Número de Poly-Bernoulli

En matemáticas , los números poli-Bernoulli , denotados como${\displaystyle B_{n}^{(k)}}$es una secuencia de enteros. ^{[ 1 ]}

Kaneko lo definió como:

${\displaystyle {Li_{k}(1-e^{-x}) \over 1-e^{-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}^{(k)}{x^{n} \over n!}}$

donde Li es el polilogaritmo . El${\displaystyle B_{n}^{(1)}}$son los números de Bernoulli habituales .

Además, la generalización de los números de Poly-Bernoulli con parámetros a, b, c se define de la siguiente manera:

${\displaystyle {Li_{k}(1-(ab)^{-x}) \over b^{x}-a^{-x}}c^{xt}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}^{(k)}(t;a,b,c){x^{n} \over n!}}$

donde Li es el polilogaritmo .

Kaneko también proporcionó dos fórmulas combinatorias:

${\displaystyle B_{n}^{(-k)}=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m+n}m!S(n,m)(m+1)^{k},}$

${\displaystyle B_{n}^{(-k)}=\sum _{j=0}^{\min(n,k)}(j!)^{2}S(n+1,j+1)S(k+1,j+1),}$

dónde${\displaystyle S(n,k)}$es el número de formas de particionar un tamaño${\displaystyle n}$puesto en${\displaystyle k}$subconjuntos no vacíos (el número de Stirling de segunda especie ).

Una interpretación combinatoria es que los números poli-Bernoulli de índice negativo enumeran el conjunto de${\displaystyle n}$por${\displaystyle k}$Matrices (0,1) reconstruibles de forma única a partir de las sumas de sus filas y columnas. También es el número de recorridos abiertos de una torre sesgada en un tablero.${\displaystyle \underbrace {1\cdots 1} _{n}\underbrace {0\cdots 0} _{k}}$(Véase A329718 para la definición).

El número de Poly-Bernoulli${\displaystyle B_{k}^{(-k)}}$satisface la siguiente asintótica: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle B_{k}^{(-k)}\sim (k!)^{2}{\sqrt {\frac {1}{k\pi (1-\log 2)}}}\left({\frac {1}{\log 2}}\right)^{2k+1},\quad {\text{cuando }}k\rightarrow \infty .}$

Para un entero positivo n y un número primo p , los números de poli-Bernoulli satisfacen

${\displaystyle B_{n}^{(-p)}\equiv 2^{n}{\pmod {p}},}$

que puede considerarse un análogo del pequeño teorema de Fermat . Además, la ecuación

${\displaystyle B_{x}^{(-n)}+B_{y}^{(-n)}=B_{z}^{(-n)}}$

no tiene solución para enteros x , y , z , n > 2; un análogo del Último Teorema de Fermat . Además, existe un análogo de los números poli-Bernoulli (como los números de Bernoulli y los números de Euler) que se conoce como números poli-Euler .

• Números de Bernoulli
• Números Stirling
• coeficientes de Gregory
• Polinomios de Bernoulli
• Polinomios de Bernoulli de segundo tipo
• Polinomios de Stirling

• Arakawa, Tsuneo; Kaneko, Masanobu (1999a), "Valores zeta múltiples, números poli-Bernoulli y funciones zeta relacionadas" , Nagoya Mathematical Journal , 153 : 189–209 , doi : 10.1017/S0027763000006954 , hdl : 2324/20424 , MR 1684557 , S2CID 53476063  .
• Arakawa, Tsuneo; Kaneko, Masanobu (1999b), "Sobre los números poli-Bernoulli", Commentarii Mathematici Universitatis Sancti Pauli , 48 (2): 159-167 , MR 1713681 
• Brewbaker, Chad (2008), "Una interpretación combinatoria de los números poli-Bernoulli y dos análogos de Fermat" , Integers , 8 : A02, 9, MR 2373086 .
• Hamahata, Y.; Masubuchi, H. (2007), "Números especiales multipoli-Bernoulli", Journal of Integer Sequences , 10 (4), Artículo 07.4.1, Bibcode : 2007JIntS..10...41H , MR 2304359 ...