La conjetura de Polignac

En teoría de números , la conjetura de Polignac fue formulada por Alphonse de Polignac en 1849 y afirma: ^{[ 1 ]}

Para cualquier número par positivo n , existen infinitos intervalos primos de tamaño n . En otras palabras: existen infinitos casos de dos números primos consecutivos con diferencia n . ^{[ 2 ]}

Aunque la conjetura aún no ha sido probada ni refutada para ningún valor dado de n , en 2013 Yitang Zhang realizó un importante avance al demostrar que existen infinitos huecos primos de tamaño n para algún valor de n < 70 000 000. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Más tarde ese mismo año, James Maynard anunció un avance relacionado que demostró que existen infinitos huecos primos de algún tamaño menor o igual a 600. ^{[ 5 ]} A fecha de 14 de abril de 2014, un año después del anuncio de Zhang, según la wiki del proyecto Polymath , n se ha reducido a 246. ^{[ 6 ]} Además, asumiendo la conjetura de Elliott-Halberstam y su forma generalizada, la wiki del proyecto Polymath afirma que n se ha reducido a 12 y 6, respectivamente. ^{[ 7 ]}

Para n = 2, se trata de la conjetura de los primos gemelos . Para n = 4, afirma que existen infinitos primos primos ( p , p + 4). Para n = 6, afirma que existen infinitos primos atractivos ( p , p + 6) sin ningún primo entre p y p + 6.           

La conjetura de Dickson generaliza la conjetura de Polignac para abarcar todas las constelaciones primas .

En 1966, Chen Jing-run demostró una versión ligeramente más débil de la conjetura de Polignac: existen infinitos números primos p tales que p+k es primo o un número libre de cuadrados con como máximo 2 factores primos (un semiprimo ). ^{[ 8 ]}

Dejar${\displaystyle \pi _{n}(x)}$para n par sea el número de huecos primos de tamaño n por debajo de x .

La primera conjetura de Hardy-Littlewood dice que la densidad asintótica es de forma

${\displaystyle \pi _{n}(x)\sim 2C_{n}{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\sim 2C_{n}\int _{2}^{x}{dt \over (\ln t)^{2}}}$

donde C _n es una función de n y${\displaystyle \sim }$significa que el cociente de dos expresiones tiende a 1 cuando x tiende a infinito. ^{[ 9 ]}

C ₂ es la constante prima gemela

${\displaystyle C_{2}=\prod _{p\geq 3}{\frac {p(p-2)}{(p-1)^{2}}}\approx 0.660161815846869573927812110014\dots }$

donde el producto se extiende sobre todos los números primos p ≥ 3.

C _n es C ₂ multiplicado por un número que depende de los factores primos impares q de n :

${\displaystyle C_{n}=C_{2}\prod _{q|n}{\frac {q-1}{q-2}}.}$

Por ejemplo, C ₄ = C ₂ y C ₆ = 2 C ₂ . Los primos gemelos tienen la misma densidad conjeturada que los primos primos, y la mitad que la de los primos sexys.

Nótese que cada factor primo impar q de n aumenta la densidad conjeturada en comparación con los primos gemelos por un factor de${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q-2}}}$A continuación se presenta un argumento heurístico . Se basa en algunas suposiciones no probadas, por lo que la conclusión sigue siendo una conjetura. La probabilidad de que un primo impar aleatorio q divida a o a + 2 en un par de primos gemelos "potenciales" aleatorios es${\displaystyle {\tfrac {2}{q}}}$, ya que q divide a uno de los q números de a a +  q − 1. Ahora supongamos que q divide a n y consideremos un posible par primo ( a , a + n ). q divide a + n si y solo si q divide a , y la probabilidad de que eso sea         ${\displaystyle {\tfrac {1}{q}}}$La probabilidad de que ( a , a + n ) esté libre del factor q , dividida por la probabilidad de que ( a , a + 2 ) esté libre de q , se convierte entonces en:     ${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q}}}$dividido por${\displaystyle {\tfrac {q-2}{q}}}$Esto es igual a${\displaystyle {\tfrac {q-1}{q-2}}}$lo cual se transfiere a la densidad prima conjeturada. En el caso de n  =  6, el argumento se simplifica a: Si a es un número aleatorio, entonces 3 tiene una probabilidad de 2/3 de dividir a o a  +  2, pero solo una probabilidad de 1/3 de dividir a y a  +  6, por lo que se conjetura que el último par tiene el doble de probabilidades de ser ambos primos.

• Alphonse de Polignac, Recherches nouvelles sur les nombres premiers . Cuentas Rendus des Séances de l'Académie des Sciences (1849)
• Weisstein, Eric W. "La conjetura de Polignac" . MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Conjetura de la k-tupla" . MathWorld .