta (2007). Álgebra geométrica y aplicaciones a la física . CRC Press. pág. 64. ISBN 978-1-58488-772-0.

[Baylis01-9] William E Baylis (2004). "§4.2.3 Multivectores de grado superior en Cℓ _n : Duales" . Lecciones sobre álgebras de Clifford (geométricas) y aplicaciones . Birkhäuser. pág. 100. ISBN 0-8176-3257-3.

[Baylis-10] William E Baylis (1994). Métodos teóricos en las ciencias físicas: una introducción a la resolución de problemas con Maple V. Birkhäuser. pág. 234 , véase la nota al pie. ISBN 0-8176-3715-X.

[Li-11] R Wareham, J Cameron y J Lasenby (2005). «Aplicación del álgebra geométrica conforme en visión por computadora y gráficos» . Álgebra computacional y álgebra geométrica con aplicaciones . Springer. pág. 330. ISBN 3-540-26296-2. En tres dimensiones, un dual puede ser diestro o zurdo ; véase Leo Dorst; Daniel Fontijne; Stephen Mann (2007). "Figura 3.5: Dualidad de vectores y bivectores en 3-D" . Álgebra geométrica para la informática: un enfoque orientado a objetos de la geometría (2.ª ed.). Morgan Kaufmann. pág. 82. ISBN 978-0-12-374942-0.

[Perwass-12] Christian Perwass (2009). "§1.5.2 Vectores generales" . Álgebra geométrica con aplicaciones en ingeniería . Springer. pág. 17. ISBN 978-3-540-89067-6.

[Hestenes-13] David Hestenes (1999). «El producto vectorial» . Nuevos fundamentos para la mecánica clásica: Teorías fundamentales de la física (2.ª ed.). Springer. pág. 60. ISBN 0-7923-5302-1.

[Datta-14] Venzo De Sabbata; Bidyut Kumar Datta (2007). "La unidad pseudoescalar e imaginaria" . Álgebra geométrica y aplicaciones a la física . CRC Press. pág. 53 y ss . ISBN 978-1-58488-772-0.

[Sobczyk-15] Eduardo Bayro Corrochano; Garret Sobczyk (2001). Álgebra geométrica con aplicaciones en ciencia e ingeniería . Springer. pág. 126. ISBN 0-8176-4199-8.

[Jancewicz-16] Por ejemplo, Bernard Jancewicz (1988). Multivectores y álgebra de Clifford en electrodinámica . World Scientific. pág. 11. ISBN 9971-5-0290-9.

[Tischchenko1-17] Stephen A. Fulling; Michael N. Sinyakov; Sergei V. Tischchenko (2000). Linealidad y matemáticas de varias variables . World Scientific. pág. 340. ISBN 981-02-4196-8.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[

[

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]